刚体

26 年 5 月 1 日 星期五 (已编辑)
1048 字
6 分钟
物理 理论力学 刚体 角速度 欧拉角 转动惯量张量 欧拉方程 陀螺

刚体的定义与自由度

刚体是一种特殊的质点系，其中任意两质点间的距离保持恒定。刚体模型既考虑物体的质量，又考虑形状和大小，但忽略形变。

刚体位置的确定：只需任意三个不在同一直线上的质点的位置即可确定刚体的位形。

运动类型自由度广义坐标
自由刚体6质心坐标 + 欧拉角
定轴转动1转角 θ\theta
定点转动3欧拉角 (φ,θ,ψ)(\varphi, \theta, \psi)
平面平行运动3(x,y,φ)(x, y, \varphi)

欧拉角

定点转动常用欧拉角作为广义坐标：

  • 进动角 φ\varphi：绕固定轴 z0z_0 的转动
  • 章动角 θ\theta：绕节线（x′x' 轴）的转动
  • 自转角 ψ\psi：绕刚体对称轴 zz 的转动

欧拉角的顺序：先绕 z0z_0 转 φ\varphi，再绕新 x′x' 转 θ\theta，最后绕新 zz 转 ψ\psi。

角速度

无穷小角位移是矢量

有限角位移不满足交换律，但无穷小角位移是矢量。无限小定点转动总可视为定轴转动。

欧拉运动学方程

角速度在随动坐标系中的分量为

ωx=θ˙cos⁡ψ+φ˙sin⁡θsin⁡ψωy=−θ˙sin⁡ψ+φ˙sin⁡θcos⁡ψωz=ψ˙+φ˙cos⁡θ\begin{align} \omega_x &= \dot{\theta} \cos\psi + \dot{\varphi} \sin\theta \sin\psi \\ \omega_y &= -\dot{\theta} \sin\psi + \dot{\varphi} \sin\theta \cos\psi \\ \omega_z &= \dot{\psi} + \dot{\varphi} \cos\theta \end{align}

刚体上任一点的速度和加速度

速度公式（基点法）

设 CC 为刚体上任意基点（通常选质心），PP 为刚体上任一点：

vP=vC+ω×rCP\begin{align} \boldsymbol{v}_P = \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_{CP} \end{align}

加速度公式

aP=aC+α×rCP+ω×(ω×rCP)\begin{align} \boldsymbol{a}_P = \boldsymbol{a}_C + \boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r}_{CP} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_{CP}) \end{align}

关键性质：角速度 ω\boldsymbol{\omega} 与基点的选择无关，是刚体的整体运动学量。

平面平行运动与瞬时转心

在平面平行运动中，每一瞬时存在速度为零的点——瞬时转心。求法：

  • 作两点速度的垂线，交点为瞬时转心
  • 纯滚动时接触点为瞬时转心

转动惯量张量

定义

Iij=∫(r2δij−xixj) dm\begin{align} I_{ij} = \int (r^2 \delta_{ij} - x_i x_j) \,\mathrm{d}m \end{align}

转动惯量张量是对称的二阶张量（Iij=IjiI_{ij} = I_{ji}），在三维空间中有6个独立分量。

惯量主轴

通过选择合适的坐标系，可使三个惯量积同时为零。这样的坐标轴称为惯量主轴。在惯量主轴系中：

I=(I1000I2000I3)\begin{align} I = \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix} \end{align}

寻找惯量主轴的技巧：

  • 均匀刚体的对称轴必为惯量主轴
  • 垂直于均匀刚体对称面的轴也是惯量主轴

角动量与转动动能

角动量：

L=I⋅ω\begin{align} \boldsymbol{L} = \boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{\omega} \end{align}

在惯量主轴系中，Li=IiωiL_i = I_i \omega_i。

转动动能：

T=12ω⋅L=12(I1ω12+I2ω22+I3ω32)\begin{align} T = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{L} = \frac{1}{2} (I_1 \omega_1^2 + I_2 \omega_2^2 + I_3 \omega_3^2) \end{align}

欧拉动力学方程

随动坐标系中的角动量定理

在随动坐标系（固连于刚体）中，角动量定理为

dLdt+ω×L=M\begin{align} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{L} = \boldsymbol{M} \end{align}

欧拉方程

在惯量主轴系中，分量形式为

I1ω˙1+(I3−I2)ω2ω3=M1I2ω˙2+(I1−I3)ω3ω1=M2I3ω˙3+(I2−I1)ω1ω2=M3\begin{align} I_1 \dot{\omega}_1 + (I_3 - I_2) \omega_2 \omega_3 &= M_1 \\ I_2 \dot{\omega}_2 + (I_1 - I_3) \omega_3 \omega_1 &= M_2 \\ I_3 \dot{\omega}_3 + (I_2 - I_1) \omega_1 \omega_2 &= M_3 \end{align}

典型陀螺运动

欧拉陀螺（自由转动）

外力矩为零（M=0\boldsymbol{M}=0）时，角动量大小和动能守恒：

L2=I12ω12+I22ω22+I32ω32=常数T=12(I1ω12+I2ω22+I3ω32)=常数\begin{align} L^2 &= I_1^2 \omega_1^2 + I_2^2 \omega_2^2 + I_3^2 \omega_3^2 = \text{常数} \\ T &= \frac{1}{2} (I_1 \omega_1^2 + I_2 \omega_2^2 + I_3 \omega_3^2) = \text{常数} \end{align}

拉格朗日陀螺

对称陀螺（I1=I2I_1 = I_2）在重力场中绕固定点转动，拉格朗日函数为

L=12I1(θ˙2+φ˙2sin⁡2θ)+12I3(ψ˙+φ˙cos⁡θ)2−Mglcos⁡θ\begin{align} L = \frac{1}{2} I_1 (\dot{\theta}^2 + \dot{\varphi}^2 \sin^2\theta) + \frac{1}{2} I_3 (\dot{\psi} + \dot{\varphi} \cos\theta)^2 - Mgl \cos\theta \end{align}

φ\varphi 和 ψ\psi 是循环坐标，对应的广义动量守恒。

快速陀螺近似

当自转角速度 ψ˙\dot{\psi} 很大时，进动角速度近似为

φ˙≈MglI3ψ˙\begin{align} \dot{\varphi} \approx \frac{Mgl}{I_3 \dot{\psi}} \end{align}

进动角速度与自转角速度成反比。

小结

  • 刚体运动可分解为质心平动和定点转动
  • 欧拉角是描述定点转动的广义坐标
  • 角速度是刚体整体量，与基点无关
  • 欧拉动力学方程是随动坐标系中的角动量定理
  • 快速陀螺的进动角速度与自转角速度成反比
物理理论力学刚体角速度欧拉角转动惯量张量欧拉方程陀螺

·文章标题：刚体

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文系统介绍刚体运动学与动力学，包括刚体的自由度与广义坐标（欧拉角）、角速度矢量、欧拉运动学方程、刚体上任一点的速度和加速度、转动惯量张量、惯量主轴、欧拉动力学方程，以及典型陀螺运动（欧拉陀螺、拉格朗日陀螺、快速陀螺）。

·文章链接：https://www.neowangking.top/posts/physics/theoreticalmechanics/04-rigid-body[点击复制]

·上次修改：

Layer 1

商业转载请联系站长获得授权，非商业转载请注明本文出处及文章链接，您可以自由地在任何媒体以任何形式复制和分发作品，也可以修改和创作，但是分发衍生作品时必须采用相同的许可协议。
本文采用CC BY-NC-SA 4.0进行许可。