电荷守恒

连续性方程：

$$\begin{align} \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{J} = 0 \end{align}$$

积分形式：$\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = -\oint \boldsymbol{J}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{a}$。

能量守恒（坡印廷定理）

能量密度：

$$\begin{align} u = \frac{1}{2}\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2\right) \end{align}$$

坡印廷矢量（能流密度）：

$$\begin{align} \boldsymbol{S} = \frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B} \end{align}$$

坡印廷定理（局部形式）：

$$\begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{S} = -\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E} \end{align}$$

积分形式：

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_V u\,\mathrm{d}\tau + \oint_S \boldsymbol{S}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{a} = -\int_V \boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}\,\mathrm{d}\tau \end{align}$$

动量守恒

动量密度：

$$\begin{align} \boldsymbol{g} = \epsilon_0\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B} = \mu_0\epsilon_0\boldsymbol{S} \end{align}$$

麦克斯韦应力张量：

$$\begin{align} T_{ij} = \epsilon_0\left(E_iE_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}E^2\right) + \frac{1}{\mu_0}\left(B_iB_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}B^2\right) \end{align}$$

动量守恒（局部形式）：

$$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}(\boldsymbol{g}_{\text{mech}} + \boldsymbol{g}_{\text{field}}) = \nabla\cdot\overleftrightarrow{\boldsymbol{T}} \end{align}$$

积分形式：

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\boldsymbol{p}_{\text{mech}} + \boldsymbol{p}_{\text{field}}) = \oint_S \overleftrightarrow{\boldsymbol{T}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{a} \end{align}$$

其中 $\boldsymbol{p}_{\text{field}} = \int_V \boldsymbol{g}\,\mathrm{d}\tau$。

角动量守恒

角动量密度：

$$\begin{align} \boldsymbol{\ell} = \boldsymbol{r}\times\boldsymbol{g} = \epsilon_0\boldsymbol{r}\times(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}) \end{align}$$

守恒形式类似于动量，但需考虑力矩。

牛顿第三定律

在电动力学中，牛顿第三定律一般不成立，因为场可以携带动量。总动量（机械+场）守恒。