电磁波

26 年 5 月 30 日 星期六 (已编辑)
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物理 电动力学 电磁波 平面波 反射折射 导体 等离子体 色散 波导

一维波动方程

一维波动方程为

∂2f∂z2=1v2∂2f∂t2\begin{align} \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \end{align}

通解为 f(z,t)=g(z±vt)f(z,t) = g(z \pm vt)，代表沿 zz 方向传播的行波。正弦波形式为

f(z,t)=Acos⁡(kz−ωt+δ)\begin{align} f(z,t) = A \cos(kz - \omega t + \delta) \end{align}

其中 vv 为相速度，k=2π/λk = 2\pi/\lambda 为波数，ω=2π/T\omega = 2\pi/T 为角频率，δ\delta 为初相位。复数表示 f~=A~ei(kz−ωt)\tilde{f} = \tilde{A} e^{\mathrm{i}(kz - \omega t)} 可简化运算。

真空中的波动方程

真空中 ρ=0\rho = 0，J=0\boldsymbol{J} = 0，麦克斯韦方程组为

∇⋅E=0∇×E=−∂B∂t∇⋅B=0∇×B=μ0ϵ0∂E∂t\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{E} &= 0 \\ \nabla \times \boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0 \\ \nabla \times \boldsymbol{B} &= \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \end{align}

对 ∇×E\nabla \times \boldsymbol{E} 取旋度并利用 ∇×∇×E=∇(∇⋅E)−∇2E\nabla \times \nabla \times \boldsymbol{E} = \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{E}) - \nabla^2 \boldsymbol{E}，可得

∇2E=1c2∂2E∂t2,∇2B=1c2∂2B∂t2\begin{align} \nabla^2 \boldsymbol{E} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2}, \quad \nabla^2 \boldsymbol{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \boldsymbol{B}}{\partial t^2} \end{align}

其中 c=1/μ0ϵ0c = 1/\sqrt{\mu_0 \epsilon_0} 为真空中的光速。

单色平面波

平面波解具有形式

E(z,t)=E~0ei(kz−ωt),B(z,t)=B~0ei(kz−ωt)\begin{align} \boldsymbol{E}(z,t) = \tilde{\boldsymbol{E}}_0 e^{\mathrm{i}(kz - \omega t)}, \quad \boldsymbol{B}(z,t) = \tilde{\boldsymbol{B}}_0 e^{\mathrm{i}(kz - \omega t)} \end{align}

由 ∇⋅E=0\nabla \cdot \boldsymbol{E}=0 和 ∇⋅B=0\nabla \cdot \boldsymbol{B}=0 可得 (E~0)z=0(\tilde{\boldsymbol{E}}_0)_z = 0，(B~0)z=0(\tilde{\boldsymbol{B}}_0)_z = 0，即电磁波是横波。进一步由法拉第定律可得 B\boldsymbol{B} 与 E\boldsymbol{E} 的关系：

B~=1ck^×E~\begin{align} \tilde{\boldsymbol{B}} = \frac{1}{c} \hat{\boldsymbol{k}} \times \tilde{\boldsymbol{E}} \end{align}

若 E\boldsymbol{E} 沿 xx 方向，则 B\boldsymbol{B} 沿 yy 方向：

E(z,t)=E0cos⁡(kz−ωt+δ) x^,B(z,t)=E0ccos⁡(kz−ωt+δ) y^\begin{align} \boldsymbol{E}(z,t) = E_0 \cos(kz - \omega t + \delta)\,\hat{\boldsymbol{x}}, \quad \boldsymbol{B}(z,t) = \frac{E_0}{c} \cos(kz - \omega t + \delta)\,\hat{\boldsymbol{y}} \end{align}

偏振

对于沿 zz 方向传播的平面波，电场可在 xyxy 平面内任意方向振动，由偏振矢量 n^\hat{\boldsymbol{n}} 描述：

E~(r,t)=E~0ei(k⋅r−ωt)n^,n^⋅k^=0\begin{align} \tilde{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{r},t) = \tilde{E}_0 e^{\mathrm{i}(\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r} - \omega t)} \hat{\boldsymbol{n}}, \quad \hat{\boldsymbol{n}} \cdot \hat{\boldsymbol{k}} = 0 \end{align}

能量与动量

电磁场的能量密度、能流密度（坡印廷矢量）和动量密度分别为

uem=12ϵ0E2+12μ0B2=ϵ0E2S=1μ0E×B=cuemz^pem=ϵ0E×B=uemcz^\begin{align} u_{\text{em}} &= \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2 = \epsilon_0 E^2 \\ \boldsymbol{S} &= \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B} = c u_{\text{em}} \hat{\boldsymbol{z}} \\ \boldsymbol{p}_{\text{em}} &= \epsilon_0 \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B} = \frac{u_{\text{em}}}{c} \hat{\boldsymbol{z}} \end{align}

对时间平均后，平均能量密度和强度（平均能流密度）为

⟨uem⟩=12ϵ0E02,I=⟨S⟩=12cϵ0E02\begin{align} \langle u_{\text{em}} \rangle = \frac{1}{2}\epsilon_0 E_0^2, \quad I = \langle S \rangle = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2 \end{align}

介质中的电磁波

对于均匀线性介质（无自由电荷和自由电流），麦克斯韦方程组为

∇⋅E=0∇×E=−∂B∂t∇⋅B=0∇×B=μϵ∂E∂t\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{E} &= 0 \\ \nabla \times \boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0 \\ \nabla \times \boldsymbol{B} &= \mu\epsilon \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t} \end{align}

由此可得波动方程

∇2E=1v2∂2E∂t2,v=cn,n=μϵμ0ϵ0\begin{align} \nabla^2 \boldsymbol{E} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 \boldsymbol{E}}{\partial t^2}, \quad v = \frac{c}{n}, \quad n = \sqrt{\frac{\mu\epsilon}{\mu_0\epsilon_0}} \end{align}

其中 vv 为介质中的相速度，nn 为折射率。通常介质无磁性（μ≈μ0\mu \approx \mu_0），故 n≈ϵ/ϵ0n \approx \sqrt{\epsilon/\epsilon_0}。

垂直入射的反射与透射

考虑平面波从介质 1（n1n_1）垂直入射到介质 2（n2n_2），界面位于 z=0z=0。入射波、反射波和透射波的电场为

E~I=E~0Iei(k1z−ωt) x^E~R=E~0Rei(−k1z−ωt) x^E~T=E~0Tei(k2z−ωt) x^\begin{align} \tilde{E}_I &= \tilde{E}_{0I} e^{\mathrm{i}(k_1z - \omega t)}\,\hat{\boldsymbol{x}} \\ \tilde{E}_R &= \tilde{E}_{0R} e^{\mathrm{i}(-k_1z - \omega t)}\,\hat{\boldsymbol{x}} \\ \tilde{E}_T &= \tilde{E}_{0T} e^{\mathrm{i}(k_2z - \omega t)}\,\hat{\boldsymbol{x}} \end{align}

相应的磁场由 B~=(1/v)k^×E~\tilde{\boldsymbol{B}} = (1/v) \hat{\boldsymbol{k}} \times \tilde{\boldsymbol{E}} 给出。利用边界条件（电场切向连续，磁场切向连续）可得振幅关系

E~0R=1−β1+β E~0I,E~0T=21+β E~0I,β≡μ1v1μ2v2≈n2n1\begin{align} \tilde{E}_{0R} = \frac{1-\beta}{1+\beta}\,\tilde{E}_{0I}, \quad \tilde{E}_{0T} = \frac{2}{1+\beta}\,\tilde{E}_{0I}, \quad \beta \equiv \frac{\mu_1 v_1}{\mu_2 v_2} \approx \frac{n_2}{n_1} \end{align}

反射系数 RR 和透射系数 TT 定义为能流之比：

R=(E0RE0I)2=(1−β1+β)2,T=β(21+β)2,R+T=1\begin{align} R = \left(\frac{E_{0R}}{E_{0I}}\right)^2 = \left(\frac{1-\beta}{1+\beta}\right)^2, \quad T = \beta\left(\frac{2}{1+\beta}\right)^2, \quad R+T=1 \end{align}

斜入射：反射与折射定律

设入射角为 θI\theta_I，反射角 θR\theta_R，折射角 θT\theta_T。由相位匹配条件（界面处相位相等）可得

θR=θI,sin⁡θTsin⁡θI=n1n2(斯涅耳定律)\begin{align} \theta_R = \theta_I, \quad \frac{\sin\theta_T}{\sin\theta_I} = \frac{n_1}{n_2} \quad (\text{斯涅耳定律}) \end{align}

菲涅尔公式（电场平行于入射面）

对于偏振方向平行于入射面的情况，定义

α≡cos⁡θTcos⁡θI=1−[(n1/n2)sin⁡θI]2cos⁡θI,β≡μ1n2μ2n1\begin{align} \alpha \equiv \frac{\cos\theta_T}{\cos\theta_I} = \frac{\sqrt{1-[(n_1/n_2)\sin\theta_I]^2}}{\cos\theta_I}, \quad \beta \equiv \frac{\mu_1 n_2}{\mu_2 n_1} \end{align}

振幅满足

E~0I−E~0R=βE~0T,E~0I+E~0R=αE~0T\begin{align} \tilde{E}_{0I} - \tilde{E}_{0R} = \beta \tilde{E}_{0T}, \quad \tilde{E}_{0I} + \tilde{E}_{0R} = \alpha \tilde{E}_{0T} \end{align}

解得

E~0R=α−βα+β E~0I,E~0T=2α+β E~0I\begin{align} \tilde{E}_{0R} = \frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}\,\tilde{E}_{0I}, \quad \tilde{E}_{0T} = \frac{2}{\alpha+\beta}\,\tilde{E}_{0I} \end{align}

反射系数和透射系数为

R=(α−βα+β)2,T=αβ(2α+β)2,R+T=1\begin{align} R = \left(\frac{\alpha-\beta}{\alpha+\beta}\right)^2, \quad T = \alpha\beta\left(\frac{2}{\alpha+\beta}\right)^2, \quad R+T=1 \end{align}

布儒斯特角

当 α=β\alpha = \beta 时，E~0R=0\tilde{E}_{0R}=0，即反射波消失。此时对应的入射角称为布儒斯特角 θB\theta_B。对于非磁性介质（μ1≈μ2\mu_1\approx\mu_2），有

tan⁡θB≈n2n1\begin{align} \tan\theta_B \approx \frac{n_2}{n_1} \end{align}

此时反射光完全偏振化（偏振方向垂直于入射面）。

导体中的电磁波

对于线性、各向同性导体，欧姆定律 Jf=σE\boldsymbol{J}_f = \sigma \boldsymbol{E} 成立。引入复介电常数 ϵ~=ϵ+iσ/ω\tilde{\epsilon} = \epsilon + \mathrm{i}\sigma/\omega，则安培定律写为 ∇×B=μϵ~ ∂E/∂t\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu\tilde{\epsilon}\,\partial\boldsymbol{E}/\partial t。波动方程给出复波数

k~2=μϵ~ ω2\begin{align} \tilde{k}^2 = \mu\tilde{\epsilon}\,\omega^2 \end{align}

对于良导体（σ≫ϵω\sigma \gg \epsilon\omega），有

k~≈σμω2 (1+i)\begin{align} \tilde{k} \approx \sqrt{\frac{\sigma\mu\omega}{2}}\,(1+\mathrm{i}) \end{align}

电场解为

E~(z,t)=E~0e−κzei(kz−ωt),k=κ=σμω2\begin{align} \tilde{E}(z,t) = \tilde{E}_0 e^{-\kappa z} e^{\mathrm{i}(kz - \omega t)}, \quad k = \kappa = \sqrt{\frac{\sigma\mu\omega}{2}} \end{align}

趋肤深度 dd 定义为场强衰减到表面值的 1/e1/e 所需的距离：

d=1κ=2σμω\begin{align} d = \frac{1}{\kappa} = \sqrt{\frac{2}{\sigma\mu\omega}} \end{align}

对于理想导体（σ→∞\sigma \to \infty），反射系数 R→1R \to 1，发生全反射，且反射波相位改变 π\pi。

等离子体中的电磁波

考虑冷均匀等离子体，无背景磁场，离子静止。电子运动方程为

me∂ve∂t=qeE−meνve\begin{align} m_e \frac{\partial \boldsymbol{v}_e}{\partial t} = q_e \boldsymbol{E} - m_e \nu \boldsymbol{v}_e \end{align}

设 E=E0ei(kz−ωt)\boldsymbol{E} = \boldsymbol{E}_0 e^{\mathrm{i}(kz-\omega t)}，解得电导率

σ=qe2neme(ν−iω)\begin{align} \sigma = \frac{q_e^2 n_e}{m_e(\nu - \mathrm{i}\omega)} \end{align}

等效介电常数为

ϵ~=ϵ0+iσω=ϵ0(1−ωp2ω2(1+iν/ω))\begin{align} \tilde{\epsilon} = \epsilon_0 + \frac{\mathrm{i}\sigma}{\omega} = \epsilon_0\left(1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2(1 + \mathrm{i}\nu/\omega)}\right) \end{align}

其中等离子体频率定义为 ωp2=qe2ne/(meϵ0)\omega_p^2 = q_e^2 n_e / (m_e \epsilon_0)。忽略碰撞时，ϵ~=ϵ0(1−ωp2/ω2)\tilde{\epsilon} = \epsilon_0(1 - \omega_p^2/\omega^2)，色散关系为

ω2=ωp2+k2c2\begin{align} \omega^2 = \omega_p^2 + k^2 c^2 \end{align}

电磁波只能在 ω>ωp\omega > \omega_p 时传播。相速度和群速度分别为

vp=ωk=ωp2k2+c2>c,vg=dωdk=c1−ωp2ω2<c\begin{align} v_p = \frac{\omega}{k} = \sqrt{\frac{\omega_p^2}{k^2} + c^2} > c, \quad v_g = \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = c\sqrt{1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}} < c \end{align}

当 ϵ~=0\tilde{\epsilon}=0 时，存在静电振荡解 ω=ωp\omega = \omega_p，称为等离子体振荡，无色散，群速度为零。

介质的频率响应与色散

将介质中的电子视为受迫阻尼振子，运动方程为

x¨+γx˙+ω02x=qmE0cos⁡(ωt)\begin{align} \ddot{x} + \gamma\dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{q}{m}E_0\cos(\omega t) \end{align}

复数振幅 x~0=(q/m)E0/(ω02−ω2−iγω)\tilde{x}_0 = (q/m)E_0 / (\omega_0^2 - \omega^2 - \mathrm{i}\gamma\omega)，偶极矩 p~=qx~\tilde{p} = q\tilde{x}。设单位体积内有 NN 个分子，每个分子有 fjf_j 个频率为 ωj\omega_j、阻尼为 γj\gamma_j 的电子，极化强度为

P~=Nq2m(∑jfjωj2−ω2−iγjω)E~\begin{align} \tilde{\boldsymbol{P}} = \frac{Nq^2}{m}\left(\sum_j \frac{f_j}{\omega_j^2 - \omega^2 - \mathrm{i}\gamma_j\omega}\right) \tilde{\boldsymbol{E}} \end{align}

复相对介电常数为

ϵ~r=1+Nq2mϵ0∑jfjωj2−ω2−iγjω\begin{align} \tilde{\epsilon}_r = 1 + \frac{Nq^2}{m\epsilon_0} \sum_j \frac{f_j}{\omega_j^2 - \omega^2 - \mathrm{i}\gamma_j\omega} \end{align}

折射率 nn 和吸收系数 α\alpha 可由 k~=ωcϵ~r\tilde{k} = \frac{\omega}{c}\sqrt{\tilde{\epsilon}_r} 导出。远离共振时，柯西公式给出

n=1+A(1+Bλ2)\begin{align} n = 1 + A\left(1 + \frac{B}{\lambda^2}\right) \end{align}

波导

矩形波导（a×ba \times b）内，TE 模（Ez=0E_z=0）和 TM 模（Bz=0B_z=0）满足亥姆霍兹方程。TE 模的纵向磁场为

Bz(x,y)=B0cos⁡(mπxa)cos⁡(nπyb),m,n=0,1,2,…（不同时为0）\begin{align} B_z(x,y) = B_0 \cos\left(\frac{m\pi x}{a}\right) \cos\left(\frac{n\pi y}{b}\right), \quad m,n = 0,1,2,\dots \text{（不同时为0）} \end{align}

色散关系为

k=1cω2−ωmn2,ωmn=cπ(m/a)2+(n/b)2\begin{align} k = \frac{1}{c}\sqrt{\omega^2 - \omega_{mn}^2}, \quad \omega_{mn} = c\pi\sqrt{(m/a)^2 + (n/b)^2} \end{align}

截止频率 ωmn\omega_{mn} 以下波不能传播。相速度 vp=c/1−(ωmn/ω)2>cv_p = c/\sqrt{1-(\omega_{mn}/\omega)^2} > c，群速度 vg=c1−(ωmn/ω)2<cv_g = c\sqrt{1-(\omega_{mn}/\omega)^2} < c。TEM 模（Ez=Bz=0E_z=B_z=0）不能在空心波导中存在，但可在同轴线中传播。

同轴线中的 TEM 波为

E(s,ϕ,z,t)=Acos⁡(kz−ωt)s s^,B(s,ϕ,z,t)=Acos⁡(kz−ωt)cs ϕ^\begin{align} \boldsymbol{E}(s,\phi,z,t) = \frac{A\cos(kz - \omega t)}{s}\,\hat{\boldsymbol{s}}, \quad \boldsymbol{B}(s,\phi,z,t) = \frac{A\cos(kz - \omega t)}{cs}\,\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align}
物理电动力学电磁波平面波反射折射导体等离子体色散波导

·文章标题：电磁波

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文系统介绍电磁波的基本理论，包括真空与介质中的波动方程、单色平面波的性质、能量动量、反射折射定律、菲涅尔公式、布儒斯特角、导体中的趋肤效应、等离子体中的色散与振荡、介质的频率响应（洛伦兹模型、复介电常数、吸收、柯西公式），以及矩形波导与同轴线的导波模式。

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