天体测量基础

坐标系

赤道坐标系：

• 以地球为中心，天球为半径无限大的假想球面。
• 北天极（NCP）、南天极（SCP）：地球自转轴与天球交点。
• 天赤道：地球赤道面与天球相交平面。
• 春分点：黄道与天赤道的升交点，赤经零点。
• 赤经（RA, $\alpha$）：天体与春分点的角距离，由西向东增加。
• 赤纬（Dec, $\delta$）：从天赤道向北为正，向南为负。

银道坐标系：

• 以银河系盘面为基准。
• 银道与天赤道夹角 $62.5^\circ$，北银极 $(\alpha\approx192.8^\circ,\delta\approx27.12^\circ)$。
• 银纬 $b$：天体偏离银道面的角度。
• 银经 $l$：天体与银心方向（Sgr A*）的夹角。

视差与距离测量

三角视差：

• 地球公转导致恒星相对背景的位置变化。
• 视差 $w$ 满足 $\tan w \approx w = \dfrac{1\,\mathrm{AU}}{d}$（$w$ 以弧度为单位）。
• 定义：$1\,\mathrm{pc}$ 对应视差 $1''$ 的距离。
• 依巴谷卫星精度 $\sim 1\,\mathrm{mas}$，可测 $\sim 200\,\mathrm{pc}$（误差20%）。
• GAIA卫星精度 $\sim 20\,\mu\mathrm{as}$，可测 $\sim 10\,\mathrm{kpc}$（误差20%）。

人眼分辨率：$\theta = 1.22\lambda/D$，瞳孔直径 $3\,\mathrm{mm}$，波长 $550\,\mathrm{nm}$，分辨率约 $1'$，无法分辨恒星视差。

自行

• 恒星在扣除地球公转后，在与视线垂直方向上的角运动。
• 单位：$\mathrm{mas/yr}$，典型值 $\sim 0.1''/\mathrm{yr}$。
• 最大自行：Barnard星 $10.25''/\mathrm{yr}$。
• GAIA测量超过10亿颗恒星的自行，精度达 $10\,\mu\mathrm{as}$。

视向速度与红移

多普勒红移（相对论性推导）：

• 观测波长 $\lambda' = \lambda (1 + V_r/c) \gamma$，$\gamma = 1/\sqrt{1-V^2/c^2}$
• 红移 $z = \dfrac{\lambda' - \lambda}{\lambda} = \dfrac{V_r}{c}\gamma$
• 低速近似（$V \ll c$）：$z \approx V_r/c$

测量方法：利用恒星光谱中已知谱线的偏移确定视向速度。

• LAMOST（郭守敬望远镜）：有效口径4米，4000根光纤，已获超1000万光谱，视向速度精度 $\sim 5\,\mathrm{km/s}$。
• GAIA：约700万恒星有视向速度，精度 $1\,\mathrm{km/s}$。

星系基本观测性质

光度与亮度

• 光度（Luminosity, $L$）：天体单位时间辐射的总能量，内禀量，单位 $\mathrm{erg/s}$。太阳热光度 $L_{\odot}=3.86\times 10^{33}\,\mathrm{erg/s}$。
• 亮度（Flux, $F$）：观测者单位时间接收到的能量，$F = L/(4\pi d^2)$，单位 $\mathrm{W/m^2}$ 或 $\mathrm{erg/s/cm^2}$。

星等系统

视星等（apparent magnitude）：

• 定义：$m_1 - m_2 = -2.5\log_{10}(F_1/F_2)$
• 标准：织女星在各波段视星等为0。

绝对星等（absolute magnitude, $M$）：

• 天体置于 $10\,\mathrm{pc}$ 时的视星等。
• 距离模数：$m - M = 5\log_{10} d - 5$（$d$ 以 $\mathrm{pc}$ 为单位）

AB星等：

• 基于绝对流量的星等系统：$m_{AB} = -2.5\log_{10} f_\nu - 48.60$，$f_\nu$ 单位为 $\mathrm{erg/s/cm^2/Hz}$。

滤光片系统

常用测光系统及有效波长：

系统	滤光片	有效波长（nm）	半高全宽（nm）
UBVRI	U	365	66
	B	445	94
	V	551	88
	R	658	138
	I	806	149
SDSS	u	352	63
	g	480	141
	r	625	139
	i	703	154
	z	911	141

颜色

• 颜色指数：两个不同波段星等差，反映流量比，与距离无关。
• 例：$B-V$ 反映恒星温度，$U-B$ 对化学组成敏感。

大气与星际消光

大气消光：

• 大气透过率 $T_\nu \propto e^{-\alpha}$，$\alpha \propto \sec z$（$z$ 为天顶距）。
• 星等改正：$m(z) = k\sec z + \text{constant}$，外推至 $\sec z=0$ 得大气外星等。

星际尘埃消光：

• 消光量 $A(\lambda) = m_0(\lambda) - m_T(\lambda)$。
• 短波消光严重，导致天体颜色变红（红化）。
• 消光曲线 $K(\lambda) = A(\lambda)/A(V)$ 与尘埃成分有关。
• 色余：$CE = [m_0(\lambda_1)-m_0(\lambda_2)] - [m_T(\lambda_1)-m_T(\lambda_2)] = A(\lambda_1)-A(\lambda_2)$，用于估计距离。

星系的主要组成

恒星

• 恒星光谱近似黑体辐射，峰值波长 $\lambda_{\text{max}}T = 0.29\,\mathrm{cm\cdot K}$（维恩位移定律）。
• 恒星分类（OBAFGKM）：温度从高到低，光谱特征不同。
  • O型：He II线，紫外强
  • A型：氢线（Balmer线）最强
  • G型：Ca II线强
  • M型：分子谱线

星际介质（ISM）

星际介质指恒星之间的物质，占星系总质量的一部分。

中性氢（HI）：

• 温度 $100-1000\,\mathrm{K}$，密度 $0.1-10\,\mathrm{atom/cm^3}$。
• 21cm辐射：电子角动量反转，频率 $1.4\,\mathrm{GHz}$（波长 $21\,\mathrm{cm}$），用于探测中性氢分布和星系旋转曲线。
• 银河系HI质量约 $10^{10}M_{\odot}$。

分子云：

• 密度 $>10\,\mathrm{atom/cm^3}$，主要成分 $H_2$ 和 $CO$。
• CO转动跃迁（$J=1-0$，$115.3\,\mathrm{GHz}$）是主要观测手段。
• 质量 $10-10^6 M_{\odot}$，尺度 $3-300\,\mathrm{ly}$。

电离氢区（HII）：

• 大质量恒星紫外光子电离周围气体，温度 $\sim 10^4\,\mathrm{K}$。
• 发射线：H$\alpha$（$656.28\,\mathrm{nm}$），OIII（$496,500.7\,\mathrm{nm}$）等。
• H$\alpha$ 强度用于测量恒星形成率。

尘埃：

• 占ISM质量 $\sim 1\%$，尺寸 $0.1-10\,\mu\mathrm{m}$，主要成分硅酸盐、石墨。
• 吸收紫外光子，在红外、远红外再辐射。
• 影响星系光谱能量分布。

星系分类

哈勃音叉图

哈勃（1926）按形态分类：

• 椭圆星系（E）：椭球形，E0-E7（椭率增加），老年恒星为主，少气体尘埃。质量范围广，大质量椭圆星系常在星系团中心。
• 漩涡星系（S）：有核球和旋臂，Sa（核球大，旋臂紧）→ Sb → Sc（核球小，旋臂松）。有大量气体和年轻恒星。
• 棒旋星系（SB）：有明显棒状结构，SBa-SBb-SBc。
• 不规则星系：无固定形态。

早型星系（椭圆星系）与晚型星系（漩涡星系）的命名源于早期错误观念（认为椭圆先形成），实际形成顺序更复杂。

表面亮度分布

• 等亮度线：星系表面亮度相等点的连线，可用椭圆拟合，不同半径处轴比和指向可能变化。
• Sérsic轮廓：$I(R) = I_0 \exp\left[-\beta_n \left(\dfrac{R}{R_e}\right)^{1/n}\right]$
  • $R_e$：半光半径（包含一半总流量）
  • $\beta_n \approx 2n - 0.324$（$n>1$）
  • $n=4$：de Vaucouleurs轮廓，适用于椭圆星系
  • $n=1$：指数轮廓，适用于漩涡星系盘

星系光谱

光谱特征

• 椭圆星系：吸收线为主，$4000\,\mathrm{\mathring{A}}$ 跳变（Ca II H、K线），老年恒星主导。
• 漩涡星系/星暴星系：强发射线（Balmer线、OII、OIII），来自恒星形成区（HII区），紫外连续谱强。
• 少数特殊类型：死亡的盘星系（无发射线，类椭圆光谱），有发射线的椭圆星系（存在少量年轻恒星）。

谱线来源（以氢原子为例）

• 能级：$E_n = -13.6/n^2\,\mathrm{eV}$
• 莱曼线系：与基态相关，紫外波段
• 巴耳末线系：与 $n=2$ 相关，可见光波段（H$\alpha$ $656\,\mathrm{nm}$，H$\beta$ $486\,\mathrm{nm}$，H$\gamma$ $434\,\mathrm{nm}$）
• 温度影响：
  • $>30000\,\mathrm{K}$：完全电离
  • $\sim 10000\,\mathrm{K}$：氢原子多处于 $n=2$，产生Balmer线
  • $\sim 5000\,\mathrm{K}$：多处于基态，产生Lyman线

星系光度函数

Schechter函数

描述单位体积内某一光度（或质量）范围的星系数密度：

$$\begin{align} \phi(L)dL = \phi^* \left(\frac{L}{L^*}\right)^\alpha \exp\left(-\frac{L}{L^*}\right) \frac{dL}{L^*} \end{align}$$

• $\phi^*$：归一化密度
• $L^*$：特征光度
• $\alpha$：暗端斜率（$-2 < \alpha < -1$）

导出量：

• 星系总密度：$N_g = \int_0^\infty \phi(L)dL = \phi^* \Gamma(1+\alpha)$
• 光度密度：$\mathcal{L} = \int_0^\infty L\phi(L)dL = \phi^* L^* \Gamma(2+\alpha)$

性质：

• $\alpha < -1$ 时，暗星系数目发散（但总光度收敛，避免“光度灾难”）。
• 亮星系中椭圆星系占主导，暗星系中漩涡星系占主导。
• 宇宙早期不规则星系增多，晚期椭圆星系增加。