数学物理方程的定解问题

数学物理方程的导出

波动方程

波动方程的常见形式可以写成

1. 均匀弦的微小横振动

   对应 $a^{2} = F_{T} / \rho$ ，方程为

   $$\begin{align} \rho u_{tt} - F_{T}u_{xx} = 0 \end{align}$$

   即为弦振动方程

   考虑受迫振动的情形，化为

   $$\begin{align} \rho u_{tt} - F_{T}u_{xx} &= F(x,t)\\ \Rightarrow u_{tt} - a^{2}u_{xx} &= f(x,t) \end{align}$$

   就是弦的受迫振动方程

2. 均匀杆的纵振动

   对应 $a^{2} = E / \rho$ ，方程为

   $$\begin{align} \rho u_{tt} - Eu_{xx} = 0 \end{align}$$

   即为杆的纵振动方程

   考虑受迫振动的情形，化为

   $$\begin{align} \rho u_{tt} - Eu_{xx} &= F(x,t)\\ \Rightarrow u_{tt} - a^{2}u_{xx} &= f(x,t) \end{align}$$

   就是杆的受迫振动方程

3. 传输线方程（电报方程）

   1. 非理想传输线

      方程为

      $$\begin{align} LCj_{tt} - j_{xx} + (LG+RC)j_{t} + RGj &= 0\\ LCv_{tt} - v_{xx} + (LG+RC)v_{t} + RGv &= 0 \end{align}$$

   2. 理想传输线

      在导线电阻 $R$ 和线间电导 $G$ 很小以至于可以忽略时，化成理想传输线

      $$\begin{align} j_{tt} - a^{2}j_{xx} &= 0\\ v_{tt} - a^{2}v_{xx} &= 0 \end{align}$$

      其中 $a^{2} = 1 / LC$

   上述四个方程叫做传输线方程（电报方程）

4. 均匀薄膜的微小横振动

   方程

   $$\begin{align} \rho u_{tt} - F_{T}(u_{xx} + u_{yy}) = 0 \end{align}$$

   用拉普拉斯算符简化，即可得到

   $$\begin{align} \rho u_{tt} - F_{T}\Delta_{2}u &= 0\\ u_{tt} - a^{2}\Delta_{2}u &= 0 \end{align}$$

   这就是薄膜微小振动方程

   在受迫振动的情形下

   $$\begin{align} u_{tt} - a^{2}\Delta_{2}u = f(x,y,t) \end{align}$$

   就是薄膜的受迫振动方程

5. 流体力学与声学方程

   对应 $a^{2}=\frac{\gamma p_{0}}{\rho_{0}}$ ，方程为

   $$\begin{align} u_{tt} - a^{2}\Delta_{3}u = 0 \end{align}$$

   就是声波方程，其中 $p_{0}$ 和 $\rho_{0}$ 为空气处于平衡状态下的压强和密度

6. 电磁波方程

   利用麦克斯韦方程组可以推导出

   $$\begin{align} \boldsymbol{E}_{tt} - a^{2}\Delta_{3}\boldsymbol{E} &= 0\\ \boldsymbol{H}_{tt} - a^{2}\Delta_{3}\boldsymbol{H} &= 0 \end{align}$$

   此即为真空中的电磁波方程，其中 $a^{2} = 1 / \mu_{0}\varepsilon_{0} = \text{光速平方}$

7. 杆的微小横振动

   杆在横向变形时，存在切应力，于是杆的横振动方程为

   $$\begin{align} u_{tt} + a^{2}u_{xxxx} = 0\quad(a^{2} = EI / \rho) \end{align}$$

   其中 $E$ 是弹性模量，$I$ 是转动惯量，$\rho$ 是密度

   注意这个方程与前面的振动的常用方程的不同，比如符号、偏导的阶数

输运方程

1. 扩散方程

   扩散直接与物质的浓度有关，方程

   $$\begin{align} u_{t} - \left[\frac{\partial}{\partial x}\left(D\frac{\partial u}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(D\frac{\partial u}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(D\frac{\partial u}{\partial z}\right)\right] = 0 \end{align}$$

   如果扩散系数 $D$ 在空间中是均匀的，则方程可以简化为

   $$\begin{align} u_{t} - a^{2}\Delta_{3}u = 0 \end{align}$$

   而在有源（汇）扩散的情形下，考虑一下情况：

   1. 扩散源强度与浓度无关

      扩散源强度为 $F(x,y,z,t)$ ，则方程为

      $$\begin{align} u_{t} - \left[\frac{\partial}{\partial x}\left(D\frac{\partial u}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(D\frac{\partial u}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(D\frac{\partial u}{\partial z}\right)\right] = F(x,y,z,t) \end{align}$$ $$\begin{align} u_{t} - a^{2}\Delta_{3}u = F(x,y,z,t)\quad(a^{2} = D) \end{align}$$

   2. 扩散源的强度与浓度 $u$ 成正比

      例如 $^{235}\mathrm{U}$ 原子核的链式反应中，中子数增殖的时间变化率为 $b^{2}u$ ，于是一维和三维方程相应变化为

      $$\begin{align} \begin{cases} \begin{aligned} &u_{t} - a^{2}u_{xx} - b^{2}u = 0\\ &u_{t} - a^{2}\Delta_{3}u - b^{2}u = 0 \end{aligned} \end{cases} \end{align}$$

2. 热传导方程

   热传导的起源是温度的不均匀，热传导现象遵循热传导定律，也就是傅里叶定律

   $$\begin{align} \boldsymbol{q} = -k\nabla u \end{align}$$

   比例系数 $k$ 称作热传导系数

   仿照扩散问题，应用热传导定律和能量守恒定律，可以导出热传导方程

   $$\begin{align} c\rho u_{t} - \left[\frac{\partial}{\partial x}(ku_{x}) + \frac{\partial}{\partial y}(ku_{y}) + \frac{\partial}{\partial z}(ku_{z})\right] = 0 \end{align}$$

   其中 $c$ 是比热容，$\rho$ 的密度，对于均匀物体，$k$、$c$、$\rho$ 是常数，上式化为

   $$\begin{align} u_{t} - a^{2}\Delta u=0,\quad\left(a^{2} = \frac{k}{c\rho}\right) \end{align}$$

   • 如果存在热源 $F(x,y,z,t)$ ，方程就可以化为

     $$\begin{align} c\rho u_{t} - \left[\frac{\partial}{\partial x}(ku_{x}) + \frac{\partial}{\partial y}(ku_{y}) + \frac{\partial}{\partial z}(ku_{z})\right] = F(x,y,z,t) \end{align}$$

     对均匀物体

     $$\begin{align} u_{t} - a^{2}\Delta u = f(x,y,z,t),\quad\left(a^{2} = \frac{k}{c\rho}\right) \end{align}$$

稳定场方程

1. 稳定浓度分布

   如果扩散源的强度 $F(x,y,z)$ 不随时间变化，扩散运动最后会达到稳定状态，于是方程 $\text{(22)}$ 就化为

   $$\begin{align} \nabla \cdot (D\nabla u) = -F(x,y,z) \end{align}$$

   如果 $D$ 是常数，就有

   $$\begin{align} D\Delta u = -F(x,y,z) \end{align}$$

   这就是泊松方程，如果没有源，就是拉普拉斯方程

   $$\begin{align} \Delta u = 0 \end{align}$$

   这两个方程就是浓度的稳定分布方程

2. 稳定温度分布

   与浓度分布对应，如果热源温度 $T(x,y,z)$ 不随时间变化，方程 $\text{(28)}$ 就化为

   $$\begin{align} \nabla \cdot (k\nabla u) = -T(x,y,z) \end{align}$$

   如果 $k$ 是常数，就有

   $$\begin{align} k\Delta u = -T(x,y,z) \end{align}$$

   这也是泊松方程，如果没有热源，也会简化为拉普拉斯方程

   $$\begin{align} \Delta u = 0 \end{align}$$

3. 静电场

   静电场的电场强度 $\boldsymbol{E}$ 是无旋的，即

   $$\begin{align} \nabla \times \boldsymbol{E} = 0 \end{align}$$

   于是存在电势函数 $V(x,y,z)$ 使得

   $$\begin{align} \boldsymbol{E} = -\nabla V \end{align}$$

   而电场强度的散度又满足

   $$\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{E} = \frac{1}{\varepsilon_{0}}\rho \end{align}$$

   代入即可得到泊松方程

   $$\begin{align} \Delta V = -\frac{1}{\varepsilon_{0}}\rho \end{align}$$

   在没有电荷分布的区域内，方程简化为拉普拉斯方程

   $$\begin{align} \Delta V = 0 \end{align}$$

4. 恒定电流场

   研究具有恒定电流分布的导电介质，其中的电荷满足连续性方程

   $$\begin{align} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0 \end{align}$$

   在恒定电流的情况下，$\boldsymbol{j}(x,y,z)$ 不随时间变化，$\rho(x,y,z)$ 也不随时间变化，于是

   $$\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0 \end{align}$$

   于是根据麦克斯韦方程组，有

   $$\begin{align} \nabla \times \boldsymbol{E} = 0\\ \Rightarrow\boldsymbol{E} = -\nabla\varphi \end{align}$$

   代入 $\boldsymbol{j} = \sigma\boldsymbol{E}$ 即可得到

   $$\begin{align} \nabla \cdot (\sigma\boldsymbol{E}) = -\nabla \cdot (\sigma\nabla\varphi) = 0 \end{align}$$

   对于均匀导电介质，$\sigma$ 是常量，于是方程简化为

   $$\begin{align} \Delta\varphi = 0 \end{align}$$

   这是拉普拉斯方程

定解条件

（一）初始条件

对于随着时间而发展变化的问题，必须考虑到研究对象的“历史”，即追溯到某个“初始时刻”的状态，也即初始条件

1. 输运过程

   对于输运过程来说，初始状态指的是所研究物理量 $u$ 的初始分布，因此初始条件就是

   $$\begin{align} \left. u(x,y,z,t)\right|_{t = 0} = \varphi(x,y,z) \end{align}$$

2. 振动过程

   对于振动过程，只给出物理量的初始“位置”

   $$\begin{align} \left. u(x,y,z,t)\right|_{t = 0} = \varphi(x,y,z) \end{align}$$

   是不够的，还需要知道初始的“速度”

   $$\begin{align} \left. u_{t}(x,y,z,t)\right|_{t = 0} = \psi(x,y,z) \end{align}$$

   这是由于振动方程中出现了关于时间 $t$ 的二阶导数，所以需要两个初始条件

3. 稳定场问题不存在初始条件问题

（二）边界条件

研究具体的物理系统时，需要考虑研究对象所处的特定环境，这体现在边界上的物理状况，也就是边界条件

1. 线性边界条件

   数学上，可以将常见的线性边界条件分为三类

   1. 第一类边界条件

      直接规定了所研究的物理量在边界上的数值

      $$\begin{align} \left. u(\boldsymbol{r},t)\right|_{\Sigma} = f(M,t) \end{align}$$

   2. 第二类边界条件

      规定了物理量在边界外法线方向上方向导数的数值

      $$\begin{align} \left. \frac{\partial u}{\partial n}\right|_{\Sigma} = f(M,t) \end{align}$$

   3. 第三类边界条件

      规定了物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值

      $$\begin{align} \left. \left(u + H\frac{\partial u}{\partial n}\right)\right|_{\Sigma} = f(M,t) \end{align}$$

2. 非线性边界条件

   比如物体表面按照斯蒂芬定律（与温度的四次方成正比）向四周辐射能量时，就会出现非线性的边界条件

（三）衔接条件

有时候在所研究的区域里面会出现跃变点，此时可以将整体进行分段考虑，并且结合衔接条件进行分析

数理方程的分类

1. 线性二阶偏微分方程

   如果一个二阶偏微分方程可以表示成

   $$\begin{align} \sum_{j = 1}^{n}{\sum_{i = 1}^{n}{a_{ij}u_{x_{i}x_{j}}}} + \sum_{i = 1}^{n}{b_{i}u_{x_{i}}} + cu + f = 0 \end{align}$$

   其中 $x_{i}(i = 1,2,\cdots,n)$ 是所有自变量（包括空间坐标和时间坐标），$a_{ij}$、$b_{i}$、$c$、$f$只是 $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ 的函数，这个方程就称作线性的

   如果 $f = 0$ 方程就是齐次的，否则就是非齐次的

   • 如果泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题看作几个部分的线性叠加，只需要这几个部分的泛定方程和定解条件的线性叠加与之前相同就行，这就是叠加原理

2. 两个自变量的方程

   考虑二元的二阶线性偏微分方程

   $$\begin{align} a_{11}u_{xx} + 2a_{12}u_{xy} + a_{22}u_{yy} + b_{1}u_{x} + b_{2}u_{y} + cu + f = 0 \end{align}$$

   先假定 $a_{11},a_{12},a_{22},b_{1},b_{2},c,f$ 都是实数

   试作自变量的代换

   $$\begin{align} \begin{cases} \begin{aligned} &x = x(\xi, \eta)\\ &y = y(\xi, \eta) \end{aligned} \end{cases} \text{即} \begin{cases} \begin{aligned} &\xi = \xi(x, y)\\ &\eta = \eta(x, y) \end{aligned} \end{cases} \end{align}$$

   代换的雅可比式 $\frac{\partial(\xi, \eta)}{\partial(x, y)} \neq 0$，代换之后的方程

   $$\begin{align} A_{11}u_{\xi\xi} + 2A_{12}u_{\xi\eta} + A_{22}u_{\eta\eta} + B_{1}u_{\xi} + B_{2}u_{\eta} + Cu + F = 0 \end{align}$$

   其中的系数可以推出得到

   $$\begin{align} \begin{cases} \begin{aligned} &A_{11} = a_{11}\xi_{x}^{2} + 2a_{12}\xi_{x}\xi_{y} + a_{22}\xi_{y}^{2}\\ &A_{12} = a_{11}\xi_{x}\eta_{x} + a_{12}(\xi_{x}\eta_{y} + \xi_{y}\eta_{x}) + a_{22}\xi_{y}\eta_{y}\\ &A_{22} = a_{11}\eta_{x}^{2} + 2a_{12}\eta_{x}\eta_{y} + a_{22}\eta_{y}^{2}\\ &B_{1} = a_{11}\xi_{xx} + 2a_{12}\xi_{xy} + a_{22}\xi_{yy} + b_{1}\xi_{x} + b_{2}\xi_{y}\\ &B_{2} = a_{11}\eta_{xx} + 2a_{12}\eta_{xy} + a_{22}\eta_{yy} + b_{1}\eta_{x} + b_{2}\eta_{y}\\ &C = c\\ &F = f \end{aligned} \end{cases} \end{align}$$

   由此可见，如果选取一个满足方程

   $$\begin{align} a_{11}\xi_{x}^{2} + 2a_{12}\xi_{x}\xi_{y} + a_{22}\xi_{y}^{2} = 0 \end{align}$$

   的代换 $\xi$，则就有 $A_{11} = 0$，同理也可以选取合适的 $\eta$ 使得 $A_{22} = 0$，这样方程就可以得到化简

   进一步的，如果把 $\xi(x, y) = \text{常数}$ 当作定义隐函数 $y(x)$ 的方程，则 $\mathrm{d}y / \mathrm{d}x = -\xi_{x} / \xi_{y}$ 从而上述方程就是

   $$\begin{align} a_{11}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^{2} - 2a_{12}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + a_{22} = 0 \end{align}$$

   这就是二阶线性偏微分方程的特征方程，特征方程的一般积分“ $\xi(x, y) = \text{常数}$ ”和“ $\eta(x, y) = \text{常数}$ ”叫做特征线

   特征方程可以分为两个方程

   $$\begin{align} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{a_{12} + \sqrt{a_{12}^{2} - a_{11}a_{22}}}{a_{11}}\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{a_{12} - \sqrt{a_{12}^{2} - a_{11}a_{22}}}{a_{11}} \end{align}$$

   由此可以划分出二元二阶线性偏微分方程 $(54)$ 的类型

   $$\begin{align} \begin{cases} \begin{aligned} &a_{12}^{2} - a_{11}a_{22} > 0,\quad\text{双曲型}\\ &a_{12}^{2} - a_{11}a_{22} = 0,\quad\text{抛物型}\\ &a_{12}^{2} - a_{11}a_{22} < 0,\quad\text{椭圆型} \end{aligned} \end{cases} \end{align}$$

   容易验证

   $$\begin{align} A_{12}^{2}-A_{11}A_{22}=(a_{12}^{2}-a_{11}a_{22})(\xi_{x}\eta_{y}-\xi_{y}\eta_{x})^{2} \end{align}$$

   可见，作自变量的代换时，方程的类型不变