从牛顿力学到分析力学

牛顿力学处理质点系问题时，需要同时考虑主动力和约束力，并建立 $3n$ 个运动方程（$n$ 为质点数）。若系统存在 $k$ 个约束，则共有 $3n + k$ 个待求方程（包含 $k$ 个约束力）。这种方法在处理复杂约束系统时往往计算繁琐。

分析力学的目标：

• 消去约束力：通过虚功原理使约束力不出现在方程中
• 消去不独立坐标：引入广义坐标，用最少的独立变量描述系统
• 直接给出独立变量的运动方程：拉格朗日方程

约束与分类

约束的概念

约束是对物体运动所加的几何学或运动学方面的限制。约束的存在产生了约束力。

约束方程的表示方式与坐标选择有关。例如，单摆的约束方程为

$$\begin{align} x^2 + y^2 = l^2 \end{align}$$

约束的分类

从不同角度，约束可分为：

1. 按是否与时间有关

   • 稳定约束：约束方程不显含时间 $t$
   • 不稳定约束：约束方程显含时间 $t$

2. 按约束方程的形式

   • 完整约束：约束方程可表示为坐标和时间的函数 $f(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \dots, t)=0$，或可积分的微分约束
   • 非完整约束：约束方程包含不可积分的微分形式

所有约束均为完整约束的力学体系称为完整体系。对于完整体系，自由度为 $s = 3n - k$。

虚位移与虚功

虚位移的概念

虚位移是指在某一固定时刻，约束所允许的任意无限小位移，记作 $\delta \boldsymbol{r}$。它与时间变化无关，只考虑约束条件。

实位移是时间 $\mathrm{d}t$ 内实际发生的位移。对于稳定约束，实位移是虚位移中的一个；对于不稳定约束，实位移与虚位移不同。

虚功

虚功是作用在质点上的力在虚位移上所做的功：

$$\begin{align} \delta W = \boldsymbol{F} \cdot \delta \boldsymbol{r} \end{align}$$

理想约束

若约束反力在任意虚位移上所做的虚功之和为零，则称约束为理想约束：

$$\begin{align} \sum_{i=1}^n \boldsymbol{N}_i \cdot \delta \boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}$$

五类理想约束

1. 光滑曲面：约束力沿法线方向，虚位移在切平面内
2. 无质量刚性杆连接的两个质点：杆中张力做功之和为零
3. 光滑表面接触的两个刚体：约束力在公法线方向
4. 完全粗糙表面接触（纯滚动）：静摩擦力不做功
5. 柔软不可伸长的绳子连接的两个质点：绳子张力做功之和为零

达朗贝尔方程

达朗贝尔原理

将牛顿第二定律 $\boldsymbol{F}_i + \boldsymbol{N}_i = m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i$ 改写为

$$\begin{align} \boldsymbol{F}_i - m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i + \boldsymbol{N}_i = 0 \end{align}$$

引入惯性力 $-m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i$，则形式上成为静力学平衡方程。

达朗贝尔方程

将达朗贝尔原理与虚位移点乘，并对所有质点求和：

$$\begin{align} \sum_{i=1}^n (\boldsymbol{F}_i - m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i) \cdot \delta \boldsymbol{r}_i + \sum_{i=1}^n \boldsymbol{N}_i \cdot \delta \boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}$$

对于理想约束，第二项为零，得到达朗贝尔方程（动力学普遍方程）：

$$\begin{align} \sum_{i=1}^n (\boldsymbol{F}_i - m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i) \cdot \delta \boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}$$

该方程不包含约束力，是分析力学的出发点。

静力学应用：虚功原理

对于静力学问题（$\ddot{\boldsymbol{r}}_i = 0$），达朗贝尔方程退化为虚功原理：

$$\begin{align} \sum_{i=1}^n \boldsymbol{F}_i \cdot \delta \boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}$$

即理想约束下，主动力在任意虚位移上所做的虚功之和为零。

广义坐标与广义力

广义坐标

对于完整体系，可用代数方法消去不独立坐标，只留下独立坐标。广义坐标是用于确定质点系位置的一组独立参量，记作 $q_1, q_2, \dots, q_s$。

引入广义坐标后，各质点的矢径可表示为

$$\begin{align} \boldsymbol{r}_i = \boldsymbol{r}_i(q_1, q_2, \dots, q_s, t) \end{align}$$

虚位移可用广义坐标的变分表示：

$$\begin{align} \delta \boldsymbol{r}_i = \sum_{\alpha=1}^s \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \delta q_\alpha \end{align}$$

广义力

广义力定义为

$$\begin{align} Q_\alpha = \sum_i \boldsymbol{F}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \end{align}$$

主动力所做的虚功可表示为

$$\begin{align} \delta W = \sum_\alpha Q_\alpha \delta q_\alpha \end{align}$$

若系统为保守体系，则广义力可由势能函数导出：

$$\begin{align} Q_\alpha = -\frac{\partial V}{\partial q_\alpha} \end{align}$$

拉格朗日方程

一般形式

将达朗贝尔方程中的加速度项用广义坐标表示，可得

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_\alpha} = Q_\alpha, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \end{align}$$

这就是拉格朗日方程的一般形式，适用于理想约束、完整体系。

保守体系的拉格朗日方程

若所有主动力均为保守力，即存在势能函数 $V(q_1,\dots,q_s,t)$，引入拉格朗日函数

$$\begin{align} L = T - V \end{align}$$

拉格朗日方程化为

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_\alpha} = 0, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \end{align}$$

这是保守体系的拉格朗日方程，形式简洁且与坐标选择无关。

部分主动力为非保守力的情况

若存在非保守力，则需保留广义力项：

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_\alpha} = Q_\alpha^{\text{(非保守)}} \end{align}$$

拉格朗日函数的不确定性

拉格朗日函数不是唯一的：$L$ 和 $L' = L + \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$ 给出相同的运动方程。这称为拉格朗日函数的规范变换。

应用步骤

1. 确定系统的自由度，选择合适的广义坐标 $q_\alpha$
2. 用广义坐标和广义速度写出系统的动能 $T$ 和势能 $V$
3. 构造拉格朗日函数 $L = T - V$
4. 若存在非保守力，计算广义力 $Q_\alpha^{\text{(非保守)}}$
5. 代入拉格朗日方程，得到 $s$ 个二阶常微分方程
6. 求解方程并利用初始条件确定积分常数

平衡问题

平衡条件

由虚功原理，平衡时广义力为零：

$$\begin{align} Q_\alpha = 0, \quad \alpha=1,\dots,s \end{align}$$

对保守体系等价于 $\partial V / \partial q_\alpha = 0$，即势能取极值。

• 稳定平衡：势能取极小值，二阶偏导数矩阵正定
• 不稳定平衡：势能取极大值或鞍点

利用平衡求约束力（释放约束法）

1. 解除欲求约束力对应的约束
2. 将约束力视为主动力，在相应虚位移上做功
3. 平衡条件 $\delta W = 0$ 求解该力

总结

比较项目	牛顿力学	分析力学（拉格朗日）
出发点	受力分析	能量分析
基本量	矢量（力、动量）	标量（动能、势能）
方程个数	$3n + k$	$3n - k$
约束力	出现在方程中	被消去
坐标选择	通常用直角坐标	任意广义坐标，形式不变