静磁学

26 年 4 月 13 日 星期一 (已编辑)
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物理 电动力学 静磁学 安培定律 矢势

洛伦兹力

F=q(E+v×B)\begin{align} \boldsymbol{F} = q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}) \end{align}

磁力不做功：dWmag=Fmag⋅dl=0\mathrm{d}W_{\text{mag}} = \boldsymbol{F}_{\text{mag}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} = 0。

电流

线电流：I=λvI = \lambda v。

面电流密度 K\boldsymbol{K}：单位宽度的电流，K=σv\boldsymbol{K} = \sigma \boldsymbol{v}。

体电流密度 J\boldsymbol{J}：单位面积的电流，J=ρv\boldsymbol{J} = \rho \boldsymbol{v}。

连续性方程：∇⋅J=−∂ρ∂t\nabla\cdot\boldsymbol{J} = -\dfrac{\partial\rho}{\partial t}。

毕奥-萨伐尔定律

线电流：

B(r)=μ04πI∫dl′×r^r2\begin{align} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} I\int \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{l}' \times \hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}}{\mathscr{r}^2} \end{align}

体电流：

B(r)=μ04π∫J(r′)×r^r2 dτ′\begin{align} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}')\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}}{\mathscr{r}^2}\,\mathrm{d}\tau' \end{align}

安培定律

微分形式：∇×B=μ0J\nabla\times\boldsymbol{B} = \mu_0\boldsymbol{J}

积分形式：∮B⋅dl=μ0Ienc\oint \boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}

对称性应用：无限长直导线、无限大平面、螺线管、环形螺线管。

矢势

B=∇×A,∇⋅A=0,∇2A=−μ0J\begin{align} \boldsymbol{B} = \nabla\times\boldsymbol{A}, \quad \nabla\cdot\boldsymbol{A}=0, \quad \nabla^2\boldsymbol{A} = -\mu_0\boldsymbol{J} \end{align}

解：

A(r)=μ04π∫J(r′)r dτ′\begin{align} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}')}{\mathscr{r}}\,\mathrm{d}\tau' \end{align}

磁偶极子

磁偶极矩：m=I∫da=12∫r′×J dτ′\boldsymbol{m} = I\int \mathrm{d}\boldsymbol{a} = \dfrac{1}{2}\int \boldsymbol{r}'\times\boldsymbol{J}\,\mathrm{d}\tau'。

矢势：Adip=μ04πm×r^r2\boldsymbol{A}_{\text{dip}} = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\boldsymbol{m}\times\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}

磁场：Bdip=μ04π1r3[3(m⋅r^)r^−m]\boldsymbol{B}_{\text{dip}} = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{1}{r^3}[3(\boldsymbol{m}\cdot\hat{\boldsymbol{r}})\hat{\boldsymbol{r}}-\boldsymbol{m}]

（注意在原点处有 δ\delta 函数项。）

边界条件

在面电流处：

Babove⊥=Bbelow⊥Babove∥−Bbelow∥=μ0K×n^\begin{align} B_{\text{above}}^\perp &= B_{\text{below}}^\perp \\ B_{\text{above}}^\parallel - B_{\text{below}}^\parallel &= \mu_0\boldsymbol{K}\times\hat{\boldsymbol{n}} \end{align}
物理电动力学静磁学安培定律矢势

·文章标题：静磁学

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文系统整理静磁学的基础知识，包括洛伦兹力、电流、毕奥-萨伐尔定律、安培定律、矢势以及磁偶极子。

·文章链接：https://www.neowangking.top/posts/physics/electrodynamics/07-magnetostatics[点击复制]

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