电动力学

· 更新于 2026年6月30日· 约 2 分钟· 357 字
物理电动力学
#物理#电动力学#麦克斯韦方程组#电磁感应

麦克斯韦方程组

真空中的麦克斯韦方程组（微分形式）：

∇⋅E=ρϵ0(高斯定律)∇⋅B=0∇×E=−∂B∂t(法拉第定律)∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂E∂t(安培-麦克斯韦定律)\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \quad (\text{高斯定律}) \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0 \\ \nabla \times \boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \quad (\text{法拉第定律}) \\ \nabla \times \boldsymbol{B} &= \mu_0 \boldsymbol{J} + \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \quad (\text{安培-麦克斯韦定律}) \end{align}

洛伦兹力定律

电荷 qq 在电磁场中受到的力为

F=q(E+v×B)\begin{align} \boldsymbol{F} = q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}) \end{align}

磁力不做功：dWmag=Fmag⋅dl=0\mathrm{d}W_{\text{mag}} = \boldsymbol{F}_{\text{mag}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} = 0。

电磁感应与电动势

电动势 (EMF)：

E≡∮f⋅dl=∮fs⋅dl\begin{align} \mathcal{E} \equiv \oint \boldsymbol{f} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \oint \boldsymbol{f}_s \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} \end{align}

其中 fs\boldsymbol{f}_s 是源力（如化学力）。

法拉第定律（积分形式）：

∮E⋅dl=−dΦdt,Φ=∫B⋅da\begin{align} \oint \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}, \quad \Phi = \int \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} \end{align}

楞次定律：感应电流的方向总是使其产生的磁通量抵抗原磁通量的变化。

电感与磁能

互感 MM：Φ2=M21I1\Phi_2 = M_{21} I_1，M21=M12M_{21}=M_{12}。

自感 LL：Φ=LI\Phi = L I，E=−LdIdt\mathcal{E} = -L\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}。

磁能：

W=12LI2=12μ0∫B2 dτ\begin{align} W = \frac{1}{2}LI^2 = \frac{1}{2\mu_0}\int B^2\,\mathrm{d}\tau \end{align}

位移电流

麦克斯韦修正项 ϵ0∂E∂t\epsilon_0\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} 解决了安培定律在非稳恒情况下的矛盾。位移电流密度定义为 Jd=ϵ0∂E∂t\boldsymbol{J}_d = \epsilon_0\dfrac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}。

物质中的麦克斯韦方程组

引入辅助场 D=ϵ0E+P\boldsymbol{D} = \epsilon_0\boldsymbol{E} + \boldsymbol{P} 和 H=1μ0B−M\boldsymbol{H} = \dfrac{1}{\mu_0}\boldsymbol{B} - \boldsymbol{M}：

∇⋅D=ρf∇×E=−∂B∂t∇⋅B=0∇×H=Jf+∂D∂t\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{D} &= \rho_f \\ \nabla\times\boldsymbol{E} &= -\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} \\ \nabla\cdot\boldsymbol{B} &= 0 \\ \nabla\times\boldsymbol{H} &= \boldsymbol{J}_f + \frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t} \end{align}

边界条件

在两种介质交界面上：

Dabove⊥−Dbelow⊥=σfEabove∥=Ebelow∥Babove⊥=Bbelow⊥Habove∥−Hbelow∥=Kf×n^\begin{align} D_{\text{above}}^\perp - D_{\text{below}}^\perp &= \sigma_f \\ E_{\text{above}}^\parallel &= E_{\text{below}}^\parallel \\ B_{\text{above}}^\perp &= B_{\text{below}}^\perp \\ H_{\text{above}}^\parallel - H_{\text{below}}^\parallel &= \boldsymbol{K}_f\times\hat{\boldsymbol{n}} \end{align}