势与场和狭义相对论

26 年 3 月 14 日 星期六 (已编辑)
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物理 电动力学 矢势 标势 规范变换 狭义相对论 洛伦兹变换 四维矢量 电磁场张量

势与场

矢势与标势的引入

在电动力学中，为了简化麦克斯韦方程组的求解，我们引入矢势 A\boldsymbol{A} 和标势 VV。由磁场的无散性，可令

B=∇×A\begin{align} \boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A} \end{align}

代入法拉第定律 ∇×E=−∂B/∂t\nabla \times \boldsymbol{E} = -\partial \boldsymbol{B}/\partial t，得

∇×(E+∂A∂t)=0\begin{align} \nabla \times \left( \boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} \right) = 0 \end{align}

因此括号内的矢量可以表示为某标量函数的梯度，令

E+∂A∂t=−∇V\begin{align} \boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} = -\nabla V \end{align}

于是电场可表示为

E=−∇V−∂A∂t\begin{align} \boldsymbol{E} = -\nabla V - \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} \end{align}

将上述表达式代入麦克斯韦方程组中的高斯定律和安培定律，得到关于势的方程：

∇2V+∂∂t(∇⋅A)=−1ϵ0ρ\begin{align} \nabla^2 V + \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \boldsymbol{A}) = -\frac{1}{\epsilon_0} \rho \end{align} ∇2A−μ0ϵ0∂2A∂t2−∇(∇⋅A+μ0ϵ0∂V∂t)=−μ0J\begin{align} \nabla^2 \boldsymbol{A} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2} - \nabla \left( \nabla \cdot \boldsymbol{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} \right) = -\mu_0 \boldsymbol{J} \end{align}

规范变换

势 (A,V)(\boldsymbol{A}, V) 的选取不是唯一的，因为可以作如下变换而不改变电场和磁场：

A′=A+∇λ,V′=V−∂λ∂t\begin{align} \boldsymbol{A}' = \boldsymbol{A} + \nabla \lambda, \quad V' = V - \frac{\partial \lambda}{\partial t} \end{align}

其中 λ\lambda 是任意标量函数。这种变换称为 规范变换，电场和磁场在规范变换下保持不变。

库仑规范

库仑规范要求 ∇⋅A=0\nabla \cdot \boldsymbol{A} = 0。在此规范下，标势方程简化为泊松方程：

∇2V=−1ϵ0ρ\begin{align} \nabla^2 V = -\frac{1}{\epsilon_0} \rho \end{align}

而矢势方程变为

∇2A−μ0ϵ0∂2A∂t2=−μ0J+μ0ϵ0∇∂V∂t\begin{align} \nabla^2 \boldsymbol{A} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2} = -\mu_0 \boldsymbol{J} + \mu_0 \epsilon_0 \nabla \frac{\partial V}{\partial t} \end{align}

库仑规范中标势 VV 由瞬时电荷分布决定，类似于静电场情形，但矢势的方程仍较复杂。

洛伦兹规范

洛伦兹规范要求

∇⋅A+μ0ϵ0∂V∂t=0\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial V}{\partial t} = 0 \end{align}

在此规范下，势的方程解耦为对称形式的达朗贝尔方程：

∇2V−μ0ϵ0∂2V∂t2=−1ϵ0ρ\begin{align} \nabla^2 V - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 V}{\partial t^2} = -\frac{1}{\epsilon_0} \rho \end{align} ∇2A−μ0ϵ0∂2A∂t2=−μ0J\begin{align} \nabla^2 \boldsymbol{A} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2} = -\mu_0 \boldsymbol{J} \end{align}

引入达朗贝尔算符 □2=∇2−μ0ϵ0∂2∂t2\Box^2 = \nabla^2 - \mu_0 \epsilon_0 \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}，方程可简洁地写为

□2V=−1ϵ0ρ,□2A=−μ0J\begin{align} \Box^2 V = -\frac{1}{\epsilon_0} \rho, \quad \Box^2 \boldsymbol{A} = -\mu_0 \boldsymbol{J} \end{align}

洛伦兹规范在狭义相对论中具有特别重要的地位，因为它使势方程具有洛伦兹协变性。

狭义相对论

爱因斯坦的基本假设

  1. 相对性原理：所有物理定律在一切惯性参考系中形式相同。
  2. 光速不变原理：真空中的光速对所有惯性观察者都相同，与光源运动无关。

光速 c=1/μ0ϵ0≈3×108 m/sc = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0} \approx 3\times 10^8\,\mathrm{m/s} 是宇宙常数，不存在绝对静止的“以太”。

爱因斯坦速度叠加公式

在相对论中，速度不再满足伽利略叠加，而是

v1=v2+v211+v2v21c2\begin{align} v_1 = \frac{v_2 + v_{21}}{1 + \dfrac{v_2 v_{21}}{c^2}} \end{align}

其中 v1v_1 是物体在惯性系 S1S_1 中的速度，v2v_2 是在 S2S_2 中的速度，v21v_{21} 是 S2S_2 相对 S1S_1 的速度。若 v2=cv_2 = c，则 v1=cv_1 = c，符合光速不变。

同时性的相对性

在一列匀速运动的火车中点处发出一闪光，在火车参考系中，光同时到达前后两端；但在地面参考系中，由于光速不变且火车在运动，光到达后端比前端更早。因此，不同惯性系对同时性的判断不同。

时间膨胀

考虑火车上的一束光垂直射向地板，在火车参考系中，光走的高度为 hh，时间为 Δtˉ=h/c\Delta \bar{t} = h/c。在地面参考系中，由于火车运动，光走的路径为斜线，长度为 h2+(vΔt)2\sqrt{h^2 + (v\Delta t)^2}，因此

cΔt=h2+(vΔt)2⇒Δt=h/c1−v2/c2=γΔtˉ\begin{align} c\Delta t = \sqrt{h^2 + (v\Delta t)^2} \quad \Rightarrow \quad \Delta t = \frac{h/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = \gamma \Delta \bar{t} \end{align}

其中 γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}。可见，运动时钟变慢——时间膨胀。反之，在火车上的观察者也会看到地面上的时钟变慢，两者都是正确的，这是相对论的对称性。

长度收缩

考虑一列长度为 Δxˉ\Delta \bar{x} 的车厢（在自身静止系中的长度），以速度 vv 相对于地面运动。在地面系中测量其长度，需要同时记录两端的位置。设光从后端发出，经前端反射回后端。在车厢系中，光往返时间为 Δtˉ=2Δxˉ/c\Delta \bar{t} = 2\Delta \bar{x}/c。在地面系中，设车厢长度为 Δx\Delta x，则光从前端到后端的时间满足

Δt1=Δx+vΔt1c,Δt2=Δx−vΔt2c\begin{align} \Delta t_1 = \frac{\Delta x + v\Delta t_1}{c}, \quad \Delta t_2 = \frac{\Delta x - v\Delta t_2}{c} \end{align}

解得 Δt1=Δxc−v\Delta t_1 = \dfrac{\Delta x}{c-v}，Δt2=Δxc+v\Delta t_2 = \dfrac{\Delta x}{c+v}，总时间 Δt=Δt1+Δt2=2Δxc(1−v2/c2)=2γ2Δxc\Delta t = \Delta t_1 + \Delta t_2 = \dfrac{2\Delta x}{c(1-v^2/c^2)} = \dfrac{2\gamma^2 \Delta x}{c}。由时间膨胀，Δt=γΔtˉ=2γΔxˉc\Delta t = \gamma \Delta \bar{t} = \dfrac{2\gamma \Delta \bar{x}}{c}，比较得

Δx=1γΔxˉ\begin{align} \Delta x = \frac{1}{\gamma} \Delta \bar{x} \end{align}

即运动物体在运动方向上长度收缩。

洛伦兹变换

设惯性系 Sˉ\bar{S} 以速度 vv 沿 xx 轴方向相对于 SS 系运动，且两系原点在 t=0t=0 时重合。洛伦兹变换为

xˉ=γ(x−vt)yˉ=yzˉ=ztˉ=γ(t−vc2x)\begin{align} \bar{x} &= \gamma (x - vt) \\ \bar{y} &= y \\ \bar{z} &= z \\ \bar{t} &= \gamma \left( t - \frac{v}{c^2} x \right) \end{align}

其逆变换为

x=γ(xˉ+vt)y=yˉz=zˉt=γ(tˉ+vc2xˉ)\begin{align} x &= \gamma (\bar{x} + vt) \\ y &= \bar{y} \\ z &= \bar{z} \\ t &= \gamma \left( \bar{t} + \frac{v}{c^2} \bar{x} \right) \end{align}

其中 γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}。

闵可夫斯基时空与四维矢量

四维坐标

定义四维坐标 xμx^\mu（μ=0,1,2,3\mu = 0,1,2,3）：

x0=ct,x1=x,x2=y,x3=z\begin{align} x^0 = ct, \quad x^1 = x, \quad x^2 = y, \quad x^3 = z \end{align}

洛伦兹变换可写为矩阵形式：

(xˉ0xˉ1xˉ2xˉ3)=(γ−γβ00−γβγ0000100001)(x0x1x2x3)\begin{align} \begin{pmatrix} \bar{x}^0 \\ \bar{x}^1 \\ \bar{x}^2 \\ \bar{x}^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\beta & 0 & 0 \\ -\gamma\beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix} \end{align}

其中 β=v/c\beta = v/c。通常记 xˉμ=Λ νμxν\bar{x}^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu} x^\nu。

四维矢量的点积与度规

定义度规 gμνg_{\mu\nu} 为

g00=−1,g11=g22=g33=1\begin{align} g_{00} = -1, \quad g_{11} = g_{22} = g_{33} = 1 \end{align}

四维矢量的点积（内积）定义为

(a,b)=gμνaμbν=−a0b0+a1b1+a2b2+a3b3\begin{align} (a,b) = g_{\mu\nu} a^\mu b^\nu = -a^0 b^0 + a^1 b^1 + a^2 b^2 + a^3 b^3 \end{align}

该点积在洛伦兹变换下不变。

协变矢量 aμa_\mu 定义为

a0=−a0,a1=a1,a2=a2,a3=a3\begin{align} a_0 = -a^0, \quad a_1 = a^1, \quad a_2 = a^2, \quad a_3 = a^3 \end{align}

于是点积可写为 aμbμa_\mu b^\mu（爱因斯坦求和约定）。

时空间隔与因果结构

对于两个事件，定义间隔 II 为

I=(Δx)μ(Δx)μ=−(cΔt)2+(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2\begin{align} I = (\Delta x)_\mu (\Delta x)^\mu = - (c\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 \end{align}

间隔是洛伦兹不变量。根据 II 的符号，可将事件分为三类：

  • 类时间隔（I<0I<0）：可通过小于光速的信号联系，存在因果关联。
  • 类空间隔（I>0I>0）：无法用光速或亚光速信号联系，无因果关联。
  • 类光间隔（I=0I=0）：正好可用光信号联系。

在闵可夫斯基图中，未来光锥、过去光锥和现在区域由间隔划分。

四维速度与四维动量

固有时

对于运动的粒子，定义固有时 τ\tau 为粒子静止系中的时间：

dτ=1−u2c2 dt=1γdt\begin{align} \mathrm{d}\tau = \sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}} \, \mathrm{d}t = \frac{1}{\gamma} \mathrm{d}t \end{align}

固有时是洛伦兹标量。

四维速度

四维速度定义为

ημ=dxμdτ=(γc,γu)\begin{align} \eta^\mu = \frac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau} = \left( \gamma c, \gamma \boldsymbol{u} \right) \end{align}

其中 u\boldsymbol{u} 是普通速度。四维速度满足 ημημ=−c2\eta_\mu \eta^\mu = -c^2。

四维动量与能量

四维动量定义为

pμ=mημ=(γmc,γmu)\begin{align} p^\mu = m \eta^\mu = \left( \gamma m c, \gamma m \boldsymbol{u} \right) \end{align}

其中 mm 为静止质量。定义能量 E=p0c=γmc2E = p^0 c = \gamma m c^2，相对论性动量 p=γmu\boldsymbol{p} = \gamma m \boldsymbol{u}。于是四维动量可写为 pμ=(E/c,p)p^\mu = (E/c, \boldsymbol{p})。

能量-动量关系：由 pμpμ=−m2c2p_\mu p^\mu = -m^2 c^2 得

E2−p2c2=(mc2)2\begin{align} E^2 - p^2 c^2 = (m c^2)^2 \end{align}

其中 p=∣p∣p = |\boldsymbol{p}|。静止能量 E0=mc2E_0 = m c^2，动能 Ekin=E−mc2=(γ−1)mc2E_{\text{kin}} = E - m c^2 = (\gamma - 1) m c^2，低速下近似为 12mu2\frac{1}{2} m u^2。

相对论动力学举例

恒力作用下的直线运动

设粒子受恒定力 FF（沿 xx 方向），初动量为零。由 F=dp/dtF = \mathrm{d}p/\mathrm{d}t 得 p=Ftp = Ft。又 p=γmup = \gamma m u，解得

uc=Ft/mc1+(Ft/mc)2\begin{align} \frac{u}{c} = \frac{Ft/mc}{\sqrt{1 + (Ft/mc)^2}} \end{align}

积分得位置

x(t)=∫0tu dt=mc2F[1+(Ftmc)2−1]\begin{align} x(t) = \int_0^t u \, \mathrm{d}t = \frac{mc^2}{F} \left[ \sqrt{1 + \left( \frac{Ft}{mc} \right)^2} - 1 \right] \end{align}

当 Ft≪mcFt \ll mc 时，x≈F2mt2x \approx \frac{F}{2m}t^2（牛顿极限）；当 Ft≫mcFt \gg mc 时，x≈ct−mc2Fx \approx ct - \frac{mc^2}{F}（趋近光速）。

相对论性回旋运动

带电粒子在均匀恒定磁场 B\boldsymbol{B} 中运动，受洛伦兹力 F=Qu×B\boldsymbol{F} = Q \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B}。运动方程为 dp/dt=Qu×B\mathrm{d}\boldsymbol{p}/\mathrm{d}t = Q \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B}，其中 p=γmu\boldsymbol{p} = \gamma m \boldsymbol{u}。由于磁场不做功，γ\gamma 常数，故 p=γmup = \gamma m u 大小不变，方向变化。在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动，向心力由洛伦兹力提供：

puR=QuB⇒p=QBR\begin{align} \frac{p u}{R} = Q u B \quad \Rightarrow \quad p = Q B R \end{align}

角频率（回旋频率）为

Ω=uR=QBp/u=QBγm\begin{align} \Omega = \frac{u}{R} = \frac{Q B}{p/u} = \frac{Q B}{\gamma m} \end{align}

即 Ω=QBγm\Omega = \dfrac{QB}{\gamma m}，与速度有关，体现了相对论效应。

闵可夫斯基力

定义闵可夫斯基力（四维力）Kμ=dpμdτK^\mu = \dfrac{\mathrm{d}p^\mu}{\mathrm{d}\tau}。它是一个四维矢量，其时间分量为

K0=dp0dτ=1cdEdτ\begin{align} K^0 = \frac{\mathrm{d}p^0}{\mathrm{d}\tau} = \frac{1}{c} \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}\tau} \end{align}

对于电磁力，洛伦兹力公式 F=Q(E+u×B)\boldsymbol{F} = Q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{B}) 可嵌入四维形式，但需注意 KμK^\mu 与普通力 F\boldsymbol{F} 的关系为 Kμ=(γF⋅u/c,γF)K^\mu = (\gamma \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{u}/c, \gamma \boldsymbol{F})。

相对论电动力学

电磁场的变换规律

在狭义相对论中，电场 E\boldsymbol{E} 和磁场 B\boldsymbol{B} 不是独立的四维矢量，而是构成一个四维二阶张量——电磁场张量。从静止系 S0S_0（电场 E0\boldsymbol{E}_0、磁场 B0=0\boldsymbol{B}_0=0）变换到以速度 vv 运动的参考系 SS 时，场的变换规律为

E∥=E0∥,B∥=0E⊥=γ(E0⊥+v×B0⊥)B⊥=γ(B0⊥−v×E0⊥c2)\begin{align} E_\parallel &= E_{0\parallel}, \quad B_\parallel = 0 \\ E_\perp &= \gamma (E_{0\perp} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}_{0\perp}) \\ B_\perp &= \gamma \left( B_{0\perp} - \frac{\boldsymbol{v} \times \boldsymbol{E}_{0\perp}}{c^2} \right) \end{align}

其中 ∥\parallel 和 ⊥\perp 分别表示平行和垂直于相对速度 v\boldsymbol{v} 的分量。一般情况下，场变换的完整表达式为

Eˉx=ExEˉy=γ(Ey−vBz)Eˉz=γ(Ez+vBy)Bˉx=BxBˉy=γ(By+vc2Ez)Bˉz=γ(Bz−vc2Ey)\begin{align} \bar{E}_x &= E_x \\ \bar{E}_y &= \gamma (E_y - v B_z) \\ \bar{E}_z &= \gamma (E_z + v B_y) \\ \bar{B}_x &= B_x \\ \bar{B}_y &= \gamma \left( B_y + \frac{v}{c^2} E_z \right) \\ \bar{B}_z &= \gamma \left( B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right) \end{align}

这些变换表明 E\boldsymbol{E} 和 B\boldsymbol{B} 是同一物理对象在不同惯性系中的不同表现，磁现象本质上可以理解为相对论效应。

电磁场张量

引入四维势 Aμ=(V/c,A)A^\mu = (V/c, \boldsymbol{A})（是一个四维矢量），则电磁场张量定义为

Fμν=∂Aν∂xμ−∂Aμ∂xν\begin{align} F^{\mu\nu} = \frac{\partial A^\nu}{\partial x_\mu} - \frac{\partial A^\mu}{\partial x_\nu} \end{align}

在洛伦兹规范 ∂μAμ=0\partial_\mu A^\mu = 0 下，势满足 □2Aμ=−μ0Jμ\Box^2 A^\mu = -\mu_0 J^\mu。

电磁场张量的分量与电场和磁场的关系为

Fμν=(0Ex/cEy/cEz/c−Ex/c0Bz−By−Ey/c−Bz0Bx−Ez/cBy−Bx0)\begin{align} F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ -E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ -E_z/c & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix} \end{align}

对偶张量定义为

Gμν=(0BxByBz−Bx0−Ez/cEy/c−ByEz/c0−Ex/c−Bz−Ey/cEx/c0)\begin{align} G^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & B_x & B_y & B_z \\ -B_x & 0 & -E_z/c & E_y/c \\ -B_y & E_z/c & 0 & -E_x/c \\ -B_z & -E_y/c & E_x/c & 0 \end{pmatrix} \end{align}

麦克斯韦方程的张量形式

引入四维电流密度 Jμ=(ρc,J)J^\mu = (\rho c, \boldsymbol{J})，则麦克斯韦方程组可简洁地写为

∂Fμν∂xν=μ0Jμ∂Gμν∂xν=0\begin{align} \frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^\nu} &= \mu_0 J^\mu \\ \frac{\partial G^{\mu\nu}}{\partial x^\nu} &= 0 \end{align}

展开后：

  • μ=0\mu=0 给出 ∇⋅E=ρ/ϵ0\nabla \cdot \boldsymbol{E} = \rho/\epsilon_0（高斯定律）
  • μ=1,2,3\mu=1,2,3 给出 ∇×B=μ0J+μ0ϵ0∂E/∂t\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J} + \mu_0\epsilon_0 \partial \boldsymbol{E}/\partial t（安培-麦克斯韦定律）
  • 第二个方程 ∂νGμν=0\partial_\nu G^{\mu\nu}=0 给出 ∇⋅B=0\nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 和 ∇×E=−∂B/∂t\nabla \times \boldsymbol{E} = -\partial\boldsymbol{B}/\partial t（法拉第定律）

这些方程在洛伦兹变换下保持形式不变，体现了电动力学的相对论协变性。

电磁场的相对论性统一

电磁场张量的引入揭示了电场和磁场的本质：它们是同一个四维二阶张量在不同惯性系中的不同分量。这一观点统一了电现象和磁现象，并表明麦克斯韦方程组天然满足狭义相对论的要求。正如爱因斯坦在1905年的论文中所指出，电动力学无需引入“以太”假设，相对论即可自洽地描述电磁现象。

物理电动力学矢势标势规范变换狭义相对论洛伦兹变换四维矢量电磁场张量

·文章标题：势与场和狭义相对论

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文介绍电动力学中的势与场，包括矢势和标势的引入、规范变换（库仑规范与洛伦兹规范）；以及狭义相对论的基本原理、洛伦兹变换、四维时空、相对论动力学，并进一步讨论相对论电动力学，包括电磁场的变换规律、电磁场张量及麦克斯韦方程的张量形式。

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