球函数

根据前面的知识，对拉普拉斯方程 $\Delta u = 0$ 和亥姆霍兹方程 $(\nabla^{2} + k^{2}) A = 0$ （描述波动现象空间分布的二阶椭圆型偏微分方程）进行分离变量，可以得到球函数方程：

其解 $Y(\theta, \varphi)$ 称为球函数（定义在半径 $r$ 的球面上的函数），对球函数在进行分离变量：

其中的 $\Theta(\theta)$ 需要从 勒让德方程 中解出：

上式中，我们采用了变量代换：

1. 轴对称球函数

勒让德多项式

我们先来考虑系统在 $\varphi$ 的方向上对称的情形，此时就有 $\mu = m^{2} = 0$ ，这样勒让德方程就可以化为

这个方程的定义域为 $x\in[-1,1]$ ，$x = 0$ 为常点，奇点为 $-1,1,\infty$，且均为正则奇点

于是，可以在 $x = 0$ 附近作泰勒展开

其中，收敛半径为 $R = 1$ ，且在 $|x| = 1$ 处发散，将其代入

要得到收敛解，需要对某个 $k_{c}$ 有 $\lambda - k_{c}(k_{c} + 1) = 0$ ，于是我们取

这样多项式的最高次项就为 $a_{l}x^{l}$ ，适当的取系数，使得

于是这个多项式解就为

这就是 $l$ 阶勒让德多项式 的具体表达式

一些常用的结论：

1. 前几个勒让德多项式：

   $$\begin{align} P_{0}(x) = 1 \end{align}$$ $$\begin{align} P_{1}(x) = x \end{align}$$ $$\begin{align} P_{2}(x) = \frac{1}{2}(3x^{2} -1) \end{align}$$

2. 在零处的勒让德多项式 $P_{l}(0)$ 有

   $$\begin{align} P_{2n + 1}(0) = 0 \end{align}$$ $$\begin{align} P_{2n}(0) = (-1)^{n}\frac{(2n - 1)!!}{(2n)!!} \end{align}$$

勒让德多项式的微分形式

利用二项式定理对 $(x^{2} - 1)^{l}$ 展开得到：

对上式求导 $l$ 次，与勒让德多项式对照后可以得到

该公式也叫做 罗德里格斯公式

勒让德多项式的积分形式

利用高阶导数的柯西公式

可以得到勒让德多项式的积分形式

其中 $C_{l}$ 为包含 $z = x$ 点的任一环路，这一积分公式称作 施列夫利积分

接下来将这个积分化成定积分，取 $C_{l}$ 为圆心在 $z = x$ 、半径为 $\sqrt{|x^{2} - 1|}$ 的圆周，于是就有：$z - x = \sqrt{x^{2} - 1}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}$ ，$\mathrm{d}z = \mathrm{i}\sqrt{x^{2} - 1}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi}\mathrm{d}\psi$ ，代入得到

这叫做 拉普拉斯积分 ，由此也可见 $|P_{l}(x)| \le 1$

勒让德多项式的正交性

勒让德多项式是施图姆-刘维尔本征值问题的正交关系的一个 特例，也即

更一般的，我们可以求出

其中 $\left(N_{l}\right)^{2} = \frac{2}{2l + 1}$ ， 这就是勒让德多项式的模方

广义傅里叶级数展开

通过上面的推导，我们知道了勒让德多项式是完备的，也就是说，它可以作为广义傅里叶级数展开的基。于是，定义在 $x \in [-1, +1]$ 上的函数 $f(x)$ 可以展开成广义傅里叶级数：

或者对于定义在 $\theta \in [0,\pi]$ 上的函数 $f(\theta)$ 也可以进行展开：

母函数的导出

考虑在单位球的北极处放置一个 $4\pi\varepsilon_{0}$ 单位的正电荷，则在球内任意一点 $M(r, \theta)$ 处的静电势为：

我也不知道这里为什么要是 $\frac{1}{d}$ ，约定俗成的

静电势 $\frac{1}{d}$ 遵从拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的一般解的形式，即：

球心处的电势应当有限，所以 $B_{l} = 0$ ，于是有

可以简单的通过令 $\theta = 0$ ，得到 $A_{l} = 1$ ，于是

同理，可以求得球外的静电势，结果为：

于是，这个静电势 $\frac{1}{\sqrt{1 - 2r\cos{\theta} + r^{2}}}$ 被称作勒让德多项式的 母函数（生成函数）

而如果是在半径为 $R$ 的球的北极上放置电荷，则：

勒让德多项式的递推公式

通过母函数可以推导出勒让德多项式的递推公式，已知有：

两边对 $r$ 求导，得到

化简即可得到

通过改变求导的对象（比如对 $x$ 求导），还可以得到如下的递推公式

2. 连带勒让德函数

连带勒让德函数的导出

当问题不再具有轴对称性（$m \neq 0$）时，$\Theta(\theta)$ 满足的方程为连带勒让德方程。在变量 $x=\cos\theta$ 下，方程化为

其中 $m$ 为整数（由 $\Phi(\phi)$ 的周期性条件决定），且 $|m| \le l$。此方程的解称为 连带勒让德函数 $P_l^m(x)$。

在这个方程中， $x_{0} = 0$ 是常点，可以通过一般的级数解法求得级数解，但是递推公式极为复杂，所以我们考虑一下其他的方法，适当的取

在这个变换下有：

这样代入就可以得到 $y(x)$ 的微分方程

可以证明，上式就是勒让德方程求导 $m$ 次后得到的方程，于是就有 $y(x) = P_{l}^{(m)}(x)$ 。

证明： 将勒让德方程：

$$\begin{align} (1 - x^2)P'' - 2xP' + \lambda P = 0 \end{align}$$

对 $x$ 求导 $m$ 次，结果为：

$$\begin{align} \left[(1 - x^2)p^{(m + 2)} - m2xP^{(m + 1)} - \frac{m(m - 1)}{2}2P^{(m)}\right] - 2\left[xP^{(m + 1)} + mP^{(m)}\right] + \lambda P^{(m)} = 0 \end{align}$$

化简得到：

$$\begin{align} (1 - x^2){P^{(m)}}'' - 2x(m + 1){P^{(m)}}' + \left[\lambda - m(m + 1)\right]P^{(m)} = 0 \end{align}$$

这就是连带勒让德方程

于是我们可以得到 $l$ 阶连带勒让德函数：

对于负指标 $m$，定义

前几项：

• $P_1^1(x) = (1-x^2)^{1/2}$
• $P_2^1(x) = 3x(1-x^2)^{1/2}$
• $P_2^2(x) = 3(1-x^2)$

连带勒让德函数的其他形式

1. 微分形式

   $$\begin{align} P^{m}_{l}(x) = \frac{(1 - x^2)^{\frac{m}{2}}}{2^{l}l!}\frac{\mathrm{d}^{l + m}}{\mathrm{d}x^{l + m}}\left(x^2 - 1\right)^{l} \end{align}$$

   而对于负指标，代入 $-m$ 即可得到

   $$\begin{align} P^{-m}_{l}(x) = \frac{(1 - x^2)^{-\frac{m}{2}}}{2^{l}l!}\frac{\mathrm{d}^{l - m}}{\mathrm{d}x^{l - m}}\left(x^2 - 1\right)^{l} \end{align}$$

   与 $m$ 为正的情况对比即可得到

   $$\begin{align} P_l^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^m(x) \end{align}$$

2. 积分形式

   按照柯西公式，微分表达式可以表示成环路积分：

   $$\begin{align} P^{m}_{l}(x) = \frac{(1 - x^2)^{\frac{m}{2}}}{2^l}\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\frac{(l + m)!}{l!}\oint_{C}{\frac{(z^2 - 1)^{l}}{(z - x)^{l + m + 1}}\mathrm{d}z} \end{align}$$

正交归一性与模

连带勒让德函数在区间 $[-1,1]$ 上带权正交：

对于不同的 $m$，它们也满足正交关系

广义傅里叶级数展开

根据上面的证明，可以看出连带勒让德函数 $P^{m}_{l}(x)$ 是完备的，可以作为广义傅里叶级数展开的基：

或：

连带勒让德函数的递推

连带勒让德函数的基本递推公式有四个：

3. 一般球函数

球函数

球函数方程的解就叫做球函数：

这是球函数的实变函数形式，其中 $\begin{Bmatrix}\cos{m\varphi}\\\sin{m\varphi}\end{Bmatrix}$ 指的是 $\cos{m\varphi}$ 和 $\sin{m\varphi}$ 的线性组合

线性独立的 $l$ 阶球函数共有 $2l + 1$ 个，这是因为对于 $m = 0$，只有一个球函数 $P_{l}(x)$，而对于 $m \neq 0$，有两个球函数 $P^{m}_{l}(x)\cos{m\varphi}$ 和 $P^{m}_{l}(x)\sin{m\varphi}$，于是根据欧拉公式可以写出球函数的复变函数形式：

在之后的学习中，我会以复变函数的形式为重点，这里只是提一嘴以防忘记还有实变函数的形式

球函数的正交关系

球函数中的任意两个在球面 $S$ 上（即 $0 \le \theta \le \pi,\, 0 \le \varphi \le 2\pi$ ）正交：

球函数的模

1. 实变函数形式的模

   使用三角函数积分即可得到：

   $$\begin{align} (N^{m}_{l})^2 &= \iint_{S}{[Y^{m}_{l}(\theta, \varphi)]^{2}\,\sin{\theta}\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi}\\ &=\int_{0}^{\pi}{[P^{m}_{l}(\cos{\theta})]^{2}\sin{\theta}\mathrm{d}\theta}\int_{0}^{2\pi}{(A\sin^{2}{m\varphi} + B\cos^{2}{m\varphi})\,\mathrm{d}\varphi}\\ &=\int_{-1}^{+1}{[P^{m}_{l}(x)]^{2}\mathrm{d}x}\int_{0}^{2\pi}{(A\sin^{2}{m\varphi} + B\cos^{2}{m\varphi})\,\mathrm{d}\varphi} \end{align}$$

   积分得（不会积的去重修微积分）：

   $$\begin{align} N_{l}^{m} = \sqrt{\frac{2\pi\delta_{m}}{2l + 1}\frac{(l + m)!}{(l - m)!}} \end{align}$$

   其中 $\delta_{m} = \begin{cases}2, &m = 0\\1, &m = 1, 2, 3,\cdots\end{cases}$ 。

2. 复变函数形式的模

   利用积分式：

   $$\begin{align} \int_{0}^{2\pi}{e^{\mathrm{i}m\varphi}[e^{\mathrm{i}m\varphi}]^{*}\mathrm{d}\varphi} = \int_{0}^{2\pi}{1\mathrm{d}\varphi} = 2\pi \end{align}$$

   得到复变函数形式的球函数的模的平方为：

   $$\begin{align} (N_{l}^{m})^{2} &= \iint_{S}{Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)[Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)]^{*}\,\sin{\theta}\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi}\\ &= \int_{0}^{\pi}{[P_{l}^{|m|}(\cos{\theta})]^{2}\sin{\theta}\mathrm{d}\theta}\cdot\int_{0}^{2\pi}{e^{\mathrm{i}m\varphi}[e^{\mathrm{i}m\varphi}]^{*}\mathrm{d}\varphi}\\ &= \frac{2}{2l + 1}\cdot\frac{(l + |m|)!}{(l - |m|)!}\cdot 2\pi \end{align}$$

   得到：

   $$\begin{align} N_{l}^{m} = \sqrt{\frac{4\pi}{2l + 1}\cdot\frac{(l + |m|)!}{(l - |m|)!}} \end{align}$$

球面上的函数的广义傅里叶级数展开

定义在球面 $S(0 \le \theta \le \pi,\,0 \le \varphi 2\pi)$ 上的函数 $f(\theta, \varphi)$ 可以用球函数展开成二重广义傅里叶级数。

1. 实变函数的形式

   对 $f$ 进行展开：

   $$\begin{align} f(\theta,\varphi) = \sum_{m = 0}^{\infty}{\left[A_{m}(\theta)\cos{m\varphi} + B_{m}(\theta)\sin{m\varphi}\right]} \end{align}$$

   此处的系数可以从下式中得出：

   $$\begin{align} \begin{cases} \begin{aligned} &A_{m}(\theta) = \frac{1}{\pi\delta_{m}} \int_{0}^{2\pi}{f(\theta,\varphi)\,\cos{m\varphi}\mathrm{d}\varphi}\\ &B_{m}(\theta) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi}{f(\theta,\varphi)\,\sin{m\varphi}\mathrm{d}\varphi} \end{aligned} \end{cases} \end{align}$$

   再以 $P_{l}^{m}(\cos{\theta})$ 为基底展开得到：

   $$\begin{align} \begin{cases} \begin{aligned} &A_{m}(\theta) = \sum_{l = m}^{\infty}{A_{l}^{m} P_{l}^{m}(\cos{\theta})}\\ &B_{m}(\theta) = \sum_{l = m}^{\infty}{B_{l}^{m} P_{l}^{m}(\cos{\theta})} \end{aligned} \end{cases} \end{align}$$

   最后利用广义傅里叶级数展开 （md敲代码敲得想4） ，得到：

   $$\begin{align} \begin{cases} \begin{aligned} A_{l}^{m} &= \frac{2l + 1}{2} \cdot \frac{(l - m)!}{(l + m)!} \int_{0}^{\pi}{A_{m}(\theta)P_{l}^{m}(\cos{\theta})\,\sin{\theta}\mathrm{d}\theta}\\ &= \frac{2l + 1}{2\pi\delta_{m}} \cdot \frac{(l - m)!}{(l + m)!} \int_{0}^{\pi}{\int_{0}^{2\pi}{f(\theta,\varphi)P_{l}^{m}(\cos{\theta})\,\cos{m\varphi}\sin{\theta}\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi}}\\ B_{l}^{m} &= \frac{2l + 1}{2} \cdot \frac{(l - m)!}{(l + m)!} \int_{0}^{\pi}{B_{m}(\theta)P_{l}^{m}(\cos{\theta})\,\sin{\theta}\mathrm{d}\theta}\\ &= \frac{2l + 1}{2\pi} \cdot \frac{(l - m)!}{(l + m)!} \int_{0}^{\pi}{\int_{0}^{2\pi}{f(\theta,\varphi)P_{l}^{m}(\cos{\theta})\,\sin{m\varphi}\sin{\theta}\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi}} \end{aligned} \end{cases} \end{align}$$

   带回到 $f(\theta, \varphi)$ 在球面 $S$ 上的展开式：

   $$\begin{align} f(\theta,\varphi) = \sum_{m = 0}^{\infty}{\sum_{l = m}^{\infty}{\left[A_{l}^{m}\cos{m\varphi} + B_{l}^{m}\sin{m\varphi}\right]P_{l}^{m}(\cos{\theta})}} \end{align}$$

2. 复变函数的形式

   与上述实变函数的形式的推导过程类似，展开复数形式的傅里叶级数，有：

   $$\begin{align} f(\theta,\varphi) = \sum_{l = 0}^{\infty}{\sum_{m = -l}^{\infty}{C_{l}^{m}P_{l}^{|m|}(\cos{\theta})e^{\mathrm{i}m\varphi}}} \end{align}$$ $$\begin{align} C_{l}^{m} = \frac{2l + 1}{4\pi}\frac{(l - |m|)!}{(l + |m|)!} \int_{0}^{\pi}{\int_{0}^{2\pi}{f(\theta,\varphi)P_{l}^{|m|}(\cos{\theta})\left[e^{\mathrm{i}m\varphi}\right]^{*}\,\sin{\theta}\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi}} \end{align}$$

正交归一化的球函数

在物理学的情形中，常常需要用到正交归一化的球函数，其定义为

于是对应的球面上的函数 $f(\theta,\varphi)$ 可以使用正交归一球函数展开，即：