热力学与统计物理期中复习

热力学与统计物理期中考前复习，范围是第一章热力学与第二章经典统计力学。按考试当天的用法重排成五块，全景先给出两条主线的逻辑链，公式速查按主题成表并逐条标注适用条件，必会推导给出六条能落笔的推导骨架，典型题型按识别特征、步骤与算例归类，最后收易错点与自测清单。课堂笔记缺的 §1.1 热平衡与温度、§1.8 van der Waals 方程按讲义补齐。

量子力学的数学形式

量子力学第四章笔记，按教材顺序整理 §4.1 到 §4.3，并在几处按课堂讲法补了内容。开头先复习第二、三章那几件事，把同一状态的多种表示落实之后才抽象到希尔伯特空间；接着讲有限维复内积空间、平方可积函数空间与狄拉克左右矢、投影算符和完备性关系，给出简并子空间的记法、遍历简并子空间的完备性关系以及算符函数；再讲线性算符的矩阵表示、伴算符与自伴算符，证明自伴算符本征值实、不同本征值的本征矢正交、本征矢完备，并说明无穷维里连续谱带来的麻烦与有下界离散谱算符的完备性；然后把可观测量、广义统计诠释与三条基本假设写成投影算符的语言，由投影算符的幂等性说明它问的是一个是非问题；最后用双态系统把测量、演化与相容可观测量跑一遍，看清干涉项在先后测量之间如何消失。

Canonical and grand canonical ensembles

The microcanonical ensemble asks for the energy to be known exactly, which makes every calculation clumsy. This chapter removes that constraint: the system is put in contact with a heat reservoir, the energy fluctuates, and the partition function becomes a single Gaussian-like integral from which the free energy follows. The text covers the derivation of the canonical distribution and the identification A = -kT log Q_N, the energy fluctuation theorem <(Delta E)^2> = kT^2 C_V and the equivalence of the two ensembles, the equipartition theorem, the classical ideal gas, the Ising model with its mean-field solution and the critical point K_C = 1/d, and finally the grand canonical ensemble with Xi, beta P V = log Xi, the chemical potential, dA = -P dV - S dT + mu dN, and the equilibrium condition sum_i nu_i mu_i = 0 for chemical reactions.

正则系综与巨正则系综

微正则系综要求能量精确已知，每个平均值都要在一条很薄的能量壳层里算，因此计算起来很笨拙。本章去掉这个约束，让系统与热库接触，能量可以涨落，系综平均变成整个相空间上的无约束积分，配分函数退化成一个类似 Gauss 型的积分，自由能由此得到。正文依次整理正则分布的推导与自由能关系 A = -kT log Q_N 的认定，能量涨落定理 <(Delta E)^2> = kT^2 C_V 与两种系综的等价性，能量均分定理，经典理想气体，Ising 模型及其平均场解和临界点 K_C = 1/d，最后是巨正则系综，涉及巨配分函数 Xi、关系 beta P V = log Xi、化学势、dA = -P dV - S dT + mu dN，以及化学反应的平衡条件 sum_i nu_i mu_i = 0。

C 语言基础知识

一维量子系统

量子力学第三章笔记，按教材顺序把一维定态问题算一遍，覆盖 §3.1 到 §3.8。先从一维无限深方势阱得到分立能级、基态零点能和振荡型概率密度，与经典弹性小球逐项对照；再讲宇称算符与定态解的确定宇称；然后处理自由粒子的平面波、高斯波包及其随时间展宽；接着总结一般一维束缚态的分区解法、第一类间断点处的连接条件与束缚态无简并的证明。后半章把阱壁降到有限高度，用超越方程定出有限个束缚态，再按阶梯势、方势垒、方势阱三个模型求反射与透射，得到共振透射和量子隧穿；δ 函数势给出导数跳变的连接条件和唯一的束缚态；最后用升降算符把简谐振子的能谱和全部定态解出来，由降算符的零模得到基态高斯波函数，用算符代数算出各低阶矩、动能势能的分配与最小不确定度；再换一条路，直接用幂级数解定态方程，从级数截断重新得到能级条件与厄米多项式；最后讲相干态，最小不确定、粒子数展开与保持相干性的时间演化。

Tailwind CSS 4 在 Astro 里的配置

Tailwind 4 把配置从 tailwind.config.js 搬回了 CSS。这篇记的是本站实际的做法：怎么挂进 Astro、dark: 怎么跟着 data-theme 走、@theme inline 怎么把已有的 CSS 变量接成工具类，以及自己写组件样式时踩的那个层叠坑。

Classical statistical mechanics

统计力学部分的开篇：先说明热力学为什么不够用（它不提供计算方法，各条定律看上去也彼此孤立，分子动理论又不够普遍），再列出统计力学的基本假设，并交代本课程只处理平衡态。正文整理到微正则系综、熵的统计定义、广延性证明、温度与压强的定义、能量均分定理、经典理想气体、Gibbs 佯谬、Maxwell-Boltzmann 分布以及 Boltzmann 统计理论。

热力学与统计物理期中复习

热力学与统计物理期中考前复习，范围是第一章热力学与第二章经典统计力学。按考试当天的用法重排成五块，全景先给出两条主线的逻辑链，公式速查按主题成表并逐条标注适用条件，必会推导给出六条能落笔的推导骨架，典型题型按识别特征、步骤与算例归类，最后收易错点与自测清单。课堂笔记缺的 §1.1 热平衡与温度、§1.8 van der Waals 方程按讲义补齐。

量子力学的数学形式

量子力学第四章笔记，按教材顺序整理 §4.1 到 §4.3，并在几处按课堂讲法补了内容。开头先复习第二、三章那几件事，把同一状态的多种表示落实之后才抽象到希尔伯特空间；接着讲有限维复内积空间、平方可积函数空间与狄拉克左右矢、投影算符和完备性关系，给出简并子空间的记法、遍历简并子空间的完备性关系以及算符函数；再讲线性算符的矩阵表示、伴算符与自伴算符，证明自伴算符本征值实、不同本征值的本征矢正交、本征矢完备，并说明无穷维里连续谱带来的麻烦与有下界离散谱算符的完备性；然后把可观测量、广义统计诠释与三条基本假设写成投影算符的语言，由投影算符的幂等性说明它问的是一个是非问题；最后用双态系统把测量、演化与相容可观测量跑一遍，看清干涉项在先后测量之间如何消失。

Canonical and grand canonical ensembles

The microcanonical ensemble asks for the energy to be known exactly, which makes every calculation clumsy. This chapter removes that constraint: the system is put in contact with a heat reservoir, the energy fluctuates, and the partition function becomes a single Gaussian-like integral from which the free energy follows. The text covers the derivation of the canonical distribution and the identification A = -kT log Q_N, the energy fluctuation theorem <(Delta E)^2> = kT^2 C_V and the equivalence of the two ensembles, the equipartition theorem, the classical ideal gas, the Ising model with its mean-field solution and the critical point K_C = 1/d, and finally the grand canonical ensemble with Xi, beta P V = log Xi, the chemical potential, dA = -P dV - S dT + mu dN, and the equilibrium condition sum_i nu_i mu_i = 0 for chemical reactions.

正则系综与巨正则系综

微正则系综要求能量精确已知，每个平均值都要在一条很薄的能量壳层里算，因此计算起来很笨拙。本章去掉这个约束，让系统与热库接触，能量可以涨落，系综平均变成整个相空间上的无约束积分，配分函数退化成一个类似 Gauss 型的积分，自由能由此得到。正文依次整理正则分布的推导与自由能关系 A = -kT log Q_N 的认定，能量涨落定理 <(Delta E)^2> = kT^2 C_V 与两种系综的等价性，能量均分定理，经典理想气体，Ising 模型及其平均场解和临界点 K_C = 1/d，最后是巨正则系综，涉及巨配分函数 Xi、关系 beta P V = log Xi、化学势、dA = -P dV - S dT + mu dN，以及化学反应的平衡条件 sum_i nu_i mu_i = 0。

C 语言基础知识

一维量子系统

量子力学第三章笔记，按教材顺序把一维定态问题算一遍，覆盖 §3.1 到 §3.8。先从一维无限深方势阱得到分立能级、基态零点能和振荡型概率密度，与经典弹性小球逐项对照；再讲宇称算符与定态解的确定宇称；然后处理自由粒子的平面波、高斯波包及其随时间展宽；接着总结一般一维束缚态的分区解法、第一类间断点处的连接条件与束缚态无简并的证明。后半章把阱壁降到有限高度，用超越方程定出有限个束缚态，再按阶梯势、方势垒、方势阱三个模型求反射与透射，得到共振透射和量子隧穿；δ 函数势给出导数跳变的连接条件和唯一的束缚态；最后用升降算符把简谐振子的能谱和全部定态解出来，由降算符的零模得到基态高斯波函数，用算符代数算出各低阶矩、动能势能的分配与最小不确定度；再换一条路，直接用幂级数解定态方程，从级数截断重新得到能级条件与厄米多项式；最后讲相干态，最小不确定、粒子数展开与保持相干性的时间演化。

Tailwind CSS 4 在 Astro 里的配置

Tailwind 4 把配置从 tailwind.config.js 搬回了 CSS。这篇记的是本站实际的做法：怎么挂进 Astro、dark: 怎么跟着 data-theme 走、@theme inline 怎么把已有的 CSS 变量接成工具类，以及自己写组件样式时踩的那个层叠坑。

Classical statistical mechanics

统计力学部分的开篇：先说明热力学为什么不够用（它不提供计算方法，各条定律看上去也彼此孤立，分子动理论又不够普遍），再列出统计力学的基本假设，并交代本课程只处理平衡态。正文整理到微正则系综、熵的统计定义、广延性证明、温度与压强的定义、能量均分定理、经典理想气体、Gibbs 佯谬、Maxwell-Boltzmann 分布以及 Boltzmann 统计理论。