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File 2026.10.28物理

量子力学的数学形式

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Updated / 更新
2026.10.29
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Words / 字数
32523
Category / 分类
物理量子力学

量子力学的数学形式

· 更新于 2026年10月29日· 约 163 分钟· 32523 字
物理量子力学
#物理#量子力学#希尔伯特空间#狄拉克符号#自伴算符#双态系统#测量

写在前面

第三章整章都在算具体势场，一路用的是同一套动作，分段求解、缝连接条件、按归一化定系数。这一章换一件事做，把前面用过的语言重新整理一遍。

教材在这一章开头先把话说清楚了。量子力学里会遇到无穷维的矢量空间，那里有有限维所没有的麻烦，而给物理专业的学生通常只讲有限维，所以本书尽量沿用有限维的语言，碰到无穷维的困难时只说清困难在哪里、大致怎么处理。作者还提醒这一章比较形式化，可以有选择性地读，需要的时候回来查。

我读这一章的感受是，它把前三章一直默认使用的东西摆到了台面上。前面写 ∫ψ∗ψ dx\int\psi^*\psi\,\mathrm{d}x 时知道那是概率，写 ∑ncnψn\sum_n c_n\psi_n 时知道那是叠加，但从没说过这两种写法为什么长得这么像。这一章给的答案是，它们都是同一个空间里的内积与展开，波函数只是这个空间里的一组坐标。这个说法立住之后，那些根本没有波函数的体系，比如电子自旋，也能装进同一套框架里。

正文按教材顺序走完 §4.1 到 §4.3。§4.1 建空间，§4.2 建算符并把可观测量的三条假设整理出来，§4.3 用最简单的二维空间把整套东西跑一遍。

希尔伯特空间与狄拉克符号

课上讲这一节之前，先回到第二、三章，把用过的式子排在一页纸上。最先写的是含时薛定谔方程，它把 t=0t=0 的波函数推到任意时刻

iℏ∂∂tΨ(r,t)=H^Ψ(r,t),Ψ(r,0) ⟶ Ψ(r,t).\begin{align} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat H\Psi(\mathbf{r},t), \qquad \Psi(\mathbf{r},0)\ \longrightarrow\ \Psi(\mathbf{r},t). \end{align}

同一页上与这支箭头并排的还有两件事。一件是制备与测量，t=0t=0 那个初态本来就是一次测量留下的结果，制备初态与测量可观测量 Q^\hat Q 是同一件事的两头。另一件是第三章解定态时反复用的展开，Ψ(r,t)=∑ncne−iEnt/ℏψn(r)\Psi(\mathbf{r},t) = \sum_n c_n e^{-iE_nt/\hbar}\psi_n(\mathbf{r})，时间只挂在系数上，空间的形状由 H^\hat H 的本征函数定。再加上傅立叶变换与叠加原理，一页纸排下来，每一行都在说同一件事，同一个状态可以写成不同的样子，内积在哪种写法下都给出同一个数。课上写到这里只留了一句，这就像是线性空间，再往下才抽象成 H\mathcal{H}。教材在这一节开头走的是同一条路，从第一章那句假设讲起。

第一章引入波函数时说的是体系的状态由波函数描述。这句话在用的时候其实早就松动了。自由粒子的状态可以用 Ψ(x,t)\Psi(x,t) 给，也可以用它的傅立叶变换 Φ(p,t)\Phi(p,t) 给；无限深方势阱或谐振子的状态可以用 Ψ(x,t)\Psi(x,t) 给，也可以用一组叠加系数 {cn}\{c_n\} 给。教材用这三个例子开头，是为了指出它们共有的两件事。

第一件事是线性组合，两列波函数怎么叠加，它们的动量空间版本和叠加系数就怎么叠加。

Φ(p,t)=12πℏ∫−∞+∞Ψ(x,t)e−ipx/ℏ dx,aΨ1+bΨ2 ⟺ aΦ1+bΦ2 ⟺ {acn,1+bcn,2}.\begin{align} \Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi(x,t)e^{-ipx/\hbar}\,\mathrm{d}x, \qquad a\Psi_1 + b\Psi_2 \ \Longleftrightarrow\ a\Phi_1 + b\Phi_2 \ \Longleftrightarrow\ \{ac_{n,1} + bc_{n,2}\}. \end{align}

第二件事是那个积分，三种描述给出同一个数

∫−∞+∞Ψ1∗(x,t)Ψ2(x,t) dx=∫−∞+∞Φ1∗(p,t)Φ2(p,t) dp=∑ncn,1∗cn,2\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi_1^*(x,t)\Psi_2(x,t)\,\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty}\Phi_1^*(p,t)\Phi_2(p,t)\,\mathrm{d}p = \sum_n c_{n,1}^*c_{n,2}，

第一个等号由傅立叶变换的普朗歇尔定理保证，第二个等号由定态波函数的正交归一性保证。

熟悉矢量空间的人会立刻认出这两件事的含义。三种表述是同一空间的三组坐标，线性组合是矢量的加法，那个不变的积分是内积。希尔伯特、冯·诺伊曼等数学家正是沿着这条路把波函数抽象成内积空间里的矢量，这类空间就叫希尔伯特空间，通常记作 H\mathcal{H}。这一节先看有限维的特例，再看波函数构成的那个无穷维空间，最后把记号统一成狄拉克的写法。

有限维的复内积矢量空间

最熟悉的矢量空间是二维平面和三维空间里的箭头。一般的矢量空间从这些具体例子抽象而来，一套运算叫加法，两个矢量相加仍是矢量，满足交换律与结合律，有唯一的零矢量，每个矢量有唯一的逆元素。

另一套运算叫数乘，矢量乘复数仍是矢量，乘 1 不变，并且对任意 a,b∈Ca,b\in\mathbb{C} 有 a(b∣v⟩)=(ab)∣v⟩a(b|v\rangle)=(ab)|v\rangle、a(∣u⟩+∣v⟩)=a∣u⟩+a∣v⟩a(|u\rangle+|v\rangle)=a|u\rangle+a|v\rangle、(a+b)∣v⟩=a∣v⟩+b∣v⟩(a+b)|v\rangle=a|v\rangle+b|v\rangle。

有了这两种运算，线性组合、线性无关、由一组矢量张成的子空间、完备矢量集这些概念就都能引入，而线性无关的完备矢量集就是基矢。基矢里元素的个数叫空间的维数，n=dim⁡Hn=\dim\mathcal{H}。取定一组基矢 {∣e1⟩,⋯ ,∣en⟩}\{|e_1\rangle,\cdots,|e_n\rangle\} 后，任意矢量写成

∣v⟩=v1∣e1⟩+⋯+vn∣en⟩=∑i=1nvi∣ei⟩⟺∣v⟩=(v1⋮vn),\begin{align} |v\rangle = v_1|e_1\rangle + \cdots + v_n|e_n\rangle = \sum_{i=1}^{n}v_i|e_i\rangle \qquad\Longleftrightarrow\qquad |v\rangle = \begin{pmatrix} v_1\\ \vdots\\ v_n \end{pmatrix}, \end{align}

viv_i 叫 ∣v⟩|v\rangle 在 ∣ei⟩|e_i\rangle 上的分量。这里要停一下，因为列矢形式太方便，容易让人忘记它隐含了一次基矢的选取。同一个矢量换一组基矢，列矢就完全变样，而矢量本身与基矢无关。

TikZ 源码
\begin{tikzpicture}[>=stealth, thick, font=\small]
  \begin{scope}
    \draw[->] (-0.4,0) -- (3.5,0) node[right] {$|e_1\rangle$};
    \draw[->] (0,-0.4) -- (0,2.7) node[above] {$|e_2\rangle$};
    \draw[->, very thick, blue] (0,0) -- (2.1,1.7) node[above right, black] {$|\psi\rangle$};
    \draw[dashed] (2.1,1.7) -- (2.1,0) node[below, font=\scriptsize] {$c_1$};
    \draw[dashed] (2.1,1.7) -- (0,1.7) node[left, font=\scriptsize] {$c_2$};
    \node[below, font=\scriptsize] at (1.5,-0.65) {基矢 $|e_1\rangle,|e_2\rangle$};
  \end{scope}
  \begin{scope}[xshift=7.0cm]
    \draw[->] (-0.9,0.63) -- (2.6,-1.82) node[right] {$|e_1'\rangle$};
    \draw[->] (-1.0,-1.43) -- (1.75,2.50) node[above] {$|e_2'\rangle$};
    \draw[->, very thick, blue] (0,0) -- (2.1,1.7) node[above right, black] {$|\psi\rangle$};
    \draw[dashed] (2.1,1.7) -- (0.61,-0.43) node[below left, font=\scriptsize] {$c_1'$};
    \draw[dashed] (2.1,1.7) -- (1.49,2.13) node[above left, font=\scriptsize] {$c_2'$};
    \node[below, font=\scriptsize] at (1.4,-2.5) {基矢 $|e_1'\rangle,|e_2'\rangle$};
  \end{scope}
\end{tikzpicture}

左图的 ψ\psi 在两个轴上的投影是 c1c_1、c2c_2，右图把基矢转了个方向，同一个矢量的两个分量全变了，矢量的长度和方向一点没变。列矢就是这两个分量的排法，所以列矢可以变，态矢量不能变。量子力学里换表象做的正是转基矢这件事，§4.3 的 A^\hat A 表象与 B^\hat B 表象就是两组不同的轴。

图是把二维复空间当实平面画的示意，复系数的相位在图上没法表示，但分解与投影的几何关系与实平面完全一样，后面讲正交、讲完备性靠的都是这套关系。

除了加法与数乘，内积空间还多一个内积，它对实空间点积做推广，结果是个复数。教材给了两种写法，⟨u∣v⟩≡(∣u⟩,∣v⟩)\langle u|v\rangle\equiv(|u\rangle,|v\rangle)，交换两个矢量要取复共轭，⟨v∣u⟩=⟨u∣v⟩∗\langle v|u\rangle=\langle u|v\rangle^*。内积在一个位置上线性，在另一个位置上共轭线性，

(∣u⟩,a∣v⟩+b∣w⟩)=a⟨u∣v⟩+b⟨u∣w⟩,(a∣v⟩+b∣w⟩,∣u⟩)=a∗⟨v∣u⟩+b∗⟨w∣u⟩.\begin{align} \left(|u\rangle, a|v\rangle + b|w\rangle\right) = a\langle u|v\rangle + b\langle u|w\rangle, \qquad \left(a|v\rangle + b|w\rangle, |u\rangle\right) = a^*\langle v|u\rangle + b^*\langle w|u\rangle. \end{align}

教材把线性放在第二个位置，把共轭线性放在第一个位置。数学书常反过来，读别的书时要先看清是哪一种约定，因为它决定矩阵元写成 TijT_{ij} 还是 TjiT_{ji}，也决定伴算符的样子。

一个矢量与自身的内积非负，且只在零矢量上取零，于是可以定义模 ∥v∥≡⟨v∣v⟩\|v\|\equiv\sqrt{\langle v|v\rangle}，它是实空间里「长度」的推广。内积还满足柯西–施瓦茨不等式

∣⟨u∣v⟩∣⩽⟨u∣u⟩⟨v∣v⟩,\begin{align} \left|\langle u|v\rangle\right| \leqslant \sqrt{\langle u|u\rangle}\sqrt{\langle v|v\rangle}, \end{align}

在实空间里它就是「点积不超过两个长度之积」。有了内积就能定义正交（内积为零）与归一化（模为 1），进而定义正交归一基矢 ⟨ei∣ej⟩=δij\langle e_i|e_j\rangle=\delta_{ij}。这组基矢的好处是分量可以用内积直接读出来

vi=⟨ei∣v⟩,∣v⟩=∑i=1n∣ei⟩⟨ei∣v⟩,⟨u∣v⟩=∑i=1nui∗vi,\begin{align} v_i = \langle e_i|v\rangle, \qquad |v\rangle = \sum_{i=1}^{n}|e_i\rangle\langle e_i|v\rangle, \qquad \langle u|v\rangle = \sum_{i=1}^{n}u_i^*v_i, \end{align}

最后一式就是行矢乘列矢。后面若没有特别说明，默认用正交归一基矢。这类有限维复内积空间另有名字，叫厄米空间，也叫酉空间。

平方可积函数的希尔伯特空间

把上面的东西搬到波函数上。物理的波函数要满足概率归一化，所以模方在全空间的积分得收敛，这类函数叫平方可积函数，∫−∞+∞∣f(x)∣2dx<∞\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2\mathrm{d}x<\infty。数乘显然封闭，加法要验证，两个平方可积函数之和还平方可积吗。这一步要靠柯西–施瓦茨不等式。先定义内积

⟨f∣g⟩≡∫−∞+∞f∗(x)g(x) dx,\begin{align} \langle f|g\rangle \equiv \int_{-\infty}^{+\infty}f^*(x)g(x)\,\mathrm{d}x, \end{align}

它满足上一小节列出的各条性质，于是

∫−∞+∞∣f(x)+g(x)∣2dx=∫−∞+∞∣f(x)∣2dx+∫−∞+∞∣g(x)∣2dx+2 Re∫−∞+∞f∗(x)g(x) dx⩽∫−∞+∞∣f(x)∣2dx+∫−∞+∞∣g(x)∣2dx+2∫−∞+∞∣f(x)∣2dx∫−∞+∞∣g(x)∣2dx<∞.\begin{align} \int_{-\infty}^{+\infty}\left|f(x)+g(x)\right|^2\mathrm{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty}\left|f(x)\right|^2\mathrm{d}x + \int_{-\infty}^{+\infty}\left|g(x)\right|^2\mathrm{d}x + 2\,\mathrm{Re}\int_{-\infty}^{+\infty}f^*(x)g(x)\,\mathrm{d}x \nonumber\\ &\leqslant \int_{-\infty}^{+\infty}\left|f(x)\right|^2\mathrm{d}x + \int_{-\infty}^{+\infty}\left|g(x)\right|^2\mathrm{d}x + 2\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}\left|f(x)\right|^2\mathrm{d}x}\sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}\left|g(x)\right|^2\mathrm{d}x} < \infty. \end{align}

所以平方可积函数在加法与数乘下构成一个复内积矢量空间，记作 L2(R)L^2(\mathbb{R})；NN 维实空间上的平方可积函数同理记作 L2(RN)L^2(\mathbb{R}^N)。严格讲还要说明这个空间完备，教材用一个注交代了它的意思，空间中没有被挖走的洞，这样可以在空间里放心地取极限，不用担心极限跑到空间外面去。有限维空间里这一条自动成立，无穷维就不一定，§4.2.3 讨论本征矢完备性时会再碰到它。

L2(R)L^2(\mathbb{R}) 是无穷维的，基矢有无穷多个。现成的一组是简谐振子的定态波函数 ∣n⟩=ψn(x)|n\rangle=\psi_n(x)，n=0,1,2,⋯n=0,1,2,\cdots，这是第三章末尾已经证明过的正交归一完备组。任意平方可积函数都能用它展开

∣ψ⟩=∑n=0∞cn∣n⟩=∑n=0∞∣n⟩⟨n∣ψ⟩,cn=⟨n∣ψ⟩.\begin{align} |\psi\rangle = \sum_{n=0}^{\infty}c_n|n\rangle = \sum_{n=0}^{\infty}|n\rangle\langle n|\psi\rangle, \qquad c_n = \langle n|\psi\rangle. \end{align}

无穷多个展开系数排成一列，就成了有无穷多元素的列矢，矢量的运算可以通过这列数来做。这正是前面看到的「Ψ(x,t)\Psi(x,t) 与 {cn}\{c_n\} 等价」的那件事，现在有了统一的说法。

第一章那条假设「量子体系的状态由波函数描述」，到这里可以换个说法。量子体系的状态由它对应的希尔伯特空间中的矢量描述，这个矢量叫态矢量，它包含了体系的全部物理信息。教材在这里补了一句要紧的话，虽然是从波函数出发引入希尔伯特空间的，但一个物理体系的希尔伯特空间里完全可以有不对应波函数的自由度，所以新语言比波函数语言更宽。电子自旋就是这样的自由度，它只有两个状态，写不出任何 ψ(x)\psi(x)。

狄拉克符号

前面已经用 ∣v⟩|v\rangle 表示右矢、⟨u∣v⟩\langle u|v\rangle 表示内积了。再往下用，需要一个把算符夹在中间的三明治记号，矢量 ∣u⟩|u\rangle 与矢量 T^∣v⟩\hat T|v\rangle 的内积写成 (∣u⟩,T^∣v⟩)≡⟨u∣T^∣v⟩\left(|u\rangle,\hat T|v\rangle\right)\equiv\langle u|\hat T|v\rangle。这就解释了量子力学里一个一直有点奇怪的记号，可观测量 QQ 的平均值写成 ⟨Q⟩\langle Q\rangle 而不写成数学里常见的 Qˉ\bar Q，因为

⟨Q⟩=⟨ψ∣Q^∣ψ⟩=∫−∞+∞ψ∗(x)Q^ψ(x) dx,\begin{align} \langle Q\rangle = \langle\psi|\hat Q|\psi\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}\psi^*(x)\hat Q\psi(x)\,\mathrm{d}x, \end{align}

它本来就是 ⟨ψ∣Q^∣ψ⟩\langle\psi|\hat Q|\psi\rangle 里把 ψ\psi 隐去之后剩下的样子。

内积还能诱导出对偶。一个矢量空间 H\mathcal{H} 的对偶空间 H∗\mathcal{H}^* 由作用在它上面的线性泛函组成。泛函是从矢量空间到复数的映射，输入一个矢量，输出一个复数；线性是指先叠加再映射等于先映射再叠加。利用内积，H\mathcal{H} 中的每个矢量 ∣f⟩|f\rangle 都能唯一地对应 H∗\mathcal{H}^* 中的一个元素，这个元素记作 ⟨f∣\langle f|，叫狄拉克左矢或 bra，它的作用定义为

⟨f∣:∣v⟩⟼(∣f⟩,∣v⟩)=⟨f∣v⟩,∀∣v⟩∈H.\begin{align} \langle f| : |v\rangle \longmapsto \left(|f\rangle, |v\rangle\right) = \langle f|v\rangle, \qquad \forall |v\rangle\in\mathcal{H}. \end{align}

教材注明这一一对应由里斯表示定理保证。左矢之间的内积可以自然定义为 (⟨u∣,⟨v∣)≡⟨u∣v⟩(\langle u|,\langle v|)\equiv\langle u|v\rangle。顺便说一句，这个对应在无穷维里是共轭线性的，写成左矢的时候已经把 ∣f⟩|f\rangle 的那一步共轭含进去了，所以 c∣f⟩c|f\rangle 对应的左矢是 c∗⟨f∣c^*\langle f|。

真正让这套记号好用的是把右矢和左矢拼起来。在正交归一基矢下展开矢量，每一项 ⟨ei∣ψ⟩\langle e_i|\psi\rangle 都是两步，先算内积得到系数 cic_i，再乘以 ∣ei⟩|e_i\rangle。换一个读法，先把泛函 ⟨ei∣\langle e_i| 作用到 ∣ψ⟩|\psi\rangle 上，再乘以右矢 ∣ei⟩|e_i\rangle。既然 ⟨ei∣\langle e_i| 是个泛函、∣ei⟩|e_i\rangle 是个矢量，它们的乘积 ∣ei⟩⟨ei∣|e_i\rangle\langle e_i| 就是一个把矢量映射到矢量的东西，也就是线性算符。这个算符叫投影算符，作用是把矢量投到 ∣ei⟩|e_i\rangle 这个方向上。拿经典力学里力的平行四边形分解来对照，投影算符就是「分解到某个方向」这个动作本身。

把展开式看成「各个方向的投影算符依次作用再相加，结果还是 ∣ψ⟩|\psi\rangle」，就得到正交归一基矢的完备性关系

I^=∑i∣ei⟩⟨ei∣,\begin{align} \hat I = \sum_{i}|e_i\rangle\langle e_i|, \end{align}

I^\hat I 是恒等算符。后面几乎每一节都要用它，它也是判断一组基矢是否够用的实用标准，把 ∑i∣ei⟩⟨ei∣\sum_i|e_i\rangle\langle e_i| 作用到任意态上，看能不能还原出原态。

教材在 §4.1 的末尾放了一张对照表，把两套语言并排。它值得抄在笔记本上，因为第三章之后的每一步计算都要在这两列之间来回翻译。

矢量语言波函数语言
∣ψ⟩\vert\psi\rangleψ(r)\psi(\mathbf{r})
∣ψ(t)⟩\vert\psi(t)\rangleψ(r,t)\psi(\mathbf{r},t)
⟨ψ2∣ψ1⟩\langle\psi_2\vert\psi_1\rangle∫ψ2∗(r)ψ1(r) dNr\int\psi_2^*(\mathbf{r})\psi_1(\mathbf{r})\,\mathrm{d}^N r
∥ψ∥2=⟨ψ∣ψ⟩\|\psi\|^2 = \langle\psi\vert\psi\rangle$\int\left
⟨ψ2∣Q^∣ψ1⟩\langle\psi_2\vert\hat Q\vert\psi_1\rangle∫ψ2∗(r)Q^ψ1(r) dNr\int\psi_2^*(\mathbf{r})\hat Q\psi_1(\mathbf{r})\,\mathrm{d}^N r
⟨Q⟩=⟨ψ∣Q^∣ψ⟩\langle Q\rangle = \langle\psi\vert\hat Q\vert\psi\rangle⟨Q⟩=∫ψ∗(r)Q^ψ(r) dNr\langle Q\rangle = \int\psi^*(\mathbf{r})\hat Q\psi(\mathbf{r})\,\mathrm{d}^N r

线性算符与自伴算符

波函数语言里的位置、动量、能量都对应特定的微分算符，它们的共同点是对波函数的作用是线性的。换到矢量语言，这些算符就是作用在希尔伯特空间上的线性算符，即从空间到自身的映射，且满足 Q^(a∣u⟩+b∣v⟩)=aQ^∣u⟩+bQ^∣v⟩\hat Q(a|u\rangle+b|v\rangle)=a\hat Q|u\rangle+b\hat Q|v\rangle。麻烦在于能够对应物理上可观测量的线性算符只是一部分。这一节先补线性算符的基本概念，再找可观测量算符要满足的条件。

教材提前打了个招呼，这个招呼在后面会反复出现。有限维空间里线性算符的定义域总能取成整个空间，无穷维就不行，因为某些矢量被算符作用之后可能不再属于这个空间。最简单的例子是位置算符 x^\hat x，教材只说了「很容易构造一个平方可积的波函数，在乘以 xx 之后不再平方可积」，具体可以取

f(x)=1x+i,∫−∞+∞∣f(x)∣2dx=π<∞,∫−∞+∞∣xf(x)∣2dx=∞.\begin{align} f(x) = \frac{1}{x+i}, \qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\left|f(x)\right|^2\mathrm{d}x = \pi < \infty, \qquad \int_{-\infty}^{+\infty}\left|xf(x)\right|^2\mathrm{d}x = \infty. \end{align}

ff 平方可积，xfxf 不平方可积，所以 x^\hat x 不能作用在整个 L2(R)L^2(\mathbb{R}) 上。动量算符与哈密顿算符的情况类似。这一节主要用有限维的语言引入概念，再小心地推到无穷维。

线性算符

取定基矢之后，线性算符就是矩阵。设 T^\hat T 作用到 ∣v⟩|v\rangle 上得到 ∣v′⟩|v'\rangle，分量形式是

∣v′⟩=T^∣v⟩,vi′=∑jTijvj,T^∣ej⟩=∑kTkj∣ek⟩,\begin{align} |v'\rangle = \hat T|v\rangle, \qquad v_i' = \sum_{j}T_{ij}v_j, \qquad \hat T|e_j\rangle = \sum_{k}T_{kj}|e_k\rangle, \end{align}

在正交归一基矢下用 ⟨ei∣\langle e_i| 与最后一式两边取内积，就得到算符矩阵元的读法

⟨ei∣T^∣ej⟩=∑kTkj⟨ei∣ek⟩=∑kTkjδik=Tij.\begin{align} \langle e_i|\hat T|e_j\rangle = \sum_{k}T_{kj}\langle e_i|e_k\rangle = \sum_{k}T_{kj}\delta_{ik} = T_{ij}. \end{align}

反过来说，知道了全部矩阵元，算符本身也就拼回来了，T^=∑i,jTij∣ei⟩⟨ej∣\hat T=\sum_{i,j}T_{ij}|e_i\rangle\langle e_j|。

复矩阵有一个重要操作是厄米共轭，转置再取复共轭，Tij†=Tji∗T^\dagger_{ij}=T^*_{ji}。算符也有对应的操作，叫伴算符，记作 T^†\hat T^\dagger，定义为

(T^†∣u⟩,∣v⟩)=(∣u⟩,T^∣v⟩),∀∣u⟩,∣v⟩∈H.\begin{align} \left(\hat T^\dagger|u\rangle, |v\rangle\right) = \left(|u\rangle, \hat T|v\rangle\right), \qquad \forall |u\rangle,|v\rangle\in\mathcal{H}. \end{align}

这个定义在第三章讲升降算符时已经用过一次。有些书把共轭转置写成 Q^+\hat Q^+，课上用的也是这种写法，本文一律沿用教材的 T^†\hat T^\dagger，两种记号指的是同一个东西。在无穷维里用它要小心，T^†∣u⟩\hat T^\dagger|u\rangle 与 T^∣v⟩\hat T|v\rangle 必须还在 H\mathcal{H} 里，所以 ∣u⟩|u\rangle、∣v⟩|v\rangle 不能随便取，T^\hat T 与 T^†\hat T^\dagger 的定义域不一定相同。

矩阵里有一类性质特别好的，厄米共轭等于自身，叫厄米矩阵。对应到算符就是厄米算符，也叫自伴算符，满足 T^†=T^\hat T^\dagger=\hat T。要注意这个等式含有两层意思，两者的定义域相同，且定义域内任何矢量上两者作用的结果相等。有限维里定义域相同是自动的，无穷维里就得单独要求，只满足 T^\hat T 与 T^†\hat T^\dagger 在 T^\hat T 的定义域上相等、而定义域不同的算符，只能叫对称算符。自伴算符最常用的性质是对定义域内的任意 ∣u⟩|u\rangle、∣v⟩|v\rangle 有 (T^∣u⟩,∣v⟩)=(∣u⟩,T^∣v⟩)\left(\hat T|u\rangle,|v\rangle\right)=\left(|u\rangle,\hat T|v\rangle\right)。虽然自伴算符不一定定义在整个空间上，但它的定义域在空间里是稠密的，任何矢量都能用定义域内的矢量取极限逼近，所以它「几乎」定义在整个空间上。这个结论很强，后面正是靠它把自伴算符选为可观测量的候选者。

自伴算符的本征值和本征矢

算符最重要的属性是本征值与本征矢，它们满足本征方程

T^∣λ⟩=λ∣λ⟩,\begin{align} \hat T|\lambda\rangle = \lambda|\lambda\rangle, \end{align}

λ\lambda 是本征值，∣λ⟩|\lambda\rangle 是对应的本征矢。这里先假定没有简并，有简并时要额外加标记区分同一个本征值下的不同本征矢。另外 ∣λ⟩|\lambda\rangle 不能是零矢量，否则上式对任何 λ\lambda 都成立，方程就没有内容了。有限维里求本征值的标准做法是解行列式方程 det⁡(T−λI)=0\det(T-\lambda I)=0，TT 是算符在任意一组基矢下的矩阵，II 是单位矩阵。这是关于 λ\lambda 的 nn 次多项式方程，nn 是空间维数，有 nn 个复数根，重根对应简并。每个根代回本征方程就能求出本征矢。

有限维自伴算符有三条非常重要的性质。

  1. 本征值是实数。
  2. 对应不同本征值的本征矢相互正交。
  3. 所有本征矢构成完备矢量集。

这三条在第三章的束缚定态解里其实都见过，尽管那里的空间是无穷维的。能量作为哈密顿算符的本征值必须是实数；不同能级的定态波函数相互正交；定态波函数构成一组完备基，任意物理波函数都能由它们线性组合出来。教材接着对有限维的情形逐条证明。

本征值是实数。 取本征值 λ\lambda 对应的本征矢 ∣λ⟩|\lambda\rangle，有简并时从简并子空间里随便拿一个，用自伴性

(∣λ⟩,T^∣λ⟩)=(T^∣λ⟩,∣λ⟩)⟹λ(∣λ⟩,∣λ⟩)=λ∗(∣λ⟩,∣λ⟩),\begin{align} \left(|\lambda\rangle, \hat T|\lambda\rangle\right) = \left(\hat T|\lambda\rangle, |\lambda\rangle\right) \quad\Longrightarrow\quad \lambda\left(|\lambda\rangle, |\lambda\rangle\right) = \lambda^*\left(|\lambda\rangle, |\lambda\rangle\right), \end{align}

∣λ⟩|\lambda\rangle 不是零矢量，内积不为零，于是 λ=λ∗\lambda=\lambda^*。

不同本征值的本征矢正交。 设 λ1≠λ2\lambda_1\neq\lambda_2，对应本征矢 ∣λ1⟩|\lambda_1\rangle、∣λ2⟩|\lambda_2\rangle，同样用自伴性与本征值已是实数这两条

λ1(∣λ1⟩,∣λ2⟩)=(T^∣λ1⟩,∣λ2⟩)=(∣λ1⟩,T^∣λ2⟩)=λ2(∣λ1⟩,∣λ2⟩),\begin{align} \lambda_1\left(|\lambda_1\rangle, |\lambda_2\rangle\right) = \left(\hat T|\lambda_1\rangle, |\lambda_2\rangle\right) = \left(|\lambda_1\rangle, \hat T|\lambda_2\rangle\right) = \lambda_2\left(|\lambda_1\rangle, |\lambda_2\rangle\right), \end{align}

λ1≠λ2\lambda_1\neq\lambda_2 逼出 (∣λ1⟩,∣λ2⟩)=0\left(|\lambda_1\rangle,|\lambda_2\rangle\right)=0。

本征矢完备。 这一条等价于厄米矩阵能用一个幺正变换对角化，而幺正变换相当于另取一组正交归一基矢，对角化做完之后对角元就是本征值，基矢就是本征矢。教材给了一个可以推广到某些无穷维情形的证法，思路是逐层剥。取一个本征值 λ1\lambda_1 与相应本征矢 ∣λ1⟩|\lambda_1\rangle，考虑它的正交补空间，即所有与 ∣λ1⟩|\lambda_1\rangle 内积为零的矢量构成的空间，这是 n−1n-1 维的，记作 Hn−1\mathcal{H}_{n-1}。要说明它是 T^\hat T 的不变子空间，只要说明与 ∣λ1⟩|\lambda_1\rangle 正交的矢量被 T^\hat T 作用后仍然正交，⟨λ1∣T^∣u⟩=(T^∣λ1⟩,∣u⟩)=λ1⟨λ1∣u⟩=0\langle\lambda_1|\hat T|u\rangle=\left(\hat T|\lambda_1\rangle,|u\rangle\right)=\lambda_1\langle\lambda_1|u\rangle=0。于是可以在 Hn−1\mathcal{H}_{n-1} 上重复同样的动作，取 λ2\lambda_2 与 ∣λ2⟩|\lambda_2\rangle（它必然与 ∣λ1⟩|\lambda_1\rangle 正交，λ2\lambda_2 允许等于 λ1\lambda_1），再取剩下的 n−2n-2 维正交补，一路剥到零维为止，得到 nn 个相互正交的本征矢，它们张成整个空间。

TikZ 源码
\begin{tikzpicture}[>=stealth, thick, font=\small]
  \draw[->] (-0.4,0) -- (3.6,0) node[right] {$|\lambda_1\rangle$};
  \draw[->] (0,-0.4) -- (0,3.1) node[above] {$|\lambda_2\rangle$};
  \draw[->, very thick, blue] (0,0) -- (2.2,1.9) node[above right, black] {$|\psi\rangle$};
  \draw[dashed] (2.2,1.9) -- (2.2,0) node[below, font=\scriptsize] {$\langle\lambda_1|\psi\rangle$};
  \draw[dashed] (2.2,1.9) -- (0,1.9) node[left, font=\scriptsize] {$\langle\lambda_2|\psi\rangle$};
  \draw (0,0.35) -- (0.35,0.35) -- (0.35,0);
  \node[font=\scriptsize, align=left] at (4.6,2.7) {本征值 $\lambda_1\neq\lambda_2$};
  \node[font=\scriptsize, align=left] at (4.6,2.1) {$\Rightarrow$ 两根轴垂直};
  \node[font=\scriptsize, align=left] at (4.6,1.3) {任意态沿这组};
  \node[font=\scriptsize, align=left] at (4.6,0.7) {轴展开};
\end{tikzpicture}

两个本征矢互相垂直，任意态 ∣ψ⟩|\psi\rangle 都能沿这两根轴分解，分量就是两个内积。本征值在这张图里表现为沿两根轴量出的坐标，而两根轴为什么必然垂直，靠的是上一段那个证明。有简并时同一本征值的本征矢不必正交，但可以在简并子空间里重新挑一组正交的，挑完之后整组仍然正交归一。

完备性给出的第一个推论是可以用本征矢构造恒等算符，取一组正交归一的本征矢 {∣λ⟩}\{|\lambda\rangle\} 后

I^=∑λ∣λ⟩⟨λ∣,T^=∑λλ∣λ⟩⟨λ∣,\begin{align} \hat I = \sum_{\lambda}|\lambda\rangle\langle\lambda|, \qquad \hat T = \sum_{\lambda}\lambda|\lambda\rangle\langle\lambda|, \end{align}

第二式叫自伴算符的谱分解形式。

有简并时这两式要换个写法，本征值从这里起改记成 qiq_i，与后面几节的写法统一。设 qiq_i 对应多个本征矢，把它们记作 ∣qi,α⟩|q_i,\alpha\rangle，α=1,⋯ ,ni\alpha=1,\cdots,n_i，同一个 qiq_i 下的这些本征矢张成这个本征值的简并子空间，求和要把整个子空间都数进去

I^=∑i,α∣qi,α⟩⟨qi,α∣,T^=∑i,αqi∣qi,α⟩⟨qi,α∣,\begin{align} \hat I = \sum_{i,\alpha}|q_i,\alpha\rangle\langle q_i,\alpha|, \qquad \hat T = \sum_{i,\alpha}q_i|q_i,\alpha\rangle\langle q_i,\alpha|, \end{align}

只对 ii 求和的写法只在没有简并时成立，少一个 α\alpha 就漏掉了一整个子空间。

谱分解还能定义算符的函数。对定义在实数上的函数 f(x)f(x)，

f(T^)≡∑i,αf(qi)∣qi,α⟩⟨qi,α∣,\begin{align} f(\hat T) \equiv \sum_{i,\alpha}f(q_i)|q_i,\alpha\rangle\langle q_i,\alpha|, \end{align}

它作用在本征矢上等于乘一个数

f(T^)∣qi,α⟩=∑j,βf(qj)∣qj,β⟩⟨qj,β∣qi,α⟩=f(qi)∣qi,α⟩,\begin{align} f(\hat T)|q_i,\alpha\rangle = \sum_{j,\beta}f(q_j)|q_j,\beta\rangle\langle q_j,\beta|q_i,\alpha\rangle = f(q_i)|q_i,\alpha\rangle, \end{align}

中间一步里内积只在 j=ij=i、β=α\beta=\alpha 时不为零，求和中只有一项留下来。所以算符的函数不动本征矢，只是把每个本征值换成 f(qi)f(q_i)，定义式里用到的也只有 f(qi)f(q_i) 这几个数。这个定义在 §4.3 讲时间演化算符时会直接用上，e−iH^t/ℏe^{-i\hat Ht/\hbar} 就是取 f(E)=e−iEt/ℏf(E) = e^{-iEt/\hbar}。

无穷维希尔伯特空间中的自伴算符

把上面三条性质推到无穷维，第一个困难是本征矢可能根本不存在，或者数量不够。教材举了三个例子。自由粒子的哈密顿算符的「本征函数」是平面波，不可归一化，因而不属于 L2(R)L^2(\mathbb{R})，换句话说它在希尔伯特空间里没有本征矢；位置算符 x^\hat x 与动量算符 p^\hat p 同理；有限深方势阱的哈密顿算符有一些本征矢，对应束缚态，但个数不够多，不足以表示所有平方可积波函数。

对这些算符，教材提了两种处理方式。物理文献里常见的一种是引入广义本征矢与装备希尔伯特空间，把这些物理上有用但不可归一化的波函数也纳进来；数学上更严格的一种是引入谱与投影算符，用谱分解定理重新表述完备性。两种做法都留到后面的 §4.9，这一节只指出，无穷维里仍然有一类性质足够好的自伴算符存在完备的本征矢组，谐振子的哈密顿算符就是现成的例子。这类算符的共同点是有下界（或有上界）的无界算符，且只有分立谱。

这句话里有两个词要先定义。算符 T^\hat T 叫有界算符，是指存在常数 CC，使得对定义域中任意非零矢量 ∣ψ⟩|\psi\rangle 都有

(T^∣ψ⟩,T^∣ψ⟩)⟨ψ∣ψ⟩⩽C,⟨ψ∣T^∣ψ⟩⟨ψ∣ψ⟩⩾C′,\begin{align} \frac{\left(\hat T|\psi\rangle, \hat T|\psi\rangle\right)}{\langle\psi|\psi\rangle} \leqslant C, \qquad \frac{\langle\psi|\hat T|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle} \geqslant C', \end{align}

不存在第一式那样的 CC 就叫无界算符，量子力学里遇到的大多数可观测量算符都是无界自伴算符。第二式定义的是下界，存在这样的 C′C' 就说 C′C' 是 T^\hat T 的一个下界，上界同理。

另一个词是谱，它是本征值在无穷维里的推广。本征值 λ\lambda 要求存在本征矢让 T^∣ψ⟩\hat T|\psi\rangle 严格等于 λ∣ψ⟩\lambda|\psi\rangle；有些 λ\lambda 没有这样的本征矢，但可以找到矢量让 T^∣ψ⟩\hat T|\psi\rangle 与 λ∣ψ⟩\lambda|\psi\rangle 足够接近。要定义「接近」得先有距离，用内积定义

d(∣ψ1⟩,∣ψ2⟩)≡(∣ψ1⟩−∣ψ2⟩,∣ψ1⟩−∣ψ2⟩),\begin{align} d\left(|\psi_1\rangle, |\psi_2\rangle\right) \equiv \sqrt{\left(|\psi_1\rangle - |\psi_2\rangle, |\psi_1\rangle - |\psi_2\rangle\right)}, \end{align}

这是欧式空间距离的自然推广。λ\lambda 属于 T^\hat T 的谱，是指对任意正实数 ϵ\epsilon，都存在空间里的一个矢量 ∣ψ⟩|\psi\rangle 使得 d(T^∣ψ⟩,λ∣ψ⟩)<ϵd\left(\hat T|\psi\rangle,\lambda|\psi\rangle\right)<\epsilon。按这个定义，本征值自然是谱的一部分，此外还有连续谱。位置算符与动量算符的谱是全体实数，有限深方势阱的哈密顿算符既有分立谱又有连续谱。有了距离，顺带也能说清空间的完备性是什么意思，空间中每个柯西序列的极限都还在空间里，就是完备。

现在来看一个有下界、只取分立谱的无界算符 T^\hat T。本征矢可数，按本征值大小排队

λ1⩽λ2⩽λ3⩽⋯ ,\begin{align} \lambda_1 \leqslant \lambda_2 \leqslant \lambda_3 \leqslant \cdots, \end{align}

有下界保证最小值 λ1\lambda_1 存在，有简并时取等号，无界保证 λi\lambda_i 随 ii 增大而趋于无穷。为方便起见设 λ1>0\lambda_1>0，做不到就整体加一个常数，本征矢不受影响。要证完备性，取任意矢量 ∣ψ⟩|\psi\rangle，用前 nn 项做部分和

∣Sn⟩=∑i=1n∣λi⟩⟨λi∣ψ⟩,∣Rn⟩=∣ψ⟩−∣Sn⟩,\begin{align} |S_n\rangle = \sum_{i=1}^{n}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\psi\rangle, \qquad |R_n\rangle = |\psi\rangle - |S_n\rangle, \end{align}

要说明的是 ⟨Rn∣Rn⟩→0\langle R_n|R_n\rangle\to0。关键一步是一个引理，若 ∣v⟩|v\rangle 属于与 ∣λ1⟩,⋯ ,∣λn⟩|\lambda_1\rangle,\cdots,|\lambda_n\rangle 都正交的子空间，则

⟨v∣T^∣v⟩⩾λn+1⟨v∣v⟩.\begin{align} \langle v|\hat T|v\rangle \geqslant \lambda_{n+1}\langle v|v\rangle. \end{align}

教材说这一条的物理含义非常直白，把小于等于 λn+1\lambda_{n+1} 的那些测量结果都去掉之后，剩下结果的平均值当然不小于 λn+1\lambda_{n+1}；数学上只需证 n=0n=0 的情形，其余靠递推归纳。这个结果是所谓最大最小定理的特例，也是后面变分法的基础。把它用到 ∣Rn⟩|R_n\rangle 上，注意 ∣Rn⟩|R_n\rangle 与前面 nn 个本征矢都正交，并用 T^\hat T 的谱分解把中间那项算出来

λn+1⟨Rn∣Rn⟩⩽⟨Rn∣T^∣Rn⟩=⟨ψ∣T^∣ψ⟩−∑i=1nλi∣⟨λi∣ψ⟩∣2⩽⟨ψ∣T^∣ψ⟩,\begin{align} \lambda_{n+1}\langle R_n|R_n\rangle \leqslant \langle R_n|\hat T|R_n\rangle = \langle\psi|\hat T|\psi\rangle - \sum_{i=1}^{n}\lambda_i\left|\langle\lambda_i|\psi\rangle\right|^2 \leqslant \langle\psi|\hat T|\psi\rangle, \end{align}

于是 0⩽⟨Rn∣Rn⟩⩽⟨ψ∣T^∣ψ⟩/λn+10\leqslant\langle R_n|R_n\rangle\leqslant\langle\psi|\hat T|\psi\rangle/\lambda_{n+1}。⟨ψ∣T^∣ψ⟩\langle\psi|\hat T|\psi\rangle 是固定的数，λn+1→∞\lambda_{n+1}\to\infty，剩下的部分只能趋于零。若 ∣ψ⟩|\psi\rangle 不在 T^\hat T 的定义域里，就用定义域的稠密性拿一串定义域内的矢量去逼近它，结论不变。这就证明了本征矢组完备。

这段论证的适用范围要记住，它只对有下界且只有分立谱的无界自伴算符成立，谐振子的哈密顿算符是标准例子，这类算符与有限维的自伴算符性质相似，所以前面那三条结论在它身上都能照搬。真正麻烦的是位置算符与动量算符这类有连续谱的无界算符，教材把它们推到 §4.9。四种情形的对照可以先列在这里。

情形例子本征矢完备性
有限维双态系统有，个数等于维数本征矢构成一组基
无穷维，有下界且只有分立谱一维简谐振子有，可数无穷多个本征矢构成一组基
无穷维，只有连续谱x^\hat x、p^\hat p、自由粒子的 H^\hat H没有平方可积的本征矢需要广义本征矢或谱分解定理
无穷维，两种谱都有有限深方势阱束缚态有，但个数不够需要广义本征矢或谱分解定理

广义统计诠释

到这里可以写下这一节的核心假设了。量子力学假定物理体系的可观测量 QQ 对应一个作用在希尔伯特空间上的自伴算符 Q^\hat Q。 要求自伴会直接带来几个结果。先看平均值

⟨Q⟩=(∣ψ⟩,Q^∣ψ⟩)=(Q^∣ψ⟩,∣ψ⟩)=(∣ψ⟩,Q^∣ψ⟩)∗,\begin{align} \langle Q\rangle = \left(|\psi\rangle, \hat Q|\psi\rangle\right) = \left(\hat Q|\psi\rangle, |\psi\rangle\right) = \left(|\psi\rangle, \hat Q|\psi\rangle\right)^*, \end{align}

等于自身的复共轭，所以 ⟨Q⟩\langle Q\rangle 必是实数。再看方差，也就是不确定度

σQ2=(∣ψ⟩,(Q^−⟨Q⟩)2∣ψ⟩)=((Q^−⟨Q⟩)∣ψ⟩,(Q^−⟨Q⟩)∣ψ⟩)⩾0,\begin{align} \sigma_Q^2 = \left(|\psi\rangle, \left(\hat Q - \langle Q\rangle\right)^2|\psi\rangle\right) = \left(\left(\hat Q - \langle Q\rangle\right)|\psi\rangle, \left(\hat Q - \langle Q\rangle\right)|\psi\rangle\right) \geqslant 0, \end{align}

中间一步用了 Q^\hat Q 自伴与 ⟨Q⟩\langle Q\rangle 是实数，把 Q^−⟨Q⟩\hat Q-\langle Q\rangle 整个因子挪进了内积的左项里。方差非负这件事在这里是自动的，不用另外假设。

把 σQ=0\sigma_Q=0 的态叫 QQ 的确定值态，在这个态下测 QQ 只会得到唯一的结果 ⟨Q⟩\langle Q\rangle。一个矢量与自身的内积为零当且仅当它是零矢量，所以确定值态必然满足

(Q^−⟨Q⟩)∣ψ⟩=0⟹Q^∣ψ⟩=⟨Q⟩∣ψ⟩,\begin{align} \left(\hat Q - \langle Q\rangle\right)|\psi\rangle = 0 \quad\Longrightarrow\quad \hat Q|\psi\rangle = \langle Q\rangle|\psi\rangle, \end{align}

也就是说确定值态必是 Q^\hat Q 的本征矢，本征值就是测量结果；反过来，Q^\hat Q 的本征矢必是确定值态。这两条在能量这一支上早就用过了，定态波函数是能量确定的态，也是哈密顿算符的本征态。

把上面这些归纳成一条假设，称为测量假设，也叫广义统计诠释。有限维的表述是三条。

  1. 对可观测量 QQ 的测量结果 qq 必定是算符 Q^\hat Q 的本征值之一。
  2. 在归一化的 ∣ψ⟩|\psi\rangle 态下测到 qq 的概率由 ∣⟨q∣ψ⟩∣2\left|\langle q|\psi\rangle\right|^2 给出，这里假定 qq 无简并，对应的归一化本征矢是 ∣q⟩|q\rangle。
  3. 测量 QQ 得到 qq 之后，体系的状态坍缩到 ∣q⟩|q\rangle。

第三条需要一点辩护，教材给的理由是重复测量的自洽性。首次测量之后迅速再测一次同样的量，必须得到同一个结果，否则物理学就没有可检验的预测可言。所以测量一旦给出结果，态就必须停在那个结果对应的本征态上。这也让测量有了另一个身份，测量同时是制备，测量行为把体系制备成由测量结果决定的状态。这里说的「迅速」是指体系来不及演化的时间尺度。

∣⟨q∣ψ⟩∣2\left|\langle q|\psi\rangle\right|^2 当概率用，需要验证几条自洽性，概率归一化和两种算法算平均值要一致。这两条都能由本征矢的正交归一与完备性给出

∑i∣⟨qi∣ψ⟩∣2=∑i(∣ψ⟩,∣qi⟩)⟨qi∣ψ⟩=(∣ψ⟩,∑i∣qi⟩⟨qi∣ψ⟩)=⟨ψ∣ψ⟩=1,\begin{align} \sum_i\left|\langle q_i|\psi\rangle\right|^2 = \sum_i\left(|\psi\rangle,|q_i\rangle\right)\langle q_i|\psi\rangle = \left(|\psi\rangle, \sum_i|q_i\rangle\langle q_i|\psi\rangle\right) = \langle\psi|\psi\rangle = 1, \end{align} ⟨ψ∣Q^∣ψ⟩=(∣ψ⟩,∑iqi∣qi⟩⟨qi∣ψ⟩)=∑iqi∣⟨qi∣ψ⟩∣2.\begin{align} \langle\psi|\hat Q|\psi\rangle = \left(|\psi\rangle, \sum_i q_i|q_i\rangle\langle q_i|\psi\rangle\right) = \sum_i q_i\left|\langle q_i|\psi\rangle\right|^2. \end{align}

第二式的左边是「先用算符算平均值」，右边是「先算概率再加权」，两个结果对上了。⟨qi∣ψ⟩\langle q_i|\psi\rangle 这一组数可以叫**QQ 表象波函数**或 QQ 空间波函数，于是又能说回那句老话，波函数的模方给出测量结果的概率分布，不同的表象对应取定不同的基矢来展开。

概率与坍缩这两条还可以换个写法，这个写法更容易推广到有简并的情形。无简并时定义投影算符 P^(q)≡∣q⟩⟨q∣\hat P(q)\equiv|q\rangle\langle q|，它是自伴的，而且投影两次等于投影一次，P^(q)P^(q)=P^(q)\hat P(q)\hat P(q)=\hat P(q)。于是概率写成

∣⟨q∣ψ⟩∣2=⟨ψ∣P^(q)∣ψ⟩,∣q⟩=A P^(q)∣ψ⟩,\begin{align} \left|\langle q|\psi\rangle\right|^2 = \left\langle\psi\left|\hat P(q)\right|\psi\right\rangle, \qquad |q\rangle = A\,\hat P(q)|\psi\rangle, \end{align}

AA 是重新归一化用的常数，因为单位矢量投到某个方向上一般不再是单位矢量。有简并时，设本征值 qq 对应多个本征矢，沿用上一节的记法把它们写成 ∣q,α⟩|q,\alpha\rangle，在简并子空间里取一组正交归一的这种矢，把投影算符定义成 P^(q)≡∑α∣q,α⟩⟨q,α∣\hat P(q)\equiv\sum_\alpha|q,\alpha\rangle\langle q,\alpha|，测量结果为 qq 的概率与坍缩后的态分别是

⟨ψ∣P^(q)∣ψ⟩=∑α∣⟨q,α∣ψ⟩∣2,A P^(q)∣ψ⟩=A∑α∣q,α⟩⟨q,α∣ψ⟩.\begin{align} \left\langle\psi\left|\hat P(q)\right|\psi\right\rangle = \sum_\alpha\left|\langle q,\alpha|\psi\rangle\right|^2, \qquad A\,\hat P(q)|\psi\rangle = A\sum_\alpha|q,\alpha\rangle\langle q,\alpha|\psi\rangle. \end{align}

用投影算符写的好处是它有可能推广到那些本征矢不存在或者不够多的算符上去，这一点与上一小节的两条出路接得上。

投影两次等于投影一次这一条还可以再往下走一步。把 P^(q)\hat P(q) 自己乘自己，中间那一层内积把 α\alpha 与 β\beta 不等的项筛掉

P^(q)P^(q)=∑α,β∣q,α⟩⟨q,α∣q,β⟩⟨q,β∣=∑α∣q,α⟩⟨q,α∣=P^(q),\begin{align} \hat P(q)\hat P(q) = \sum_{\alpha,\beta}|q,\alpha\rangle\langle q,\alpha|q,\beta\rangle\langle q,\beta| = \sum_\alpha|q,\alpha\rangle\langle q,\alpha| = \hat P(q), \end{align}

所以投影算符是幂等的。设 P^(q)∣λ⟩=λ∣λ⟩\hat P(q)|\lambda\rangle = \lambda|\lambda\rangle，两边再作用一次 P^(q)\hat P(q)，用刚得到的幂等性，左边仍是 λ∣λ⟩\lambda|\lambda\rangle，右边是 λ2∣λ⟩\lambda^2|\lambda\rangle，于是 λ=λ2\lambda = \lambda^2，本征值只能是 11 或 00。

这样一来 P^(q)\hat P(q) 本身也可以当成一个可观测量去测，读数只有两种，11 表示 QQ 的取值是 qq，00 表示取值不是 qq。它问的是一个是非问题，问体系在不在 qq 对应的那个子空间里。前面把概率与坍缩都写成了 P^(q)\hat P(q) 的式子，读的就是这个是非问题的答案。

量子力学的基本假设

教材在这一节末尾把假设收拢成三条。

  1. 一个物理系统的状态空间是一个希尔伯特空间 H\mathcal{H}，具体是哪个空间取决于系统涉及哪些自由度。在任意时刻 tt，体系的状态完全由 H\mathcal{H} 中的一个归一化态矢量 ∣ψ(t)⟩|\psi(t)\rangle 描述。
  2. 物理可观测量 QQ 对应一个作用在 H\mathcal{H} 上的自伴算符 Q^\hat Q。测量结果是 Q^\hat Q 的本征值 qq，概率分布由 qq 对应的投影算符在态矢量下的期待值 ⟨ψ∣P^(q)∣ψ⟩\langle\psi|\hat P(q)|\psi\rangle 给出，测量后体系的状态坍缩到 P^(q)∣ψ⟩\hat P(q)|\psi\rangle。
  3. 没有发生测量时，态矢量随时间的演化遵循薛定谔方程
iℏ∂∂t∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩,\begin{align} i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat H|\psi(t)\rangle, \end{align}

其中 H^\hat H 是哈密顿算符，对应体系的总能量。

这三条里，第一条换了说法，从「由波函数描述」换成「由态矢量描述」；第二条是新的，前面只有零散的经验；第三条在第二章已经出现过，这里只是把 Ψ\Psi 换成了 ∣ψ⟩|\psi\rangle。三条加起来，量子力学的框架就闭合了，剩下的工作是解具体问题。

双态系统

量子力学里最简单的模型是一个二维希尔伯特空间，叫双态系统。它在数学上特别简单，比双缝干涉简单得多，理解基本原理很合适，有些教材干脆用它来讲第一章。它也有实用价值，能描述真实体系的某些自由度，后面要讲的电子自旋就是一个双态系统。

设两个正交归一的基矢为 ∣a1⟩|a_1\rangle 与 ∣a2⟩|a_2\rangle，它们是可观测量算符 A^\hat A 的本征值为 a1=1a_1=1、a2=−1a_2=-1 的本征矢。这组基矢下

∣a1⟩=(10),∣a2⟩=(01),A^=(100−1).\begin{align} |a_1\rangle = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}, \qquad |a_2\rangle = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}, \qquad \hat A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}. \end{align}

要再说一次，列矢与矩阵都依赖基矢，态矢量与算符本身不依赖基矢，上式里的等号隐含了一组选定的基矢。

再引入另一个可观测量 B^\hat B，定义为

B^∣a1⟩=∣a2⟩,B^∣a2⟩=∣a1⟩,B^=(0110).\begin{align} \hat B|a_1\rangle = |a_2\rangle, \qquad \hat B|a_2\rangle = |a_1\rangle, \qquad \hat B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{align}

它的本征值由行列式方程 ∣−b11−b∣=0\begin{vmatrix}-b & 1\\ 1 & -b\end{vmatrix}=0 定出，两个解是 b1=1b_1=1、b2=−1b_2=-1，代回本征方程得到两个本征矢

∣b1⟩=12(∣a1⟩+∣a2⟩)=12(11),∣b2⟩=12(∣a1⟩−∣a2⟩)=12(1−1).\begin{align} |b_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|a_1\rangle + |a_2\rangle\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix}, \qquad |b_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|a_1\rangle - |a_2\rangle\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1\\ -1 \end{pmatrix}. \end{align}

A^\hat A 与 B^\hat B 的本征值完全一样，都是 ±1\pm1。这在 B^\hat B 的定义下是必然的，B^\hat B 交换两个基矢，对称组合不翻号，反对称组合翻号，本征值只能取 ±1\pm1。这一点后面不碍事，判断两个可观测量是否相容看的是本征矢，不看本征值。

测量

二维空间里一个归一化的态矢可以一般地写成

∣ψ⟩=cos⁡θ∣a1⟩+sin⁡θ eiϕ∣a2⟩=(cos⁡θsin⁡θ eiϕ).\begin{align} |\psi\rangle = \cos\theta|a_1\rangle + \sin\theta\,e^{i\phi}|a_2\rangle = \begin{pmatrix} \cos\theta\\ \sin\theta\,e^{i\phi} \end{pmatrix}. \end{align}

这里其实暗含了两个约定，θ\theta 的取值范围取成 [0,π/2][0,\pi/2]，整体的相位已经被固定在第一个分量为实数的情形，否则 cos⁡θ\cos\theta 的符号可以靠整体相位吸收掉。这两个参数一个管两个分量的比例，一个管相对相位。

在 ∣ψ⟩|\psi\rangle 态下测 AA，可能的结果就是 a1a_1 或 a2a_2，概率分别是

P(a1)=∣⟨a1∣ψ⟩∣2=cos⁡2θ,P(a2)=∣⟨a2∣ψ⟩∣2=sin⁡2θ,\begin{align} P(a_1) = \left|\langle a_1|\psi\rangle\right|^2 = \cos^2\theta, \qquad P(a_2) = \left|\langle a_2|\psi\rangle\right|^2 = \sin^2\theta, \end{align}

测完按结果坍缩到 ∣ai⟩|a_i\rangle。同样在这个态下测 BB，结果 b1b_1 或 b2b_2 的概率是

P(b1)=∣⟨b1∣ψ⟩∣2=12cos⁡2θ+12sin⁡2θ+sin⁡θcos⁡θcos⁡ϕ,P(b2)=12cos⁡2θ+12sin⁡2θ−sin⁡θcos⁡θcos⁡ϕ.\begin{align} P(b_1) = \left|\langle b_1|\psi\rangle\right|^2 = \frac{1}{2}\cos^2\theta + \frac{1}{2}\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta\cos\phi, \qquad P(b_2) = \frac{1}{2}\cos^2\theta + \frac{1}{2}\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta\cos\phi. \end{align}

两个概率都出现了随 θ\theta 与 ϕ\phi 变化的干涉项 ±sin⁡θcos⁡θcos⁡ϕ\pm\sin\theta\cos\theta\cos\phi，教材用的就是「干涉」这个词，因为这一项的形状与双缝干涉里那项同源，它来自两个复振幅相加之后取模方。

现在换个实验设定，在测 BB 之前先测一次 AA，但不记录测 AA 的结果。这相当于把测 AA 的两种可能合在一起考虑，很像双缝实验中不去看电子究竟走哪条缝。测 AA 的概率分布由上面的 P(aj)P(a_j) 给出，测完体系坍缩到 ∣a1⟩|a_1\rangle 或 ∣a2⟩|a_2\rangle。用 P(bi∣aj)P(b_i|a_j) 表示在 ∣aj⟩|a_j\rangle 态下测 BB 得到 bib_i 的条件概率，四种情况完全相等，P(bi∣aj)=∣⟨bi∣aj⟩∣2=1/2P(b_i|a_j)=\left|\langle b_i|a_j\rangle\right|^2=1/2。于是先测 AA 再测 BB 时，BB 取 bib_i 的概率是

PA(bi)=∑jP(bi∣aj)P(aj)=12(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=12.\begin{align} P_A(b_i) = \sum_j P(b_i|a_j)P(a_j) = \frac{1}{2}\left(\cos^2\theta + \sin^2\theta\right) = \frac{1}{2}. \end{align}

干涉项不见了。中间那次没有记录的 AA 测量把两个振幅的相位关系打掉了，剩下的是两个概率直接相加。教材在这里点明这与双缝实验的相似之处，一旦想确认电子走了哪条缝，干涉条纹就消失。

情形P(b1)P(b_1)P(b2)P(b_2)
直接测 BB12+sin⁡θcos⁡θcos⁡ϕ\frac{1}{2} + \sin\theta\cos\theta\cos\phi12−sin⁡θcos⁡θcos⁡ϕ\frac{1}{2} - \sin\theta\cos\theta\cos\phi
先测 AA 后再测 BB12\frac{1}{2}12\frac{1}{2}

由此可以看出量子力学里不同观测量的测量一般会互相干扰，测一个量会影响之后测另一个量的结果，这样的两个量叫不相容。也有一些可观测量互不干扰，叫相容，下一小节处理。

最后把期待值与不确定度算出来。按概率加权

⟨A⟩=∑iaiP(ai)=cos⁡2θ,⟨B⟩=∑ibiP(bi)=sin⁡2θcos⁡ϕ,\begin{align} \langle A\rangle = \sum_i a_iP(a_i) = \cos 2\theta, \qquad \langle B\rangle = \sum_i b_iP(b_i) = \sin 2\theta\cos\phi, \end{align} ⟨A2⟩=∑iai2P(ai)=1,⟨B2⟩=∑ibi2P(bi)=1,σA2=sin⁡22θ,σB2=1−sin⁡22θcos⁡2ϕ.\begin{align} \left\langle A^2\right\rangle = \sum_i a_i^2P(a_i) = 1, \qquad \left\langle B^2\right\rangle = \sum_i b_i^2P(b_i) = 1, \qquad \sigma_A^2 = \sin^2 2\theta, \qquad \sigma_B^2 = 1 - \sin^2 2\theta\cos^2\phi. \end{align}

σA=0\sigma_A=0 要求 sin⁡2θ=0\sin 2\theta=0，也就是 θ=0\theta=0 或 θ=π/2\theta=\pi/2，这两种情形下 σB2=1\sigma_B^2=1。反过来让 σB=0\sigma_B=0 也会把 σA\sigma_A 推到最大值。所以不存在一个状态让 AA 和 BB 同时有确定值。

TikZ 源码
\begin{tikzpicture}[>=stealth, thick, font=\small]
  \def\R{1.9}
  \draw (0,0) circle (\R);
  \draw (-\R,0) arc (180:360:{\R} and {0.62*\R});
  \draw[dashed] (\R,0) arc (0:180:{\R} and {0.62*\R});
  \draw[->] (0,-\R-0.6) -- (0,\R+0.7) node[above] {$|a_1\rangle$};
  \node[below, font=\scriptsize] at (0,-\R-0.6) {$|a_2\rangle$};
  \draw[->] (-\R-0.6,0) -- (\R+0.8,0) node[right] {$|b_1\rangle$};
  \node[left, font=\scriptsize] at (-\R-0.6,0) {$|b_2\rangle$};
  \draw[->, very thick, blue] (0,0) -- (1.434,0.331);
  \node[black] at (1.02,0.64) {$|\psi\rangle$};
  \draw[dashed] (1.434,0.331) -- (1.455,-0.757);
  \fill (1.455,-0.757) circle (0.045);
  \draw (0,0.6) arc (90:13:0.6);
  \node[font=\scriptsize] at (0.42,0.78) {$2\theta$};
  \draw (0.75,0) arc (0:-27:0.75);
  \node[font=\scriptsize] at (0.98,-0.30) {$\phi$};
\end{tikzpicture}

这个球面把 θ\theta 与 ϕ\phi 两个参数画成了球坐标，物理文献里管它叫布洛赫球面。上下两极是两个 ∣a⟩|a\rangle 基矢，赤道上相对的两个点是两个 ∣b⟩|b\rangle 基矢，球面上的每个点对应一个归一化态。测 AA 问的是点落在上半球还是下半球，测 BB 问的是点落在 ∣b1⟩|b_1\rangle 这一侧还是 ∣b2⟩|b_2\rangle 那一侧。这两个问题没法同时回答，图上任意一点都没有「既在上半球又在 ∣b1⟩|b_1\rangle 一侧」的确定位置，σA\sigma_A 与 σB\sigma_B 不能同时为零说的就是这件事。

演化

设哈密顿算符在上面那组基矢下的矩阵形式是

H^=(fggf),\begin{align} \hat H = \begin{pmatrix} f & g\\ g & f \end{pmatrix}, \end{align}

ff 与 gg 都是实数。这个形式不是最一般的厄米矩阵，它的两个对角元相等、两个非对角元相等，对应两个基矢代表的态能量相同、只通过 gg 互相耦合的情形，比如对称双势阱的两个最低态，或者自旋在横向磁场中的两个取向。真正一般的情形会在后面讲自旋的时候碰到。

态矢的演化遵循薛定谔方程

iℏddt∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩.\begin{align} i\hbar\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|\psi(t)\rangle = \hat H|\psi(t)\rangle. \end{align}

H^\hat H 不显含时间，用分离变量法先求定态解

∣ψE(t)⟩=e−iEt/ℏ∣E⟩,H^∣E⟩=E∣E⟩,\begin{align} |\psi_E(t)\rangle = e^{-iEt/\hbar}|E\rangle, \qquad \hat H|E\rangle = E|E\rangle, \end{align}

把矩阵代进去解出两个能级与对应的本征态

E±=f±g,∣E±⟩=12(∣a1⟩±∣a2⟩)=12(1±1).\begin{align} E_\pm = f \pm g, \qquad |E_\pm\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|a_1\rangle \pm |a_2\rangle\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1\\ \pm 1 \end{pmatrix}. \end{align}

给定初态，把它分解成定态解的叠加就得到 tt 时刻的态矢

∣ψ(t)⟩=∑i=+,−e−iEit/ℏ∣Ei⟩⟨Ei∣ψ(0)⟩=e−iH^t/ℏ∣ψ(0)⟩.\begin{align} |\psi(t)\rangle = \sum_{i=+,-}e^{-iE_it/\hbar}|E_i\rangle\langle E_i|\psi(0)\rangle = e^{-i\hat Ht/\hbar}|\psi(0)\rangle. \end{align}

中间那个用谱分解定义的指数函数

U^(t,0)≡e−iH^t/ℏ=∑ie−iEit/ℏ∣Ei⟩⟨Ei∣\begin{align} \hat U(t,0) \equiv e^{-i\hat Ht/\hbar} = \sum_i e^{-iE_it/\hbar}|E_i\rangle\langle E_i| \end{align}

叫时间演化算符，作用在初始态矢上给出 tt 时刻的态矢。它的每一项系数都是模为 1 的复数，所以 U^\hat U 保持任意两个态的内积不变，态矢量的模在演化过程中严格守恒。这一点不用另外证明，看谱分解就够，∣e−iEt/ℏ∣=1|e^{-iEt/\hbar}|=1 对每个本征值都成立。

取初态 ∣ψ(0)⟩=∣a1⟩|\psi(0)\rangle=|a_1\rangle，代进演化公式得到

∣ψ(t)⟩=e−ift/ℏ(cos⁡(gt/ℏ)−isin⁡(gt/ℏ)).\begin{align} |\psi(t)\rangle = e^{-ift/\hbar} \begin{pmatrix} \cos\left(gt/\hbar\right)\\ -i\sin\left(gt/\hbar\right) \end{pmatrix}. \end{align}

整体相位 e−ift/ℏe^{-ift/\hbar} 对任何期待值都无贡献，两个能级的平均值 ff 只负责给态矢量挂一个转动的相位，真正让态变的是能级差 2g2g。⟨A⟩\langle A\rangle 的振荡角频率是 2g/ℏ2g/\hbar，正好是能级差除以 ℏ\hbar，振荡周期则是 πℏ/g\pi\hbar/g。算一下可观测量 AA 的期待值

⟨A⟩(t)=⟨ψ(t)∣A^∣ψ(t)⟩=cos⁡2(gt/ℏ)−sin⁡2(gt/ℏ)=cos⁡(2gt/ℏ),\begin{align} \langle A\rangle(t) = \left\langle\psi(t)\left|\hat A\right|\psi(t)\right\rangle = \cos^2\left(gt/\hbar\right) - \sin^2\left(gt/\hbar\right) = \cos\left(2gt/\hbar\right), \end{align}

它在 a1=+1a_1=+1 与 a2=−1a_2=-1 之间来回振荡。教材说这一行为可以描述不少真实现象，比如电子的自旋在磁场中的进动、粒子物理里的中微子振荡。

TikZ 源码
\begin{tikzpicture}[>=stealth, thick, font=\small]
  \draw[->] (-0.3,0) -- (7.0,0) node[right] {$t$};
  \draw[->] (-0.1,-1.75) -- (-0.1,1.7) node[above] {$\langle A\rangle$};
  \draw[dashed] (0,1) -- (6.6,1) node[right, font=\scriptsize] {$+1$};
  \draw[dashed] (0,-1) -- (6.6,-1) node[right, font=\scriptsize] {$-1$};
  \draw[thick, red, domain=0:6.5, smooth, samples=220] plot (\x, {cos(deg(2*\x))});
  \fill (0,1) circle (0.05);
  \node[right, font=\scriptsize] at (0.12,1.28) {初态 $|a_1\rangle$};
  \draw[<->] (0,-1.55) -- (3.14,-1.55);
  \node[below, font=\scriptsize] at (1.57,-1.58) {$\pi\hbar/g$};
  \node[font=\scriptsize] at (4.9,0.42) {$\cos(2gt/\hbar)$};
  \fill (3.14,1) circle (0.05);
  \node[above, font=\scriptsize] at (3.2,1.05) {回到 $|a_1\rangle$};
\end{tikzpicture}

t=0t=0 时 ⟨A⟩=1\langle A\rangle=1，态就在 ∣a1⟩|a_1\rangle 上；过 πℏ/g\pi\hbar/g 之后 ⟨A⟩\langle A\rangle 回到 11，态回到 ∣a1⟩|a_1\rangle（差一个整体相位），整个系统完成一次完整的振荡。中间在 πℏ/2g\pi\hbar/2g 处 ⟨A⟩=−1\langle A\rangle=-1，态完全变成 ∣a2⟩|a_2\rangle。这个周期性的回归是双态系统演化的标志，后面讲自旋的时候会看到它在实验上就是自旋进动。

相容可观测量

回头看刚刚那个哈密顿算符，它的本征矢与 B^\hat B 的本征矢是同一组，∣E+⟩=∣b1⟩|E_+\rangle=|b_1\rangle、∣E−⟩=∣b2⟩|E_-\rangle=|b_2\rangle，两边的本征值不一样，本征矢却一样。这意味着体系处于这两个态之一时，能量与可观测量 BB 同时有确定值。这还意味着这两个量的测量互不干扰。仍取那个一般的态 ∣ψ⟩|\psi\rangle，如果在测 BB 之前先测能量，无论坍缩到哪个能量本征态，接着测 BB 的结果都是确定的

P(b1∣E+)=1,P(b2∣E+)=0,P(b1∣E−)=0,P(b2∣E−)=1.\begin{align} P(b_1|E_+) = 1, \qquad P(b_2|E_+) = 0, \qquad P(b_1|E_-) = 0, \qquad P(b_2|E_-) = 1. \end{align}

又因为两组本征矢一样，在 ∣ψ⟩|\psi\rangle 态下测能量得到 E+E_+ 的概率与测 BB 得到 b1b_1 的概率相等，E−E_- 与 b2b_2 同理，P(E+)=P(b1)P(E_+)=P(b_1)、P(E−)=P(b2)P(E_-)=P(b_2)。用 PH(bi)P_H(b_i) 表示先测能量再测 BB 时得到 bib_i 的概率，把中间那一步合起来

PH(bi)=∑j=+,−P(bi∣Ej)P(Ej)=P(bi),\begin{align} P_H(b_i) = \sum_{j=+,-}P(b_i|E_j)P(E_j) = P(b_i), \end{align}

P(bi)P(b_i) 就是前面不先测能量、直接测 BB 的那两个含干涉项的概率。中间插了一次能量测量，结果完全不变。能量与 BB 是一对相容可观测量，它们的测量互不干扰。

互不干扰还可以用另一个实验设定看出来。在一般态下先测能量得到 EE，紧接着测一次 BB，然后立刻再测一次能量。由于 H^\hat H 与 B^\hat B 共享同一组本征基矢，中间那次测 BB 不会把体系挪出 H^\hat H 的本征值为 EE 的那个态，前后两次测能量的结果必定相同。

与上一小节对照，AA 与 BB 的本征矢不同，中间插一次 AA 就把 BB 的干涉项抹掉；H^\hat H 与 BB 的本征矢相同，中间插一次能量测量什么也没改变。两个可观测量相不相容，判据就落在它们的本征矢上。

一点小结

写到这里，这一章覆盖了教材的 §4.1 到 §4.3 三节。

§4.1 建空间。开头先按课上的顺序复习第二、三章的那几件事，把演化方程、定态展开与内积的不变性并到一页纸上，同一状态的多种写法是这一节的起点。教材从动量空间波函数与叠加系数的等价性出发，指出三种表述背后是同一个复内积矢量空间，先讲有限维的厄米空间，再讲 L2(R)L^2(\mathbb{R}) 这个无穷维空间，最后把右矢、左矢、投影算符、完备性关系这一套记号立起来。那一整节做的事情可以概括成一句话，波函数是一组坐标，态是矢量。

§4.2 建算符。线性算符有矩阵表示，有伴算符，伴算符等于自身并且定义域相同的才叫自伴算符。自伴算符的三条性质这一节逐条证了，本征值实、不同本征值的本征矢正交、本征矢完备。无穷维里第三条要分类讨论，有下界且只有分立谱的算符（谐振子）照搬有限维的结论，位置与动量这类连续谱算符则要另想办法。本征矢组完备之后，谱分解顺带给出算符的函数，它作用在本征矢上只是把本征值换成 f(qi)f(q_i)，有简并时求和要遍历整个简并子空间。有了这些，可观测量对应自伴算符、测量结果是本征值、概率是投影的模方、测量后态坍缩，这几条才能写成假设，最后收拢成三条基本假设。投影算符的幂等性还说明了它为什么可以当成观测量用，它的读数只有 11 与 00，问的是一个是非问题。

§4.3 拿二维空间把整套东西跑一遍。∣a1⟩|a_1\rangle、∣a2⟩|a_2\rangle 是 A^\hat A 的本征矢，∣b1⟩|b_1\rangle、∣b2⟩|b_2\rangle 是 B^\hat B 的本征矢，两组基相差 45∘45^\circ，于是先测哪个量会改变后一个量的概率分布，干涉项在有中间测量时消失。哈密顿算符的本征矢恰好与 B^\hat B 的一样，于是能量与 BB 相容，中间插一次测量不改变结果。这一节的计算比前面具体得多，真正新出现的东西却只有态矢随时间的振荡，而振荡的来源是两个能级之差。

本章后面还有不少内容，教材的顺序是表象变换、不确定关系的一般形式、对易量与守恒量完全集，再往后是绘景的变换，最后把两个系统拼在一起讲张量积，这些等课上讲到了再往后补。到那时候回头看这一章，会发现自己一直在做同一件事，把具体的波函数写成矢量，把具体的操作写成算符，然后在一个与具体表示无关的层次上讨论。双态系统的计算之所以比双缝干涉简单，原因也在这里，它把所有与表示有关的细节都压缩进了两个基矢和两个参数里。

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