哈密顿理论在物理学中的应用

26 年 6 月 8 日星期一

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物理 / 理论力学

物理理论力学连续体拉格朗日密度薛定谔方程声子

从离散到连续

在分析力学中，有限自由度的体系用广义坐标 $q_\alpha(t)$ 描述。对于连续体系（如弹性棒、电磁场、流体），自由度是无穷多的，需要用空间连续的力学变量 $\eta(\boldsymbol{x}, t)$ 来描述。

离散到连续的过渡

离散： $q_\alpha(t)$ ， $\alpha = 1,2,\dots,s$
连续： $\eta(\boldsymbol{x}, t)$ ， $\boldsymbol{x}$ 连续取值

连续体系的拉格朗日描述

拉格朗日密度

拉格朗日函数可写为对空间的积分：

\begin{align} L = \int \mathcal{L}(\eta, \partial_t \eta, \partial_x \eta, \dots) \,\mathrm{d}^3 x \end{align}

其中 $\mathcal{L}$ 称为拉格朗日密度。

对于一维弹性棒的纵振动：

\begin{align} \mathcal{L} = \frac{1}{2} \rho \dot{u}^2 - \frac{1}{2} Y (u')^2 \end{align}

动能密度 $\mathcal{T} = \frac{1}{2} \rho \dot{u}^2$ ，势能密度 $\mathcal{V} = \frac{1}{2} Y (u')^2$ 。

连续体系的哈密顿原理

对于连续体系，哈密顿原理仍然成立：

\begin{align} \delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} \int \mathcal{L} \,\mathrm{d}^3 x \,\mathrm{d}t = 0 \end{align}

连续体系的拉格朗日方程

对于三维多场 $\eta_a$ ：

\begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \eta_a} - \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \eta_a)} = 0 \end{align}

其中 $\partial_\mu \eta_a = (\partial_t \eta_a, \nabla \eta_a)$ 。

应用：弹性棒的波动方程

将 $\mathcal{L} = \frac{1}{2} \rho \dot{u}^2 - \frac{1}{2} Y (u')^2$ 代入连续体系的拉格朗日方程：

\begin{align} \rho \ddot{u} - Y u'' = 0 \end{align}

即波动方程：

\begin{align} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}} \end{align}

电磁场的拉格朗日密度

电磁场的拉格朗日密度为

\begin{align} \mathcal{L} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 - \frac{1}{2\mu_0} B^2 - \rho V + \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{A} \end{align}

其中 $\boldsymbol{E} = -\nabla V - \partial \boldsymbol{A} / \partial t$ ， $\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A}$ 。由连续体系的拉格朗日方程可导出麦克斯韦方程组。

从哈密顿-雅可比方程到薛定谔方程

薛定谔的思路

薛定谔将电子视为一种物质波，从经典力学的哈密顿-雅可比方程出发，通过变换引入波函数。

薛定谔变换

引入变换：

\begin{align} \psi = e^{\mathrm{i} S / \hbar} \end{align}

其中 $S$ 是哈密顿主函数。代入哈-雅方程，可得到薛定谔方程。

氢原子的薛定谔方程

氢原子中电子的经典哈密顿函数为

\begin{align} H = \frac{p^2}{2m} - \frac{k}{r} \end{align}

对应的薛定谔方程为

\begin{align} \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 - \frac{k}{r} \right) \psi = E \psi \end{align}

一维谐振子的薛定谔方程

从一维谐振子的哈密顿函数 $H = \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{1}{2} m \omega^2 x^2$ 出发，做薛定谔变换可得

\begin{align} -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^2 \psi}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \psi = E \psi \end{align}

WKB 近似

在 $\hbar \to 0$ 的极限下（短波长极限），薛定谔方程退化为哈密顿-雅可比方程。WKB 近似提供半经典方法：

\begin{align} \psi(x) \approx \frac{1}{\sqrt{p(x)}} \exp\left( \pm \frac{\mathrm{i}}{\hbar} \int p(x) \,\mathrm{d}x \right) \end{align}

其中 $p(x) = \sqrt{2m[E - V(x)]}$ 。

从经典到量子的理论发展脉络

阶段	核心方程	关键思想
牛顿力学	$\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a}$	受力分析，矢量方程
拉格朗日力学	$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = \frac{\partial L}{\partial q}$	标量函数，广义坐标
哈密顿力学	$\dot{q} = \partial H / \partial p$ ， $\dot{p} = -\partial H / \partial q$	相空间，正则方程
哈-雅理论	$H(q, \partial S / \partial q, t) + \partial S / \partial t = 0$	偏微分方程，作用量
薛定谔方程	$(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V)\psi = \mathrm{i}\hbar \partial_t \psi$	波函数，量子化

小结

连续体系用拉格朗日密度 $\mathcal{L}(\eta, \partial_\mu \eta)$ 描述
连续体系的拉格朗日方程： $\partial \mathcal{L} / \partial \eta_a - \partial_\mu [\partial \mathcal{L} / \partial (\partial_\mu \eta_a)] = 0$
弹性棒的纵振动给出波动方程 $\ddot{u} = v^2 u''$
薛定谔从哈密顿-雅可比方程出发建立了波动力学
哈密顿理论是连接经典力学和量子力学的桥梁

物理理论力学连续体拉格朗日密度薛定谔方程声子

·文章标题：哈密顿理论在物理学中的应用

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文展示哈密顿理论在连续体系和量子力学中的拓展应用，包括拉格朗日密度的引入、连续体系的哈密顿原理与拉格朗日方程、一维弹性棒的波动方程，以及从哈密顿-雅可比方程到薛定谔方程的建立过程。

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经典力学的哈密顿理论

流体