理论力学总复习

这篇笔记我是一边复习一边写的，所以有些章节我没重点复习的就没有喵～

第二章：分析力学基础——拉格朗日方程

约束与自由度

• 完整约束：$f(\boldsymbol{r}_1,\dots,\boldsymbol{r}_n,t)=0$，自由度 $s = 3n - k$
• 非完整约束：含不可积分的微分约束
• 理想约束：约束反力虚功为零，$\sum_i \boldsymbol{N}_i \cdot \delta\boldsymbol{r}_i = 0$

达朗贝尔方程

考虑理想约束情况，从牛顿第二定律出发，引入惯性力，消去约束力：

这就是达朗贝尔方程，是理想约束体系的普遍方程.

静力学特例为虚功原理：

拉格朗日方程

广义力：

一般形式：

保守体系（$L = T - V$）：

其中 $L = T - V = L(q,\dot{q},t)$ 称为体系的拉格朗日函数

拉格朗日函数的不确定性：$L$ 与 $L' = L + \mathrm{d}f/\mathrm{d}t$ 给出相同运动方程.

拉格朗日函数的不确定性的证明如下：

我们从充分性和必要性两方面来证明：

充分性证明（若 $\mathcal{L} - \mathcal{L}' = \dot{f}$，则它们给出相同运动方程）

设 $\mathcal{L} - \mathcal{L}' = \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \sum_{i=1}^s \dfrac{\partial f}{\partial q_i} \dot{q}_i + \dfrac{\partial f}{\partial t}$，其中 $f(q_1,\dots,q_s,t)$ 是任意可微函数。

将 $\mathcal{L} = \mathcal{L}' + \dot{f}$ 代入拉格朗日方程：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial \dot{q}_i} + \frac{\partial f}{\partial q_i} \right) - \left( \frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial q_i} + \frac{\partial}{\partial q_i}\sum_j \frac{\partial f}{\partial q_j} \dot{q}_j + \frac{\partial^2 f}{\partial q_i \partial t} \right)$$

由于

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial f}{\partial q_i} \right) = \sum_j \frac{\partial^2 f}{\partial q_j \partial q_i} \dot{q}_j + \frac{\partial^2 f}{\partial t \partial q_i},$$

代入后，所有涉及 $f$ 的附加项相互抵消。因此：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}'}{\partial q_i}.$$

所以 $\mathcal{L}$ 和 $\mathcal{L}'$ 给出完全相同的拉格朗日方程，即描述同一个力学体系。

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必要性证明（若两个拉格朗日量给出相同运动方程，则它们必相差一个全导数）

如果 $\mathcal{L}$ 和 $\mathcal{L}'$ 给出相同的运动方程，则它们的变分之差为零：

$$\delta \int_{t_1}^{t_2} (\mathcal{L} - \mathcal{L}') \,\mathrm{d}t = 0$$

因为两个作用量泛函的极值条件相同。

由变分法基本引理，若 $\delta \int_{t_1}^{t_2} F(q,\dot{q},t) \,\mathrm{d}t = 0$ 对所有端点固定的变分路径都成立，则 $F$ 必须满足欧拉-拉格朗日方程的零解，即 $F$ 本身可以写成某个函数的全导数：

$$\mathcal{L} - \mathcal{L}' = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}.$$

更直接地，将 $\mathcal{L} - \mathcal{L}'$ 记为 $\Delta L$。如果 $\Delta L$ 不满足拉格朗日方程，则其变分不会为零，与前提矛盾。因此 $\Delta L$ 的欧拉-拉格朗日表达式为零，这意味着 $\Delta L$ 是一个全导数项。

证毕

平衡条件

稳定平衡：势能取极小值（二阶偏导数矩阵正定）.

释放约束法求约束力：解除约束 → 约束力视为主动力 → 虚功原理求解.

第四章：刚体

刚体运动学

运动分类：平动（质点的运动）、定轴转动、平面平行运动、定点转动（欧拉角）、一般运动.

自由度：自由刚体6个（3平动+3转动），定点转动3个（欧拉角），平面平行运动3个.

欧拉角：

• 进动角 $\varphi$ ：绕固定轴 $z_0$ 的转动，描述刚体对称轴在空间中的方位角
• 章动角 $\theta$ ：绕节线（$x'$ 轴、$ON$）的转动，描述刚体 $z$ 轴与固定轴之间的夹角（$0 \le \theta \le \pi$）
• 自转角 $\psi$ ：绕刚体自身 $z$ 轴的转动，描述刚体绕其对称轴的自转

欧拉运动学方程（定点转动）：

随动坐标系 $Oxyz$ ：

世界坐标系 $Ox_0y_0z_0$ ：

基点法求速度与加速度：

角速度 $\boldsymbol{\omega}$ 与基点选择无关.

动力学方程：

质心运动定律（3个）：

角动量定理（3个）：

动能定理：

从这7个方程中选取6个即可建立刚体运动的动力学方程.

瞬时转心：平面平行运动中速度为零的点，纯滚动时接触点为瞬心.

转动惯量

有 $I_{kl} = I_{lk}$ ，$\boldsymbol{I}$ 称为惯量矩阵或惯量张量. 非对角元素成为惯量积.

惯量主轴：使惯量积为零的坐标轴. 对称轴必为主轴.

平行轴定理 ：$I_P = I_C + md^2$.

回转半径：令 $I = m\rho^2$ ，其中 $\rho$ 称为对该转动轴的回转半径. 主回转半径 $\rho_C$ 是最小的回转半径.

角动量与转动动能：

一般系：

惯量主轴系下：

欧拉动力学方程:

随动坐标系中的角动量定理：

分量形式（欧拉方程）：

惯量椭球:

刚体绕 转轴 $e$ 做定轴转动时，有

在转动轴 $e$ 上取一线段 $ON=\frac{1}{\sqrt{I_e}}$ ，则 $N$ 点的坐标为

代入即可得到：

这个椭球称为惯量椭球，它的对称轴就是惯量主轴. 任意轴线 $e$ 与其交点 $N$ ，那么 $ON$ 即为绕这个轴的转动惯量 $I_e$ 的平方根的倒数.

典型陀螺运动

欧拉陀螺（$\boldsymbol{M}=0$，即自由转动）：$L^2$ 和 $T$ 守恒.

拉格朗日陀螺（对称陀螺 $I_1=I_2$ 在重力场中）：

$\varphi$ 和 $\psi$ 为循环坐标，因此得到两个守恒量

同时还有能量守恒：

这就是拉格朗日陀螺的三个动力学方程.

令

则可以化成：

而 $\theta$ 的极值由条件 $E'=V_{\text{eff}}(\theta)$ 决定.

快速陀螺近似：$\dot{\varphi} \approx mgl / (I_3 \dot{\psi})$ （进动角速度和初角速度 $\omega$ 近似成反比）.

第五章：非惯性参考系

平动加速参考系

平移惯性力：$\boldsymbol{F}_{\text{惯}} = -m\boldsymbol{a}_0$.

转动参考系

矢量导数关系：

加速度合成：

惯性力：

经典应用：傅科摆 $\Omega = \omega_{\text{earth}}\sin\lambda$，落体偏东，地转风.

第六章：多自由度体系的微振动

线性化

平衡位置附近，动能和势能展开至二阶：

运动方程与久期方程

设 $q_j = A_j e^{\mathrm{i}\omega t}$，得广义本征值问题：

久期方程：

简正坐标

存在线性变换使系统解耦为独立谐振子：

各简正模式独立，无能量交换.

一维晶格纵振动

色散关系：

长波极限 $qa \ll 1$：$\omega \approx v q$，$v = a\sqrt{k/m}$.

第七章：阻尼运动

恒力下的阻尼直线运动

线性阻尼自由振动

受迫振动与共振

共振频率 $\omega_{\text{res}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}$.

品质因子 $Q = \omega_0/(2\beta)$.

第八章：哈密顿理论

变分法基础

泛函 $J[y] = \int_{x_1}^{x_2} f(x, y, y') \,\mathrm{d}x$ 取极值的必要条件为欧拉-拉格朗日方程：

证明： 对泛函取变分：

$$\begin{aligned} \delta J[y(x)] &= \delta \int_{x_1}^{x_2} f(y, y', x) \, \mathrm{d}x = \int_{x_1}^{x_2} \delta f(y, y', x) \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial f}{\partial y}\delta y + \frac{\partial f}{\partial y}\delta y'\right) \, \mathrm{d}x \\ &= \int_{x_1}^{x_2} \left[\frac{\partial f}{\partial y}\delta y + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\delta y\right) - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\delta y\right] \, \mathrm{d}x \\ &= \left.\frac{\partial f}{\partial y'}\delta y\right|_{x_1}^{x_2}- \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y}\right) \delta y \, \mathrm{d}x \\ \end{aligned}$$

这里第一项为零，为了使得变分 $\delta J[y(x)]$ 为零，需要第二项括号内取零，于是得证.

若 $f$ 不显含 $x$，存在初积分：

证明： 有

$$\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(f - y'\frac{\partial f}{\partial y'}\right) \\ = &\left(\frac{\partial f}{\partial y}y' + \frac{\partial f}{\partial y'}y''\right) - \left(\frac{\partial f}{\partial y'}y'' + y' \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y'}\right) \\ = &-y'\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{\partial f}{\partial y'} - \frac{\partial f}{\partial y}\right) = 0 \end{aligned}$$

得证.

变分算符 $\delta$ 与微分算符 $\mathrm{d}$ 可交换：$\delta(\mathrm{d}y) = \mathrm{d}(\delta y)$，且 $\delta x = 0$.

哈密顿正则方程

广义动量：$p_\alpha = \partial L / \partial \dot{q}_\alpha$

哈密顿函数（体系的广义能量）：

哈密顿函数有一条重要的性质：

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d} H(q,p,t)}{\mathrm{d}t} = - \frac{\partial L(q,\dot{q},t)}{\partial t} \end{align}$$

证明如下：

对哈密顿函数求时间的全导数：

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t} &= \sum_\alpha \left( \dot{p}_\alpha\dot{q}_\alpha + p_\alpha\ddot{q}_\alpha \right) - \frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t} \\ &= \sum_\alpha \left( \dot{p}_\alpha\dot{q}_\alpha + p_\alpha\ddot{q}_\alpha \right) - \left[ \sum_\alpha \left( \frac{\partial L}{\partial q_\alpha}\dot{q}_\alpha + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha}\ddot{q}_\alpha \right) + \frac{\partial L}{\partial t} \right] \\ &= \sum_\alpha \left( \dot{p}_\alpha\dot{q}_\alpha + p_\alpha\ddot{q}_\alpha \right) - \left[ \sum_\alpha \left( \dot{p}_\alpha\dot{q}_\alpha + p_\alpha\ddot{q}_\alpha \right) + \frac{\partial L}{\partial t} \right] \end{aligned}$$

这里用到了广义动量的定义 $\displaystyle p_\alpha = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha}$ 以及拉格朗日方程 $\displaystyle \dot{p}_\alpha = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} = \frac{\partial L}{\partial q_\alpha}$ ，于是有

$$\begin{aligned} \Rightarrow \frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t} &= - \frac{\partial L}{\partial t} \end{aligned}$$

得证.

哈密顿正则方程：

相空间：$(q_\alpha, p_\alpha)$ 张成的 $2s$ 维空间. 若 $H$ 不显含时间，相轨迹不相交，这就是能量守恒定律.

刘维尔定理：相空间体积在演化中保持不变.

哈密顿原理

通过泛函分析可以得出

$S$ 称为哈密顿作用量，由 $\delta S = 0$ 可导出拉格朗日方程或正则方程.

哈密顿正则方程的导出：

将哈密顿量的定义 $H = \sum_\alpha p_\alpha \dot{q}_\alpha - L$ 代入 $\delta S = 0$ 即可得到

$$\begin{aligned} \delta S &= \int_{t_1}^{t_2} \delta \left[ \sum_\alpha p_\alpha \dot{q}_\alpha - H \right] \; \mathrm{d} t \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \left[ \sum_\alpha \left( p_\alpha \delta \dot{q}_\alpha + \dot{q}_\alpha \delta p_\alpha \right) - \sum_\alpha \left( \frac{\partial H}{\partial p_\alpha}\delta p_\alpha + \frac{\partial H}{\partial q_\alpha}\delta q_\alpha \right) \right] \; \mathrm{d} t \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \left[ \sum_\alpha \left( \dot{q}_\alpha - \frac{\partial H}{\partial p_\alpha} \right) \delta p_\alpha - \sum_\alpha \left( \dot{p}_\alpha + \frac{\partial H}{\partial q_\alpha} \right) \delta q_\alpha \right] \; \mathrm{d} t = 0 \end{aligned}$$

于是得到

$$\begin{aligned} \dot{q}_\alpha = \frac{\partial H}{\partial p_\alpha}, \quad \dot{p}_\alpha = -\frac{\partial H}{\partial q_\alpha} , \quad \alpha = 1,2,\cdots,s \end{aligned}$$

哈密顿原理比较的是真实路径和其无限邻近的各种可能路径的作用量的值.

对于非保守体系，有

$$\begin{align} \delta S &= \int_{t_1}^{t_2} [\delta L(q_\alpha, \dot{q_\alpha}, t) + \sum_\alpha Q_\alpha \delta q_\alpha]\mathrm{d} t = 0 \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \left[ \sum_\alpha \left( \dot{q}_\alpha - \frac{\partial H}{\partial p_\alpha} \right) \delta p_\alpha - \sum_\alpha \left( \dot{p}_\alpha + \frac{\partial H}{\partial q_\alpha} - Q_\alpha \right) \delta q_\alpha \right] \; \mathrm{d} t = 0 \end{align}$$

其中的 $Q_\alpha$ 为非保守力，对应的求出非保守系的哈密顿正则方程为：

$$\begin{aligned} \dot{q}_\alpha = \frac{\partial H}{\partial p_\alpha}, \quad \dot{p}_\alpha = -\frac{\partial H}{\partial q_\alpha} + Q_\alpha , \quad \alpha = 1,2,\cdots,s \end{aligned}$$

正则变换

正则变换：使得变换后新的哈密顿函数 $H^*$ 仍然满足正则方程

的变换.

四类母函数：

四种母函数之间互相区分的关键就是所选取的独立变量不同. 对于变换公式，有以下规律可帮助记忆：

• 若旧变量为 $q$，则偏导前取正号（$p=\partial F_1/\partial q$，$p=\partial F_2/\partial q$）；
• 若旧变量为 $p$，则偏导前取负号（$q=-\partial F_3/\partial p$，$q=-\partial F_4/\partial p$）；
• 若新变量为 $Q$，则偏导前取负号（$P=-\partial F_1/\partial Q$，$P=-\partial F_3/\partial Q$）；
• 若新变量为 $P$，则偏导前取正号（$Q=\partial F_2/\partial P$，$Q=\partial F_4/\partial P$）。

新旧哈密顿量之间的变换关系为：

这里可以看出，在哈密顿方程中，广义坐标和广义动量只是名称上的不同，在物理意义上已经没有任何差别，因此常把它们称为正则共轭变量

用泊松括号判别正则变换：

泊松括号

定义：

力学量的时间演化：

运动积分判据：$[H, f] = 0 \iff f$ 是运动积分（不显含时间时）.

基本性质：

1. $[f,g] = -[g,f]$.
2. $[f,c] = 0 \; (c \text{为常量})$.
3. $[f_1 + f_2,g] = [f_1,g] + [f_2,g]$.
4. $[f_1 f_2,g] = f_1 [f_2,g] + f_2 [f_1,g]$.
5. $\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}[f,g] = [\frac{\partial f}{\partial t},g] + [f, \frac{\partial g}{\partial t}]$.
6. $\displaystyle [f,q_\alpha] = \frac{\partial f}{\partial p_\alpha}; \quad [f, p_\alpha] = -\frac{\partial f}{\partial q_\alpha}$.
7. $[p_\alpha,p_\beta] = 0, \quad [q_\alpha,q_\beta] = 0, \quad [p_\alpha,q_\beta]=\delta_{\alpha\beta}$.
8. 雅可比恒等式： $[f,[g,h]] + [g,[h,f]] + [h,[f,g]] = 0$.
9. 正则变换下保持不变： $[f,g]_{p,q} = [f,g]_{P,Q}$.

泊松定理：若 $f$ 和 $g$ 均为运动积分，则 $[f, g]$ 也是运动积分.

哈密顿-雅可比方程

哈密顿主函数 $S(q, t)$ （对应的就是第二类母函数的 $F(q, P, t)$ ）：

这种解正则方程的方法只是将解正则方程的困难转移到了解哈密顿-雅可比方程上了，但毕竟指出了另一条途径.

$S$ 还可以写成

即哈密顿主函数 $S$ 就是积分限不确定的哈密顿作用量，因此也被称为哈密顿作用函数.

若 $H$ 不显含时间，设 $S = W(q, P) - Et + A$，$W$ 为哈密顿特征函数：

由 $S$ 求运动：

1. 轨道方程：

这 $s - 1$ 个曲面方程的交线就是粒子运动的轨道.

2. 运动方程：

3. 动量：$p_\alpha = \partial W / \partial q_\alpha$

作用量-角变量：$J = \oint p \,\mathrm{d}q$（绝热不变量），$\dot{w} = \nu = \partial H / \partial J$.

第九章：哈密顿理论的应用

连续体系的拉格朗日方程

拉格朗日密度 $\mathcal{L}(\eta, \partial_\mu \eta)$：

连续体系的拉格朗日方程：

弹性棒纵振动：$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\rho \dot{u}^2 - \frac{1}{2}Y (u')^2$，波动方程 $\ddot{u} = v^2 u''$，$v = \sqrt{Y/\rho}$.

从哈-雅方程到薛定谔方程

薛定谔变换 $\psi = e^{\mathrm{i}S/\hbar}$ 将哈-雅方程转化为薛定谔方程：

WKB 近似（$\hbar \to 0$）：$\psi(x) \approx \frac{1}{\sqrt{p(x)}} \exp\left( \pm \frac{\mathrm{i}}{\hbar} \int p(x) \,\mathrm{d}x \right)$.