拉普拉斯方程

在无电荷区域 $\nabla^2 V = 0$。

一维：$V(x) = mx + b$，无局部极值。

二维：$V(x,y)$ 满足平均值性质，无局部极值。

三维：$V(\boldsymbol{r})$ 在球面上的平均值等于球心处的值。

唯一性定理：若边界上的 $V$ 给定，则区域内的 $V$ 唯一确定。

分离变量法

直角坐标

二维拉普拉斯方程分离变量：

$$\begin{align} V(x,y) = (Ae^{kx}+Be^{-kx})(C\sin ky+D\cos ky) \end{align}$$

边界条件确定 $k$ 的取值（如 $k = n\pi/a$）和傅里叶系数。

球坐标（轴对称）

$$\begin{align} V(r,\theta) = \sum_{l=0}^\infty \left(A_l r^l + \frac{B_l}{r^{l+1}}\right)P_l(\cos\theta) \end{align}$$

勒让德多项式 $P_l(x)$ 满足正交性：

$$\begin{align} \int_{-1}^1 P_l(x)P_{l'}(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{2l+1}\delta_{ll'} \end{align}$$

柱坐标（无 $z$ 依赖）

径向方程为贝塞尔方程，解包含 $\ln s$ 和 $s^{\pm k}$。

镜像法

点电荷与接地平面：用 $-q$ 在对称位置代替感应电荷。

点电荷与接地球：像电荷 $q' = -\dfrac{R}{a}q$ 在距离球心 $b = \dfrac{R^2}{a}$ 处。

点电荷与导体平面夹角：若夹角为 $\pi/n$（$n$ 整数），可用 $2n-1$ 个像电荷。

多极展开

对远场势的展开：

$$\begin{align} V(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{r^{n+1}}\int (r')^n P_n(\cos\alpha)\rho(\boldsymbol{r}')\,\mathrm{d}\tau' \end{align}$$

单极项：$V_{\text{mon}} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{r}$，其中 $Q = \int \rho\,\mathrm{d}\tau$。

偶极项：$V_{\text{dip}} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{\boldsymbol{p}\cdot\hat{\boldsymbol{r}}}{r^2}$，其中 $\boldsymbol{p} = \int \boldsymbol{r}'\rho(\boldsymbol{r}')\,\mathrm{d}\tau'$。

偶极子电场：

$$\begin{align} \boldsymbol{E}_{\text{dip}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r^3}[3(\boldsymbol{p}\cdot\hat{\boldsymbol{r}})\hat{\boldsymbol{r}}-\boldsymbol{p}] \end{align}$$

（注意在原点处有 $\delta$ 函数项。）