电动力学

26 年 3 月 14 日 星期六 (已编辑)
1489 字
8 分钟
物理 电动力学 法拉第定律 电感 麦克斯韦方程组

引言：从静场到时变场

在静电学和静磁学中，我们研究的是不随时间变化的电荷和电流分布所产生的电场和磁场：

  • 静电场：∇⋅E=1ϵ0ρ\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \dfrac{1}{\epsilon_0}\rho，∇×E=0\nabla \times \boldsymbol{E} = 0，电场由静止电荷产生。
  • 静磁场：∇×B=μ0J\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J}，∇⋅B=0\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0，磁场由稳恒电流产生。

但当电荷和电流随时间变化时，电场和磁场不再独立，它们相互耦合，形成统一的电磁场。本章将探讨这种耦合的规律。

电动势

电动势的定义

考虑一个电路，其中电池提供非静电力（化学力）驱动电荷流动。定义 电动势 为作用在单位电荷上的非静电力沿闭合回路做的功：

E≡∮f⋅dl=∮fs⋅dl\begin{align} \mathcal{E} \equiv \oint \boldsymbol{f} \cdot d\boldsymbol{l} = \oint \boldsymbol{f}_s \cdot d\boldsymbol{l} \end{align}

其中 fs\boldsymbol{f}_s 是单位电荷所受的非静电力（如化学力）。在静电情形下，∮E⋅dl=0\oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = 0，但电动势可以非零。

动生电动势

当电路在磁场中运动时，自由电荷受到洛伦兹力 fmag=v×B\boldsymbol{f}_{mag} = \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}，由此产生的电动势称为 动生电动势。例如，一个矩形线圈以速度 v\boldsymbol{v} 在均匀磁场中运动（如图7.10），电动势为

E=∮fmag⋅dl=vBh\begin{align} \mathcal{E} = \oint \boldsymbol{f}_{mag} \cdot d\boldsymbol{l} = v B h \end{align}

有趣的是，洛伦兹力本身不做功，真正做功的是外力（拉动线圈的力），但电动势仍然由洛伦兹力贡献。

磁通量法则

对于任意形状的线圈在非均匀磁场中运动，可以证明动生电动势等于磁通量变化率的负值：

E=−dΦdt,Φ=∫B⋅da\begin{align} \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}, \quad \Phi = \int \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{a} \end{align}

这个规则称为 磁通量法则。它适用于任何导致磁通量变化的机制，包括线圈运动、磁场变化或两者同时发生。

法拉第定律

法拉第实验

法拉第通过一系列实验发现：无论是什么原因引起穿过回路的磁通量发生变化，回路中都会产生感应电动势，且其大小与磁通量变化率成正比，方向由楞次定律决定。

法拉第定律的积分形式

E=∮E⋅dl=−dΦdt\begin{align} \mathcal{E} = \oint \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{l} = -\frac{d\Phi}{dt} \end{align}

其中 E\boldsymbol{E} 是感应电场（注意它不是静电场，而是由变化的磁场产生的有旋电场）。

法拉第定律的微分形式

将磁通量 Φ=∫B⋅da\Phi = \int \boldsymbol{B} \cdot d\boldsymbol{a} 代入，并应用斯托克斯定理，得到

∇×E=−∂B∂t\begin{align} \nabla \times \boldsymbol{E} = -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \end{align}

这揭示了变化的磁场会产生有旋电场。

两种产生电动势的机制

  1. 动生电动势：由洛伦兹力产生，对应磁场不变而回路运动。
  2. 感生电动势：由变化磁场产生的感应电场引起，对应回路静止而磁场变化。

电感

互感

当回路1中的电流 I1I_1 变化时，它在回路2中产生的磁通量 Φ2\Phi_2 与 I1I_1 成正比：

Φ2=MI1\begin{align} \Phi_2 = M I_1 \end{align}

比例系数 MM 称为 互感，仅与两回路的几何形状、相对位置及周围介质有关。互感满足互易性 M12=M21M_{12}=M_{21}。

由法拉第定律，回路2中的感应电动势为

E2=−dΦ2dt=−MdI1dt\begin{align} \mathcal{E}_2 = -\frac{d\Phi_2}{dt} = -M \frac{dI_1}{dt} \end{align}

自感

对于一个回路自身，当电流变化时，穿过回路自身的磁通量也与电流成正比：

Φ=LI\begin{align} \Phi = L I \end{align}

LL 称为 自感，单位是亨利（H）。自感电动势（反电动势）为

E=−LdIdt\begin{align} \mathcal{E} = -L \frac{dI}{dt} \end{align}

自感阻碍电流的变化，使得电流不能瞬时改变。例如，在 RLRL 电路中，电流随时间指数增长：

I(t)=E0R(1−e−(R/L)t)\begin{align} I(t) = \frac{\mathcal{E}_0}{R} \left(1 - e^{-(R/L)t}\right) \end{align}

时间常数 τ=L/R\tau = L/R 称为 L/RL/R 时间。

磁场能量

单个线圈的储能

建立电流过程中，电源克服反电动势做功，这些功转化为磁场能量。对于单个线圈，能量为

W=12LI2\begin{align} W = \frac{1}{2} L I^2 \end{align}

一般电流分布的磁场能量

对于任意电流分布，磁场能量可以用矢势 A\boldsymbol{A} 和电流密度 J\boldsymbol{J} 表示为

W=12∫A⋅J dτ\begin{align} W = \frac{1}{2} \int \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{J} \, d\tau \end{align}

通过矢量恒等式，也可用磁场 B\boldsymbol{B} 表示为

W=12μ0∫B2 dτ\begin{align} W = \frac{1}{2\mu_0} \int B^2 \, d\tau \end{align}

前提是积分区域覆盖整个空间，且场在无穷远处衰减足够快。

位移电流

安培环路定律的困难

对于时变场，安培环路定律 ∇×B=μ0J\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J} 与电荷守恒定律矛盾。因为取散度得 ∇⋅(∇×B)=0\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{B}) = 0，但 ∇⋅J=−∂ρ/∂t\nabla \cdot \boldsymbol{J} = -\partial \rho / \partial t，除非 ρ\rho 不随时间变化。

麦克斯韦的修正

麦克斯韦引入 位移电流 项，修正安培定律为

∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂E∂t\begin{align} \nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \end{align}

其中 ϵ0∂E/∂t\epsilon_0 \partial \boldsymbol{E} / \partial t 称为位移电流密度。这一修正使得方程组自洽，并预言了电磁波的存在。

位移电流的意义

位移电流揭示了变化的电场也能产生磁场，正如变化的磁场产生电场一样。电磁场的相互激发形成了电磁波。

麦克斯韦方程组

完整的麦克斯韦方程组（真空形式）为：

∇⋅E=1ϵ0ρ(高斯定律)∇⋅B=0(磁高斯定律)∇×E=−∂B∂t(法拉第定律)∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂E∂t(安培-麦克斯韦定律)\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{E} &= \frac{1}{\epsilon_0} \rho \quad &\text{(高斯定律)} \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0 \quad &\text{(磁高斯定律)} \\ \nabla \times \boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \quad &\text{(法拉第定律)} \\ \nabla \times \boldsymbol{B} &= \mu_0 \boldsymbol{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \quad &\text{(安培-麦克斯韦定律)} \end{align}

这组方程统一了电学和磁学，描述了电磁场的产生、传播以及与物质的相互作用。它们是经典电动力学的基础。

麦克斯韦方程组的核心思想：电荷产生电场，电流和变化电场产生磁场，变化磁场产生电场。电磁场可以脱离源而独立存在，以波的形式在空间中传播。

物理电动力学法拉第定律电感麦克斯韦方程组

·文章标题：电动力学

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文介绍电动力学的核心内容，包括电动势、法拉第定律、电感、磁场能量、位移电流以及麦克斯韦方程组，从静电场和静磁场过渡到时变情形，揭示电磁场的统一性。

·文章链接：https://www.neowangking.top/posts/physics/electrodynamics/2-electrodynamics[点击复制]

·上次修改：

Layer 1

商业转载请联系站长获得授权，非商业转载请注明本文出处及文章链接，您可以自由地在任何媒体以任何形式复制和分发作品，也可以修改和创作，但是分发衍生作品时必须采用相同的许可协议。
本文采用CC BY-NC-SA 4.0进行许可。