电动力学与相对论

狭义相对论的基本假设

1. 相对性原理：所有惯性参考系中的物理定律形式相同。
2. 光速不变原理：真空中光速对所有惯性观察者都相同，与光源运动无关。

洛伦兹变换

设 $\bar S$ 相对 $S$ 以速度 $v$ 沿 $x$ 轴运动：

其中 $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$。

逆变换：

时空结构

四维矢量 $x^\mu = (ct, x, y, z)$。

间隔不变性：

类时 $I<0$，类空 $I>0$，类光 $I=0$。

相对论力学

固有时间：$\mathrm{d}\tau = \dfrac{1}{\gamma}\mathrm{d}t$

四维速度：$\eta^\mu = \dfrac{\mathrm{d}x^\mu}{\mathrm{d}\tau} = \gamma(c, \boldsymbol{u})$

相对论能量-动量：

相对论动能：$E_{\text{kin}} = E - mc^2 = (\gamma-1)mc^2$。

相对论电动力学

场变换

设 $\bar S$ 沿 $x$ 方向相对 $S$ 以速度 $v$ 运动：

场张量 $F^{\mu\nu}$

对偶场张量 $G^{\mu\nu}$ 通过 $E/c \to B$，$B \to -E/c$ 得到。

麦克斯韦方程的协变形式

其中 $J^\mu = (c\rho, \boldsymbol{J})$ 是四维电流密度。

洛伦兹力协变形式

其中 $K^\mu$ 是闵可夫斯基力，$\eta^\mu$ 是四维速度。