非惯性参考系

· 更新于 2026年6月28日· 约 4 分钟· 680 字
物理理论力学
#物理#理论力学#非惯性系#惯性力#科里奥利力#离心力

非惯性系的引入

牛顿第二定律 F=ma\boldsymbol{F} = m\boldsymbol{a} 仅适用于惯性参考系。在非惯性系中，需要引入惯性力（虚拟力）来保持牛顿第二定律的形式。

平动加速参考系

设 SS 为惯性系，S′S' 相对 SS 以加速度 a0\boldsymbol{a}_0 平动。质点 mm 在 S′S' 系中的加速度为 a′\boldsymbol{a}'，在 SS 系中为 a=a′+a0\boldsymbol{a} = \boldsymbol{a}' + \boldsymbol{a}_0。

牛顿第二定律在 SS 系中：m(a′+a0)=Fm(\boldsymbol{a}' + \boldsymbol{a}_0) = \boldsymbol{F}。

在 S′S' 系中写为

ma′=F−ma0\begin{align} m\boldsymbol{a}' = \boldsymbol{F} - m\boldsymbol{a}_0 \end{align}

因此，在平动加速参考系中，除真实力 F\boldsymbol{F} 外，还需引入平移惯性力

F惯=−ma0\begin{align} \boldsymbol{F}_{\text{惯}} = -m\boldsymbol{a}_0 \end{align}

转动参考系

矢量导数的基本公式

设 SS 为惯性系，S′S' 以角速度 ω\boldsymbol{\omega} 相对 SS 转动。任意矢量 A\boldsymbol{A} 在 SS 系中的时间导数与在 S′S' 系中的时间导数关系为

(dAdt)S=(dAdt)S′+ω×A\begin{align} \left( \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{A}}{\mathrm{d}t} \right)_S = \left( \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{A}}{\mathrm{d}t} \right)_{S'} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{A} \end{align}

加速度合成

质点在 S′S' 系中的位置矢量为 r\boldsymbol{r}，速度在 SS 系中为

vS=vS′+ω×r\begin{align} \boldsymbol{v}_S = \boldsymbol{v}_{S'} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} \end{align}

加速度在 SS 系中为

aS=aS′+2ω×vS′+ω×(ω×r)+ω˙×r\begin{align} \boldsymbol{a}_S = \boldsymbol{a}_{S'} + 2\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_{S'} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{r} \end{align}

转动参考系中的惯性力

在转动参考系 S′S' 中，牛顿第二定律写为

maS′=F−2mω×vS′−mω×(ω×r)−mω˙×r\begin{align} m\boldsymbol{a}_{S'} = \boldsymbol{F} - 2m\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_{S'} - m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) - m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{r} \end{align}

各项惯性力为：

  1. 科里奥利力：F科=−2mω×vS′\boldsymbol{F}_{\text{科}} = -2m\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_{S'}

    • 与相对速度垂直，不改变速率，只改变方向
    • 在北半球使运动物体向右偏转

  2. 离心力：F离=−mω×(ω×r)\boldsymbol{F}_{\text{离}} = -m\boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r})

    • 方向垂直于转轴向外，大小 mω2ρm\omega^2 \rho（ρ\rho 为到转轴的垂直距离）

  3. 欧拉力（切向惯性力）：F欧=−mω˙×r\boldsymbol{F}_{\text{欧}} = -m\dot{\boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{r}

    • 当角速度变化时出现

经典应用

傅科摆

傅科摆是证明地球自转的实验装置。在北半球，科里奥利力使摆的振动平面缓慢旋转，旋转角速度为

Ω=ωearthsin⁡λ\begin{align} \Omega = \omega_{\text{earth}} \sin \lambda \end{align}

其中 λ\lambda 是当地纬度。在北极，Ω=ωearth\Omega = \omega_{\text{earth}}，摆平面每天旋转一圈。

落体偏东

在北半球，自由下落的物体会向东偏转。偏转量约为

Δx≈13ωearthcos⁡λ8h3g\begin{align} \Delta x \approx \frac{1}{3} \omega_{\text{earth}} \cos\lambda \sqrt{\frac{8h^3}{g}} \end{align}

其中 hh 是下落高度。

地转风

在大气运动中，气压梯度力与科里奥利力平衡时形成地转风：

vg=−12ρωsin⁡λz^×∇p\begin{align} \boldsymbol{v}_g = -\frac{1}{2\rho \omega \sin\lambda} \hat{\boldsymbol{z}} \times \nabla p \end{align}

小结

  • 平动加速参考系：引入平移惯性力 F惯=−ma0\boldsymbol{F}_{\text{惯}} = -m\boldsymbol{a}_0
  • 转动参考系：引入离心力、科里奥利力、欧拉力
  • 科里奥利力 F科=−2mω×vS′\boldsymbol{F}_{\text{科}} = -2m\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{v}_{S'}，是转动参考系中最具特征性的惯性力
  • 傅科摆、落体偏东等现象是科里奥利力的可观测效应