复数与复数运算

复数的基本概念

• 代数式：$z = x + \imath y$，其中 $x$ 和 $y$ 分别为实部和虚部，记作 $\mathrm{Re}\,z$ 和 $\mathrm{Im}\,z$
• 三角式：$z = \rho e^{\imath\varphi}$，其中 $\rho$ 成为复数的模，$\varphi$ 称为复数的辐角，分别记为 $|z|$ 和 $\mathrm{Arg}\,z$

“NOTE

一个复数的辐角 $\mathrm{Arg}\,z$ 是不能唯一的确定的，我们取其中满足条件 $0 \le \mathrm{Arg}\,z < 2\pi$ 的一个特定值 $\mathrm{arg}\,z$ 称为复数的主辐角

无限远点

• 将模为无限大的复数对应到复平面上的一个点，称为无限远点，这样复平面上的点就可以跟复数球上的点一一对应起来

“NOTE

复数“零”和无限远点的辐角都没有明确意义

复数的运算

复数的基本运算规则如下

• 加法：实部和虚部分别相加，且交换律和结合律成立
• 减法：实部和虚部分别相减
• 乘法：从代数式出发可直接用乘法分配律展开，从三角式出发可看作是模相乘、辐角相加
• 除法：从代数式出发可直接用分母有理化得到，从三角式出发可看作是模相除、辐角相减

“NOTE

在应对复数的乘、除、乘方和开方运算时，三角式往往比代数式更加方便

• 由于复数的辐角不能唯一的确定，形如 $\sqrt[n]{z}$ 这样的式子的值也不能唯一的确定，这一现象直接引出了复变函数理论中多值函数的部分

复变函数

复变函数的定义

定义（复变函数） 复平面上的**点集 $E$**上的每一个点，都有一个或者多个复数值 $w$ 与之对应，称 $w$ 为 $z$ 的函数——复变函数，$z$ 称为 $w$ 的宗量，定义域为 $E$ ，记作

$$\begin{align} w = f(z),\quad z \in E \end{align}$$

“NOTE

在复变函数的理论中，解析函数是研究的主要对象

区域的概念

• 邻域 以复数 $z_{0}$ 为圆心，任意小正实数 $\varepsilon$ 为半径的圆内所有点的集合
• 内点 若 $z$ 及其邻域均属于点集 $E$ ，则为该点集的内点
• 外点 若 $z$ 及其领域均不属于点集 $E$ ，则为该点集的外点
• 边界点 若 $z$ 的每个邻域内都存在属于和不属于点集 $E$ 的点，则为该点集的边界点，边界点的全体称为边界线

定义（区域） 满足以下两个条件的点集：

1. 全由内点组成
2. 具有连通性

称为区域

闭区域 区域 $B$ 及其边界线所组成的点集称为闭区域 $\overline{B}$

复变函数例

导数

定义（可导与导数） 若定义在**区域 $B$**上的函数 $w = f(z)$ 满足：

1. 单值函数

2. 对于区域 $B$ 上的一点 $z$ ，极限

   $$\begin{align} \lim_{\Delta z\rightarrow 0}{\frac{\Delta w}{\Delta z}} = \lim_{\Delta z\rightarrow 0}{\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}} \end{align}$$

   存在且与 $\Delta z \rightarrow 0$ 的方式无关

则称函数 $w$ 在 $z$ 点可导，此极限称为 $z$ 点处的导数，记为 $f'(z)$ 或 $\mathrm{d}f / \mathrm{d}z$

可导的必要条件

可导的必要条件之一为柯西（C）-黎曼（R）条件（方程）：

$$\begin{align} \begin{cases} \begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\ &\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\partial u}{\partial y} \end{aligned} \end{cases} \end{align}$$

其中 $u$ 和 $v$ 分别为函数的实部和虚部函数

解析函数

定义（解析函数） 函数 $f(z)$ 在点 $z_{0}$ 及其邻域上处处可导，称 $f(z)$ 在 $z_{0}$ 点处解析。若函数 $f(z)$ 在区域 $B$ 上处处解析（可导），称为区域 $B$ 上的解析函数

解析函数的几个主要性质：

1. 梯度 $\nabla u$ 和 $\nabla v$ 正交，也即曲线簇 $u = C_{1}$ 和 $v = C_{2}$ 互相正交
2. 若函数 $f(z) = u + \imath v$ 在区域 $B$ 上解析，则 $u$ 、 $v$ 是 $B$ 上的调和函数

   “NOTE

   调和函数：函数 $H$ 在区域 $B$ 上有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程 $\Delta H = 0$ ，称函数 $H$ 为区域 $B$ 上的调和函数

平面标量场

平面静电场

在没有电荷的区域内，静电场的电势满足二维拉普拉斯方程，于是可以用电场区域上的一个解析函数 $f(z) = u(x,y) + \imath v(x,y)$ 来表示该区域的电势，称为复势

一般来说，取 $u(x,y)$ 为电势，则曲线簇 $u(x,y) = C_{1}$ 为等势线簇，曲线簇 $v(x,y) = C_{2}$ 为电场线簇，函数 $v(x,y)$ 为通量函数（两点间的通量即为 $v$ 的差值）

平面无旋流动

可以设 $v(x,y)$ 为速度势，$u(x,y)$ 为流量函数

平面温度场

可以设 $u(x,y)$ 为温度分布，$v(x,y)$ 为热流量函数

多值函数

• 单值分支 对复平面上同一个点，多值函数可能会出现多种取值的可能性，每一种取值称为一个单值分支

• 支点 对于多值函数 $f(z)$ ，若绕 $z$ 点一周，函数值 $w$ 不复原，而在该点上各单值分支相等，称该点为多值函数的支点

  • 若绕支点 $n$ 周后函数值 $w$ 复原，则称为 $n-1$ 阶支点

• 黎曼面 围绕支点，将平面沿从支点发出的一条射线剪开，将多个平面如此切开，使其分别对应 $\mathrm{Arg} z$ 的不同取值范围（比如：$[0,2\pi)$，$[2\pi,4\pi)$），在此基础上，将这些平面的上缘与下缘首尾相接，形成一个自相交的多叶的面，称为函数的黎曼面