拉格朗日方程

26 年 3 月 9 日 星期一 (已编辑)
1698 字
9 分钟
物理 理论力学 分析力学 约束 虚功原理 达朗贝尔方程 广义坐标 拉格朗日方程

从牛顿力学到分析力学

牛顿力学处理质点系问题时，需要同时考虑主动力和约束力，并建立 3n3n 个运动方程（nn 为质点数）。若系统存在 kk 个约束，则共有 3n+k3n + k 个待求方程（包含 kk 个约束力）。这种方法在处理复杂约束系统时往往计算繁琐。

分析力学的目标：

  • 消去约束力：通过虚功原理使约束力不出现在方程中
  • 消去不独立坐标：引入广义坐标，用最少的独立变量描述系统
  • 直接给出独立变量的运动方程：拉格朗日方程

约束与分类

约束的概念

约束是对物体运动所加的几何学或运动学方面的限制。约束的存在产生了约束力。

约束方程的表示方式与坐标选择有关。例如，单摆的约束方程为

x2+y2=l2\begin{align} x^2 + y^2 = l^2 \end{align}

约束的分类

从不同角度，约束可分为：

  1. 按是否与时间有关

    • 稳定约束：约束方程不显含时间 tt
    • 不稳定约束：约束方程显含时间 tt

  2. 按约束方程的形式

    • 完整约束：约束方程可表示为坐标和时间的函数 f(r1,r2,…,t)=0f(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \dots, t)=0，或可积分的微分约束
    • 非完整约束：约束方程包含不可积分的微分形式

所有约束均为完整约束的力学体系称为完整体系。对于完整体系，自由度为 s=3n−ks = 3n - k。

虚位移与虚功

虚位移的概念

虚位移是指在某一固定时刻，约束所允许的任意无限小位移，记作 δr\delta \boldsymbol{r}。它与时间变化无关，只考虑约束条件。

实位移是时间 dt\mathrm{d}t 内实际发生的位移。对于稳定约束，实位移是虚位移中的一个；对于不稳定约束，实位移与虚位移不同。

虚功

虚功是作用在质点上的力在虚位移上所做的功：

δW=F⋅δr\begin{align} \delta W = \boldsymbol{F} \cdot \delta \boldsymbol{r} \end{align}

理想约束

若约束反力在任意虚位移上所做的虚功之和为零，则称约束为理想约束：

∑i=1nNi⋅δri=0\begin{align} \sum_{i=1}^n \boldsymbol{N}_i \cdot \delta \boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}

五类理想约束

  1. 光滑曲面：约束力沿法线方向，虚位移在切平面内
  2. 无质量刚性杆连接的两个质点：杆中张力做功之和为零
  3. 光滑表面接触的两个刚体：约束力在公法线方向
  4. 完全粗糙表面接触（纯滚动）：静摩擦力不做功
  5. 柔软不可伸长的绳子连接的两个质点：绳子张力做功之和为零

达朗贝尔方程

达朗贝尔原理

将牛顿第二定律 Fi+Ni=mir¨i\boldsymbol{F}_i + \boldsymbol{N}_i = m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i 改写为

Fi−mir¨i+Ni=0\begin{align} \boldsymbol{F}_i - m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i + \boldsymbol{N}_i = 0 \end{align}

引入惯性力 −mir¨i-m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i，则形式上成为静力学平衡方程。

达朗贝尔方程

将达朗贝尔原理与虚位移点乘，并对所有质点求和：

∑i=1n(Fi−mir¨i)⋅δri+∑i=1nNi⋅δri=0\begin{align} \sum_{i=1}^n (\boldsymbol{F}_i - m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i) \cdot \delta \boldsymbol{r}_i + \sum_{i=1}^n \boldsymbol{N}_i \cdot \delta \boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}

对于理想约束，第二项为零，得到达朗贝尔方程（动力学普遍方程）：

∑i=1n(Fi−mir¨i)⋅δri=0\begin{align} \sum_{i=1}^n (\boldsymbol{F}_i - m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i) \cdot \delta \boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}

该方程不包含约束力，是分析力学的出发点。

静力学应用：虚功原理

对于静力学问题（r¨i=0\ddot{\boldsymbol{r}}_i = 0），达朗贝尔方程退化为虚功原理：

∑i=1nFi⋅δri=0\begin{align} \sum_{i=1}^n \boldsymbol{F}_i \cdot \delta \boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}

即理想约束下，主动力在任意虚位移上所做的虚功之和为零。

广义坐标与广义力

广义坐标

对于完整体系，可用代数方法消去不独立坐标，只留下独立坐标。广义坐标是用于确定质点系位置的一组独立参量，记作 q1,q2,…,qsq_1, q_2, \dots, q_s。

引入广义坐标后，各质点的矢径可表示为

ri=ri(q1,q2,…,qs,t)\begin{align} \boldsymbol{r}_i = \boldsymbol{r}_i(q_1, q_2, \dots, q_s, t) \end{align}

虚位移可用广义坐标的变分表示：

δri=∑α=1s∂ri∂qαδqα\begin{align} \delta \boldsymbol{r}_i = \sum_{\alpha=1}^s \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \delta q_\alpha \end{align}

广义力

广义力定义为

Qα=∑iFi⋅∂ri∂qα\begin{align} Q_\alpha = \sum_i \boldsymbol{F}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \end{align}

主动力所做的虚功可表示为

δW=∑αQαδqα\begin{align} \delta W = \sum_\alpha Q_\alpha \delta q_\alpha \end{align}

若系统为保守体系，则广义力可由势能函数导出：

Qα=−∂V∂qα\begin{align} Q_\alpha = -\frac{\partial V}{\partial q_\alpha} \end{align}

拉格朗日方程

一般形式

将达朗贝尔方程中的加速度项用广义坐标表示，可得

ddt(∂T∂q˙α)−∂T∂qα=Qα,α=1,2,…,s\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_\alpha} = Q_\alpha, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \end{align}

这就是拉格朗日方程的一般形式，适用于理想约束、完整体系。

保守体系的拉格朗日方程

若所有主动力均为保守力，即存在势能函数 V(q1,…,qs,t)V(q_1,\dots,q_s,t)，引入拉格朗日函数

L=T−V\begin{align} L = T - V \end{align}

拉格朗日方程化为

ddt(∂L∂q˙α)−∂L∂qα=0,α=1,2,…,s\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_\alpha} = 0, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \end{align}

这是保守体系的拉格朗日方程，形式简洁且与坐标选择无关。

部分主动力为非保守力的情况

若存在非保守力，则需保留广义力项：

ddt(∂L∂q˙α)−∂L∂qα=Qα(非保守)\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_\alpha} = Q_\alpha^{\text{(非保守)}} \end{align}

拉格朗日函数的不确定性

拉格朗日函数不是唯一的：LL 和 L′=L+dfdtL' = L + \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} 给出相同的运动方程。这称为拉格朗日函数的规范变换。

应用步骤

  1. 确定系统的自由度，选择合适的广义坐标 qαq_\alpha
  2. 用广义坐标和广义速度写出系统的动能 TT 和势能 VV
  3. 构造拉格朗日函数 L=T−VL = T - V
  4. 若存在非保守力，计算广义力 Qα(非保守)Q_\alpha^{\text{(非保守)}}
  5. 代入拉格朗日方程，得到 ss 个二阶常微分方程
  6. 求解方程并利用初始条件确定积分常数

平衡问题

平衡条件

由虚功原理，平衡时广义力为零：

Qα=0,α=1,…,s\begin{align} Q_\alpha = 0, \quad \alpha=1,\dots,s \end{align}

对保守体系等价于 ∂V/∂qα=0\partial V / \partial q_\alpha = 0，即势能取极值。

  • 稳定平衡：势能取极小值，二阶偏导数矩阵正定
  • 不稳定平衡：势能取极大值或鞍点

利用平衡求约束力（释放约束法）

  1. 解除欲求约束力对应的约束
  2. 将约束力视为主动力，在相应虚位移上做功
  3. 平衡条件 δW=0\delta W = 0 求解该力

总结

比较项目牛顿力学分析力学（拉格朗日）
出发点受力分析能量分析
基本量矢量（力、动量）标量（动能、势能）
方程个数3n+k3n + k3n−k3n - k
约束力出现在方程中被消去
坐标选择通常用直角坐标任意广义坐标，形式不变
物理理论力学分析力学约束虚功原理达朗贝尔方程广义坐标拉格朗日方程

·文章标题：拉格朗日方程

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文系统介绍分析力学的核心内容——拉格朗日方程。从牛顿力学的局限出发，引入约束、广义坐标和虚功原理，推导达朗贝尔方程和拉格朗日方程，并讨论平衡条件与约束力的求解方法。

·文章链接：https://www.neowangking.top/posts/physics/theoreticalmechanics/02-lagrange-equations[点击复制]

·上次修改：

Layer 1

商业转载请联系站长获得授权，非商业转载请注明本文出处及文章链接，您可以自由地在任何媒体以任何形式复制和分发作品，也可以修改和创作，但是分发衍生作品时必须采用相同的许可协议。
本文采用CC BY-NC-SA 4.0进行许可。