引言

任何保守体系在稳定平衡位置附近做小幅度运动时，都可以近似为简谐振动的叠加。这是分析多自由度系统振动行为的基础。

单自由度体系的回顾

对于单自由度保守体系，平衡位置 $q_0$ 满足 $V'(q_0)=0$。将势能在平衡位置附近泰勒展开：

$$\begin{align} V(q) = V(q_0) + \frac{1}{2} V''(q_0) (q - q_0)^2 + \cdots \end{align}$$

若 $V''(q_0) > 0$（稳定平衡），则运动方程为

$$\begin{align} m \ddot{\xi} + k \xi = 0 \end{align}$$

其中 $\xi = q - q_0$，$k = V''(q_0)$。这是简谐振动方程，频率 $\omega = \sqrt{k/m}$。

两自由度体系的微振动

线性化

对于两自由度保守体系，广义坐标为 $q_1, q_2$。设平衡位置在 $q_1=q_2=0$。将动能和势能在平衡位置附近展开：

动能（广义速度的二次齐次函数）：

$$\begin{align} T = \frac{1}{2} m_{11} \dot{q}_1^2 + m_{12} \dot{q}_1 \dot{q}_2 + \frac{1}{2} m_{22} \dot{q}_2^2 \end{align}$$

势能（保留到二阶）：

$$\begin{align} V = V_0 + \frac{1}{2} k_{11} q_1^2 + k_{12} q_1 q_2 + \frac{1}{2} k_{22} q_2^2 \end{align}$$

运动方程

代入拉格朗日方程，得到线性微分方程组：

$$\begin{align} m_{11} \ddot{q}_1 + m_{12} \ddot{q}_2 + k_{11} q_1 + k_{12} q_2 &= 0 \\ m_{21} \ddot{q}_1 + m_{22} \ddot{q}_2 + k_{21} q_1 + k_{22} q_2 &= 0 \end{align}$$

简正频率与简正模式

设简正模解为 $q_1 = A_1 e^{\mathrm{i}\omega t}$，$q_2 = A_2 e^{\mathrm{i}\omega t}$，代入得本征方程：

$$\begin{align} \begin{pmatrix} k_{11} - \omega^2 m_{11} & k_{12} - \omega^2 m_{12} \\ k_{21} - \omega^2 m_{21} & k_{22} - \omega^2 m_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix} = 0 \end{align}$$

系数行列式为零给出久期方程：

$$\begin{align} \det(\boldsymbol{K} - \omega^2 \boldsymbol{M}) = 0 \end{align}$$

解得两个本征频率 $\omega_1$ 和 $\omega_2$（简正频率）。每个频率对应一个振幅比（简正模式）。

例题：两个相同的单摆耦合

两个相同的单摆（摆长 $l$，质量 $m$），用轻弹簧（劲度系数 $k$）在距离悬挂点 $a$ 处耦合。取小角度近似：

$$\begin{align} T &= \frac{1}{2} m l^2 (\dot{\theta}_1^2 + \dot{\theta}_2^2) \\ V &= \frac{1}{2} mgl (\theta_1^2 + \theta_2^2) + \frac{1}{2} k a^2 (\theta_1 - \theta_2)^2 \end{align}$$

简正频率：

$$\begin{align} \omega_1^2 = \frac{g}{l}, \quad \omega_2^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k a^2}{m l^2} \end{align}$$

对应的简正模式：

• $\omega_1$：两摆同相运动（弹簧不变形）
• $\omega_2$：两摆反相运动（弹簧拉伸压缩）

简正坐标

定义

简正坐标是使动能和势能同时对角化的一组广义坐标。在简正坐标下，拉格朗日函数变为

$$\begin{align} L = \frac{1}{2} \sum_{\alpha=1}^s (\dot{Q}_\alpha^2 - \omega_\alpha^2 Q_\alpha^2) \end{align}$$

即系统分解为 $s$ 个独立的简谐振子。

寻找简正坐标的方法

1. 线性代数法：求解广义本征值问题 $\boldsymbol{K} \boldsymbol{a} = \omega^2 \boldsymbol{M} \boldsymbol{a}$
2. 物理直觉法：对于对称系统，可猜测简正坐标（如同相和反相运动）
3. 二次型对角化：将 $T$ 和 $V$ 的二次型同时对角化

简正坐标的物理意义

• 每个简正坐标对应一个独立的振动模式
• 各简正模式之间没有能量交换
• 系统的任意运动可表示为简正模式的线性叠加
• 简正频率与初始条件无关

多自由度体系的一般理论

对于 $s$ 个自由度的保守体系，拉格朗日函数可写为

$$\begin{align} L = \frac{1}{2} \sum_{i,j} m_{ij} \dot{q}_i \dot{q}_j - \frac{1}{2} \sum_{i,j} k_{ij} q_i q_j \end{align}$$

运动方程为

$$\begin{align} \sum_j (m_{ij} \ddot{q}_j + k_{ij} q_j) = 0, \quad i = 1,2,\dots,s \end{align}$$

代入简谐解，得广义本征值问题

$$\begin{align} \sum_j (k_{ij} - \omega^2 m_{ij}) A_j = 0 \end{align}$$

久期方程 $\det(\boldsymbol{K} - \omega^2 \boldsymbol{M}) = 0$ 给出 $s$ 个简正频率。

一维晶格的纵振动

离散模型

考虑一维单原子链，原子间距 $a$，质量 $m$，弹簧劲度系数 $k$。第 $n$ 个原子的运动方程为

$$\begin{align} m \ddot{u}_n = k(u_{n+1} - 2u_n + u_{n-1}) \end{align}$$

设简谐解 $u_n = A e^{\mathrm{i}(qna - \omega t)}$，代入得色散关系：

$$\begin{align} \omega^2 = \frac{4k}{m} \sin^2\left(\frac{qa}{2}\right) \end{align}$$

连续极限

当 $qa \ll 1$ 时，$\omega \approx a\sqrt{k/m} \, q$，声速 $v = a\sqrt{k/m}$。此时离散晶格趋于连续弹性介质。

声子概念

格波量子化后的能量量子称为声子。声子是玻色子，遵循玻色-爱因斯坦统计。

小结

• 多自由度体系在稳定平衡附近的微振动可线性化为简谐振动问题
• 简正频率由广义本征值方程 $\det(\boldsymbol{K} - \omega^2 \boldsymbol{M}) = 0$ 给出
• 简正坐标使系统解耦为独立谐振子
• 一维晶格的色散关系 $\omega^2 = (4k/m)\sin^2(qa/2)$