变分法与最小作用量原理

26 年 5 月 30 日 星期六 (已编辑)
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物理 理论力学 变分法 欧拉-拉格朗日方程 最小作用量原理 最速落径

泛函与变分

函数与泛函

函数是从数到数的映射。泛函是从函数到数的映射。例如，曲线长度 J[y]=∫ab1+(y′)2 dxJ[y] = \int_a^b \sqrt{1 + (y')^2} \,\mathrm{d}x 是一个泛函，它把函数 y(x)y(x) 映射为一个实数（长度）。

变分

变分 δJ\delta J 是泛函 J[y]J[y] 对宗量函数 y(x)y(x) 的微小改变所产生的变化，类似于函数的微分。变分算符 δ\delta 与微分算符 d\mathrm{d} 有如下关系：

  • δx=0\delta x = 0（自变量不变）
  • δ\delta 与 d\mathrm{d} 可交换：δ(dy)=d(δy)\delta(\mathrm{d}y) = \mathrm{d}(\delta y)
  • δ\delta 与 ddx\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} 可交换：δ(dydx)=ddx(δy)\delta\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\delta y)

欧拉-拉格朗日方程

最速落径问题的启发

最速落径问题：求从 AA 到 BB 的曲线，使质点在重力作用下无摩擦滑落所需时间最短。时间泛函为

J[y]=∫xAxB1+(y′)22gy dx\begin{align} J[y] = \int_{x_A}^{x_B} \frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{2g y}} \,\mathrm{d}x \end{align}

求使 JJ 取极值的函数 y(x)y(x)。

泛函极值的必要条件

考虑泛函 J[y]=∫x1x2F(x,y,y′) dxJ[y] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y, y') \,\mathrm{d}x，其中端点固定：y(x1)=y1y(x_1)=y_1，y(x2)=y2y(x_2)=y_2。设 y(x)y(x) 是极值曲线，y(x)+δy(x)y(x) + \delta y(x) 是邻近曲线，且 δy(x1)=δy(x2)=0\delta y(x_1)=\delta y(x_2)=0。则 JJ 的一阶变分为

δJ=∫x1x2(∂F∂yδy+∂F∂y′δy′)dx\begin{align} \delta J = \int_{x_1}^{x_2} \left( \frac{\partial F}{\partial y} \delta y + \frac{\partial F}{\partial y'} \delta y' \right) \mathrm{d}x \end{align}

利用分部积分和端点条件，得

δJ=∫x1x2(∂F∂y−ddx∂F∂y′)δy dx\begin{align} \delta J = \int_{x_1}^{x_2} \left( \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} \right) \delta y \,\mathrm{d}x \end{align}

极值条件 δJ=0\delta J = 0 对任意 δy\delta y 成立，故被积函数必须为零：

∂F∂y−ddx∂F∂y′=0\begin{align} \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0 \end{align}

这就是欧拉-拉格朗日方程（变分法中的基本方程），与分析力学中的拉格朗日方程形式一致。

欧拉-拉格朗日方程的特例

若 FF 不显含 yy（∂F/∂y=0\partial F/\partial y = 0），则方程有首次积分：

∂F∂y′=常数\begin{align} \frac{\partial F}{\partial y'} = \text{常数} \end{align}

若 FF 不显含 xx（∂F/∂x=0\partial F/\partial x = 0），则存在守恒量

F−y′∂F∂y′=常数\begin{align} F - y' \frac{\partial F}{\partial y'} = \text{常数} \end{align}

经典变分问题

最速落径

取 F(y,y′)=1+(y′)2yF(y,y') = \frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{y}}（忽略常数因子）。FF 不显含 xx，由守恒形式得

1+(y′)2y−y′⋅y′y1+(y′)2=常数\begin{align} \frac{\sqrt{1+(y')^2}}{\sqrt{y}} - y' \cdot \frac{y'}{\sqrt{y}\sqrt{1+(y')^2}} = \text{常数} \end{align}

化简得 y(1+(y′)2)=常数y(1+(y')^2) = \text{常数}。引入参数 θ\theta，令 y′=cot⁡(θ/2)y' = \cot(\theta/2)，可解得

x=a(θ−sin⁡θ),y=a(1−cos⁡θ)\begin{align} x = a(\theta - \sin\theta), \quad y = a(1 - \cos\theta) \end{align}

这是一条摆线（旋轮线）。最速落径是摆线，而非圆弧（伽利略曾误认为是圆弧）。

悬链线

两端固定、受重力作用的均匀软链，平衡时势能最小。势能泛函为

J[y]=∫ρgy1+(y′)2 dx\begin{align} J[y] = \int \rho g y \sqrt{1+(y')^2} \,\mathrm{d}x \end{align}

F=y1+(y′)2F = y\sqrt{1+(y')^2} 不显含 xx，由守恒形式得

y1+(y′)2−y′⋅yy′1+(y′)2=常数\begin{align} y\sqrt{1+(y')^2} - y' \cdot \frac{y y'}{\sqrt{1+(y')^2}} = \text{常数} \end{align}

化简得 y/1+(y′)2=常数y/\sqrt{1+(y')^2} = \text{常数}，解为双曲余弦函数

y=ccosh⁡(x−x0c)\begin{align} y = c \cosh\left(\frac{x - x_0}{c}\right) \end{align}

这就是悬链线。

最小作用量原理

哈密顿原理

在经典力学中，哈密顿原理（最小作用量原理的现代形式）指出：保守体系的真实运动路径使作用量泛函取极值（通常是极小值）。作用量定义为

S=∫t1t2L(q,q˙,t) dt\begin{align} S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \,\mathrm{d}t \end{align}

由变分原理 δS=0\delta S = 0 可导出拉格朗日方程。因此，拉格朗日方程是哈密顿原理的直接推论。

莫佩尔蒂原理

对于能量守恒的体系，可定义约化作用量 ∫p⋅dq\int \boldsymbol{p} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{q}，真实路径使其取极值。这是几何光学中费马原理在力学中的类比。

变分法的应用

  • 最短路径问题（测地线）
  • 等时曲线（摆线）
  • 光学中的费马原理（光程极值）
  • 弹性力学中的最小势能原理
  • 场论中的作用量原理（如电磁场、广义相对论）

小结

  • 变分法是求泛函极值的数学方法，核心是欧拉-拉格朗日方程
  • 最速落径的解是摆线，悬链线的解是双曲余弦
  • 最小作用量原理是力学的基本原理，可导出拉格朗日方程
  • 变分法广泛应用于物理学的各个分支，是理论物理的重要工具 [file content end]
物理理论力学变分法欧拉-拉格朗日方程最小作用量原理最速落径

·文章标题：变分法与最小作用量原理

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文介绍变分法的基本概念，包括泛函、变分算符、欧拉-拉格朗日方程的推导，以及物理学中的最小作用量原理。通过最速落径和悬链线等经典问题展示变分法的应用。

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