守恒定律

· 更新于 2026年6月30日· 约 2 分钟· 232 字
物理电动力学
#物理#电动力学#守恒定律#坡印廷定理

电荷守恒

连续性方程：

∂ρ∂t+∇⋅J=0\begin{align} \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{J} = 0 \end{align}

积分形式：dQdt=−∮J⋅da\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = -\oint \boldsymbol{J}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{a}。

能量守恒（坡印廷定理）

能量密度：

u=12(ϵ0E2+1μ0B2)\begin{align} u = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2\right) \end{align}

坡印廷矢量（能流密度）：

S=1μ0E×B\begin{align} \boldsymbol{S} = \frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B} \end{align}

坡印廷定理（局部形式）：

∂u∂t+∇⋅S=−J⋅E\begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{S} = -\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E} \end{align}

积分形式：

ddt∫Vu dτ+∮SS⋅da=−∫VJ⋅E dτ\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_V u\,\mathrm{d}\tau + \oint_S \boldsymbol{S}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{a} = -\int_V \boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}\,\mathrm{d}\tau \end{align}

动量守恒

动量密度：

g=ϵ0E×B=μ0ϵ0S\begin{align} \boldsymbol{g} = \epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B} = \mu_0\epsilon_0\boldsymbol{S} \end{align}

麦克斯韦应力张量：

Tij=ϵ0(EiEj−12δijE2)+1μ0(BiBj−12δijB2)\begin{align} T_{ij} = \epsilon_0\left(E_iE_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}E^2\right) + \frac{1}{\mu_0}\left(B_iB_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}B^2\right) \end{align}

动量守恒（局部形式）：

∂∂t(gmech+gfield)=∇⋅T↔\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{g}_{\text{mech}} + \boldsymbol{g}_{\text{field}}) = \nabla\cdot\overleftrightarrow{\boldsymbol{T}} \end{align}

积分形式：

ddt(pmech+pfield)=∮ST↔⋅da\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\boldsymbol{p}_{\text{mech}} + \boldsymbol{p}_{\text{field}}) = \oint_S \overleftrightarrow{\boldsymbol{T}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{a} \end{align}

其中 pfield=∫Vg dτ\boldsymbol{p}_{\text{field}} = \int_V \boldsymbol{g}\,\mathrm{d}\tau。

角动量守恒

角动量密度：

ℓ=r×g=ϵ0r×(E×B)\begin{align} \boldsymbol{\ell} = \boldsymbol{r}\times\boldsymbol{g} = \epsilon_0\boldsymbol{r}\times(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}) \end{align}

守恒形式类似于动量，但需考虑力矩。

牛顿第三定律

在电动力学中，牛顿第三定律一般不成立，因为场可以携带动量。总动量（机械+场）守恒。