复变函数的积分

复变函数的路积分

若函数 $f(z)$ 再复平面的一段光滑曲线 $l$ 上有定义，则函数 $f(z)$ 在曲线 $l$ 上从点 $A$ 到 $B$ 的路积分定义为
$\begin{align} \int_{l}{f(z)\mathrm{d}z} &= \lim_{\max{|\Delta z_{k}|}}{\sum_{k = 1}^{n}f(\zeta_{k})\Delta z_{k}} \end{align}$
其中 $z_{0},z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}$ 为 $l$ 上一系列分点，起点为 $A$ 终点为 $B$
- 将路积分用实部和虚部展开：
  $\begin{align} \int_{l}{f(z)\mathrm{d}z} &= \int_{l}{[u(x, y) + \imath v(x, y)](\mathrm{d}x + \imath \mathrm{d}y)}\\ &= \int_{l}{u(x, y)\mathrm{d}x-v(x, y)\mathrm{d}y} + \imath\int_{l}{v(x, y)\mathrm{d}x + u(x, y)\mathrm{d}y} \end{align}$
  这样就转化为了两个实变函数的线积分
- 因此，实变函数的许多性质也对路积分成立，如
  1. 常数因子可以转移到积分号之外
  2. 函数的和的积分等于函数的积分的和
  3. 反转积分路径，积分值变号
  4. 全路径上的积分等于各分段路径上积分的和
  5. 积分不等式1：
    $\begin{align} \left|\int_{l}{f(z)\mathrm{d}z}\right| \le \int_{l}{\left|f(z)\right|\left|\mathrm{d}z\right|} \end{align}$
  6. 积分不等式2：
    $\begin{align} \left|\int_{l}{f(z)\mathrm{d}z}\right| \le ML \end{align}$
    其中 $M$ 为 $|f(z)|$ 在 $l$ 上的最大值， $L$ 为 $l$ 的全长

柯西定理

单连通区域情形
- 单连通区域：区域中任何闭合曲线内部的点都是区域里的点
单连通区域柯西定理：如果函数 $f(z)$ 在闭单连通区域 $\overline{B}$ 上解析，则对于 $\overline{B}$ 上任一分段光滑闭合曲线 $l$ ，有
$\begin{align} \oint_{l}{f(z)\mathrm{d}z} = 0 \end{align}$
- 上述柯西定理可以推广：在区域 $B$ 上解析，且在闭区域 $\overline{B}$ 上连续，也有相同结论
复连通区域情形
- 复连通区域：在某些点或者子区域上不可导（存在奇点）
复连通区域柯西定理：如果函数 $f(z)$ 是闭复连通区域上的单值解析函数，则有
$\begin{align} \oint_{l}{f(z)\mathrm{d}z}+\sum_{i = 1}^{n}{\oint_{l_{i}}{f(z)\mathrm{d}z}} = 0 \end{align}$
其中 $l$ 为区域外边界线， $l_{i}$ 为区域的各个内边界线，积分沿外边界线的正方向进行

原函数

在单连通区域 $B$ 中的解析函数 $f(z)$ ，在任意路径 $l$ 上的积分值只与起点终点有关，因此当起点 $z_{0}$ 固定时，可以通过不定积分定义一个单值函数
$\begin{align} F(z) = \int_{z_{0}}^{z}{f(\zeta)\mathrm{d}\zeta} \end{align}$
可证得 $F(z)$ 在 $B$ 上是解析的，且 $F'(z) = f(z)$ ，即 $F(z)$ 是 $f(z)$ 的一个原函数 于是，路积分可以表示为原函数的改变量
$\begin{align} \int_{z_{1}}^{z_{2}}{f(\zeta)\mathrm{d}\zeta} = F(z_{2}) - F(z_{1}) \end{align}$

柯西公式

若 $f(z)$ 在闭单连通区域 $\overline{B}$ 上解析， $l$ 为 $\overline{B}$ 的边界线， $\alpha$ 为 $\overline{B}$ 内的任意一点，则有
$\begin{align} f(\alpha) = \frac{1}{2\pi\imath}\oint_{l}{\frac{f(z)}{z - \alpha}\mathrm{d}z} \end{align}$
此为柯西公式

以下是柯西公式的两个推论

模数原理 若 $f(z)$ 在某个闭区域上解析，则 $|f(z)|$ 只能在边界线上取最大值

刘维尔定理 如 $f(z)$ 在全平面上解析且有界，即 $|f(z)| \le N$ ，则 $f(z)$ 必为常数