特殊函数常微分方程

在利用分离变量法求解数学物理方程时，常会遇到拉普拉斯方程、波动方程或热传导方程在曲线坐标系（如球坐标、柱坐标）下的分离变量，从而导出一些具有特定形式的二阶线性常微分方程。这些方程的解构成数学物理中常用的特殊函数。

常见的特殊函数常微分方程有：

• 勒让德方程（球坐标下角度部分）

  $$\begin{align} (1-x^2)y'' - 2xy' + \left[ l(l+1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right] y = 0, \end{align}$$

  当 $m=0$ 时称为 勒让德方程：

  $$\begin{align} (1-x^2)y'' - 2xy' + l(l+1)y = 0. \end{align}$$

• 贝塞尔方程（柱坐标下径向部分）

  $$\begin{align} x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2) y = 0, \end{align}$$

  其中 $\nu$ 为常数（阶数）。

• 埃尔米特方程（量子力学谐振子问题）

  $$\begin{align} y'' - 2xy' + 2n y = 0. \end{align}$$

• 拉盖尔方程（氢原子径向方程）

  $$\begin{align} x y'' + (1-x) y' + n y = 0. \end{align}$$

这些方程的共同特点是系数在特定点（如 $x=0$ 或 $x=\pm1$）处可能为奇点，因此需要采用级数解法寻求通解。

常点邻域上的级数解法

考虑二阶线性齐次常微分方程的标准形式

$$\begin{align} y''(x) + p(x) y'(x) + q(x) y(x) = 0. \end{align}$$

定义（常点）：若函数 $p(x)$ 和 $q(x)$ 在点 $x_0$ 处解析（即可展开为 $x-x_0$ 的泰勒级数），则称 $x_0$ 为方程的 常点。

理论前提

在常点 $x_0$ 的邻域内，方程的解存在且唯一，并可展开为 $x-x_0$ 的幂级数：

$$\begin{align} y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n, \end{align}$$

其中 $a_0, a_1$ 由初始条件确定（若没有初始条件，则它们是两个任意常数，对应通解的两个线性无关解）。

求解步骤

1. 将幂级数代入方程，合并同次幂项。
2. 令各次幂的系数为零，得到系数间的递推关系。
3. 利用递推关系将 $a_n$ 用 $a_0$ 和 $a_1$ 表示。
4. 写出级数形式的两个线性无关解。

例：勒让德方程在 $x=0$ 处的解

勒让德方程 $(1-x^2)y'' - 2xy' + l(l+1)y = 0$ 中 $p(x) = -\frac{2x}{1-x^2}$，$q(x) = \frac{l(l+1)}{1-x^2}$，均在 $x=0$ 解析，故 $x=0$ 为常点。设 $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，代入可得递推关系

$$\begin{align} a_{n+2} = \frac{n(n+1) - l(l+1)}{(n+2)(n+1)} a_n. \end{align}$$

由此得到两个线性无关解：一个偶次幂级数（$a_1=0$）和一个奇次幂级数（$a_0=0$）。当 $l$ 为整数时，其中一个解退化为多项式（勒让德多项式）。

“NOTE

注意：递推关系通常只连接相同奇偶性的系数，因此两个解自然分离。

正则奇点邻域上的级数解法

若 $x_0$ 不是常点，但满足以下条件，则称为正则奇点。

定义（正则奇点）：对于方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$，如果 $x_0$ 是 $p(x)$ 或 $q(x)$ 的奇点，但 $(x-x_0)p(x)$ 和 $(x-x_0)^2 q(x)$ 在 $x_0$ 解析，则称 $x_0$ 为方程的 正则奇点。

理论前提

在正则奇点 $x_0$ 的邻域内（挖去奇点），至少存在一个形如 广义幂级数（Frobenius级数） 的解：

$$\begin{align} y(x) = (x-x_0)^\rho \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n, \quad a_0 \neq 0, \end{align}$$

其中指数 $\rho$ 称为 指标，由 指标方程 确定。

Frobenius方法步骤

1. 设解为 $y = (x-x_0)^\rho \sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$，代入方程，约去最低幂次 $(x-x_0)^{\rho-2}$。

2. 令 $x=x_0$ 得到关于 $\rho$ 的二次方程——指标方程：

   $$\begin{align} \rho(\rho-1) + \alpha \rho + \beta = 0, \end{align}$$

   其中 $\alpha = \lim_{x\to x_0} (x-x_0)p(x)$，$\beta = \lim_{x\to x_0} (x-x_0)^2 q(x)$。

3. 解指标方程得两个根 $\rho_1, \rho_2$（通常设 $\mathrm{Re}\,\rho_1 \ge \mathrm{Re}\,\rho_2$）。

4. 将较大的根 $\rho_1$ 代入，递推出所有系数 $a_n$，得到一个解 $y_1(x)$。

5. 第二个解的形式取决于两根之差：

   • 若 $\rho_1 - \rho_2$ 不为整数，则第二个解 $y_2$ 可由 $\rho_2$ 代入相同递推得到，且 $y_1$ 与 $y_2$ 线性无关。

   • 若 $\rho_1 = \rho_2$（重根），则第二个解需含对数项：

     $$\begin{align} y_2(x) = y_1(x) \ln(x-x_0) + (x-x_0)^{\rho_1} \sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n. \end{align}$$

   • 若 $\rho_1 - \rho_2$ 为正整数，则用较小根 $\rho_2$ 代入递推时可能遇到系数无法确定（分母为零），此时第二个解也需含对数项：

     $$\begin{align} y_2(x) = C y_1(x) \ln(x-x_0) + (x-x_0)^{\rho_2} \sum_{n=0}^\infty c_n (x-x_0)^n. \end{align}$$

例：贝塞尔方程在 $x=0$ 处的解

$\nu$ 阶贝塞尔方程 $x^2 y'' + x y' + (x^2 - \nu^2)y = 0$ 可化为标准形式，$x=0$ 为正则奇点。设 $y = x^\rho \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$，代入得指标方程 $\rho^2 - \nu^2 = 0$，故 $\rho = \pm \nu$。当 $2\nu$ 不为整数时，两个线性无关解为

$$\begin{align} J_\nu(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}, \quad J_{-\nu}(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m-\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m-\nu}. \end{align}$$

当 $\nu$ 为整数 $n$ 时，$J_n$ 与 $J_{-n}$ 线性相关，需引入诺伊曼函数 $N_n(x)$ 作为第二个解。

“NOTE

正则奇点邻域的级数解在特殊函数理论中至关重要，几乎所有特殊函数都可通过 Frobenius 方法定义。

施图姆-刘维尔本征值问题

在分离变量法中，常得到含参数 $\lambda$ 的常微分方程，结合边界条件构成 本征值问题。其一般形式为 施图姆-刘维尔型方程。

施图姆-刘维尔型方程

$$\begin{align} \frac{d}{dx}\left[ p(x) \frac{dy}{dx} \right] + [q(x) + \lambda \rho(x)] y = 0, \quad a < x < b, \end{align}$$

其中 $p(x), q(x), \rho(x)$ 为已知函数，通常要求 $p(x) > 0$，$\rho(x) > 0$（权函数），且 $p, q, \rho$ 在区间上连续或分段连续。边界条件通常为以下三类之一：

• 第一类边界条件：$y(a)=0$，$y(b)=0$（或一端为零）。
• 第二类边界条件：$y'(a)=0$，$y'(b)=0$。
• 第三类边界条件：$\alpha y(a) + \beta y'(a) = 0$，$\gamma y(b) + \delta y'(b) = 0$（$\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 为常数，且不同时为零）。

有时还会遇到周期性边界条件（如 $y(a)=y(b)$，$y'(a)=y'(b)$）。

施图姆-刘维尔本征值问题的性质

1. 本征值存在性：存在无穷多个实数本征值 $\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n < \cdots$，且 $\lambda_n \to \infty$。

2. 本征函数的正交性：对应于不同本征值 $\lambda_m \neq \lambda_n$ 的本征函数 $y_m(x)$ 和 $y_n(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上带权 $\rho(x)$ 正交：

   $$\begin{align} \int_a^b \rho(x) y_m(x) y_n(x) \, dx = 0, \quad m \neq n. \end{align}$$

3. 本征函数的完备性：任意满足边界条件且分段光滑的函数 $f(x)$ 可按本征函数展开为广义傅里叶级数：

   $$\begin{align} f(x) = \sum_{n=1}^\infty c_n y_n(x), \end{align}$$

   其中系数

   $$\begin{align} c_n = \frac{\int_a^b \rho(x) f(x) y_n(x) \, dx}{\int_a^b \rho(x) y_n^2(x) \, dx}. \end{align}$$

理论前提

上述性质成立的前提是方程在区间 $[a,b]$ 上满足施图姆-刘维尔定理的条件：$p(x), q(x), \rho(x)$ 在闭区间上连续，$p(x) > 0$，且边界条件使算子自伴。对于正则的施图姆-刘维尔问题（区间有限，$p, \rho > 0$），上述结论均成立。若区间无限或 $p$ 在端点为零（奇异施图姆-刘维尔问题），则本征值谱可能包含连续谱，需要更精细的分析。

“NOTE

施图姆-刘维尔本征值问题构成了分离变量法的理论基础，它将偏微分方程的解表示为正交函数系的叠加，是数学物理方法的核心内容之一。