哈密顿正则方程

26 年 5 月 30 日 星期六 (已编辑)
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物理 理论力学 哈密顿力学 正则方程 相空间 刘维尔定理

从拉格朗日到哈密顿

广义动量与哈密顿函数

对于保守体系，定义广义动量（正则动量）

pα=∂L∂q˙α\begin{align} p_\alpha = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} \end{align}

哈密顿函数 H(q,p,t)H(q,p,t) 定义为

H=∑α=1spαq˙α−L\begin{align} H = \sum_{\alpha=1}^s p_\alpha \dot{q}_\alpha - L \end{align}

HH 是 (qα,pα,t)(q_\alpha, p_\alpha, t) 的函数，而拉格朗日函数 LL 是 (qα,q˙α,t)(q_\alpha, \dot{q}_\alpha, t) 的函数。两者之间通过勒让德变换相联系。

哈密顿函数与能量的关系

当约束稳定且势能与速度无关时，TT 是 q˙\dot{q} 的二次齐次函数，有

∑αpαq˙α=2T\begin{align} \sum_\alpha p_\alpha \dot{q}_\alpha = 2T \end{align}

因此 H=2T−(T−V)=T+VH = 2T - (T-V) = T + V，即系统的机械能。若这些条件不满足，HH 是广义能量，不一定等于机械能。

哈密顿正则方程

正则方程的推导

对 H=∑pαq˙α−LH = \sum p_\alpha \dot{q}_\alpha - L 求微分：

dH=∑α(q˙αdpα+pαdq˙α−∂L∂qαdqα−∂L∂q˙αdq˙α)−∂L∂tdt\begin{align} \mathrm{d}H = \sum_\alpha \left( \dot{q}_\alpha \mathrm{d}p_\alpha + p_\alpha \mathrm{d}\dot{q}_\alpha - \frac{\partial L}{\partial q_\alpha} \mathrm{d}q_\alpha - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} \mathrm{d}\dot{q}_\alpha \right) - \frac{\partial L}{\partial t} \mathrm{d}t \end{align}

利用 pα=∂L/∂q˙αp_\alpha = \partial L / \partial \dot{q}_\alpha 和拉格朗日方程 p˙α=∂L/∂qα\dot{p}_\alpha = \partial L / \partial q_\alpha，消去 dq˙α\mathrm{d}\dot{q}_\alpha 项，得

dH=∑α(q˙αdpα−p˙αdqα)−∂L∂tdt\begin{align} \mathrm{d}H = \sum_\alpha \left( \dot{q}_\alpha \mathrm{d}p_\alpha - \dot{p}_\alpha \mathrm{d}q_\alpha \right) - \frac{\partial L}{\partial t} \mathrm{d}t \end{align}

另一方面，HH 作为 (q,p,t)(q,p,t) 的函数，其全微分为

dH=∑α(∂H∂qαdqα+∂H∂pαdpα)+∂H∂tdt\begin{align} \mathrm{d}H = \sum_\alpha \left( \frac{\partial H}{\partial q_\alpha} \mathrm{d}q_\alpha + \frac{\partial H}{\partial p_\alpha} \mathrm{d}p_\alpha \right) + \frac{\partial H}{\partial t} \mathrm{d}t \end{align}

比较两式，得哈密顿正则方程：

q˙α=∂H∂pα,p˙α=−∂H∂qα,α=1,2,…,s\begin{align} \dot{q}_\alpha = \frac{\partial H}{\partial p_\alpha}, \quad \dot{p}_\alpha = -\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}, \quad \alpha = 1,2,\dots,s \end{align}

以及 ∂H∂t=−∂L∂t\dfrac{\partial H}{\partial t} = -\dfrac{\partial L}{\partial t}。

正则方程的特点

  • 将拉格朗日的 ss 个二阶微分方程转化为 2s2s 个一阶微分方程
  • qq 和 pp 被视为独立的变量（相空间坐标）
  • 方程形式高度对称，便于理论分析和数值计算
  • 适用于所有理想、完整体系，包括非保守体系（若广义力可写出）

相空间

定义

相空间是由所有广义坐标 qαq_\alpha 和广义动量 pαp_\alpha 张成的 2s2s 维空间。系统在任意时刻的状态对应相空间中的一个点。

相轨迹

随着时间演化，相点沿相空间中的一条曲线运动，称为相轨迹或相轨道。正则方程决定了相轨迹的方向。

重要性质：若哈密顿函数 HH 不显含时间（H=H(q,p)H = H(q,p)），则相轨迹绝不会相交。因为若两条轨迹在某点相交，则从该点出发的演化由正则方程唯一确定，两条轨迹必定重合。若 HH 显含时间，则相轨迹可以相交。

相空间例子：一维谐振子

一维谐振子的哈密顿函数 H=p22m+12mω2q2H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2。相轨迹是椭圆：

p22mE+q22E/(mω2)=1\begin{align} \frac{p^2}{2mE} + \frac{q^2}{2E/(m\omega^2)} = 1 \end{align}

不同能量对应不同椭圆，互不相交。运动方向：上半平面 p>0p>0 时 qq 增加，下半平面 p<0p<0 时 qq 减小。

刘维尔定理

刘维尔定理：在哈密顿正则方程支配下，相空间中的“体积元”在演化过程中保持不变。即，若取一组初始相点构成区域 D(0)\mathcal{D}(0)，经过时间 tt 后，这些点演化到区域 D(t)\mathcal{D}(t)，则两个区域的体积相等：

∫D(t)dq1⋯dqsdp1⋯dps=∫D(0)dq1⋯dqsdp1⋯dps\begin{align} \int_{\mathcal{D}(t)} \mathrm{d}q_1 \cdots \mathrm{d}q_s \mathrm{d}p_1 \cdots \mathrm{d}p_s = \int_{\mathcal{D}(0)} \mathrm{d}q_1 \cdots \mathrm{d}q_s \mathrm{d}p_1 \cdots \mathrm{d}p_s \end{align}

证明概要：考虑相空间中的“相流体”，其散度为

∇⋅v=∑α(∂q˙α∂qα+∂p˙α∂pα)=∑α(∂2H∂qα∂pα−∂2H∂pα∂qα)=0\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{v} = \sum_\alpha \left( \frac{\partial \dot{q}_\alpha}{\partial q_\alpha} + \frac{\partial \dot{p}_\alpha}{\partial p_\alpha} \right) = \sum_\alpha \left( \frac{\partial^2 H}{\partial q_\alpha \partial p_\alpha} - \frac{\partial^2 H}{\partial p_\alpha \partial q_\alpha} \right) = 0 \end{align}

因此相流体不可压缩，体积不变。刘维尔定理是统计力学的基础之一。

哈密顿力学的优势

  • 相空间描述提供了几何直观（系统状态 = 一点，演化 = 轨迹）
  • 正则方程对称形式便于寻找守恒量（泊松括号理论）
  • 为量子力学（海森堡绘景）和统计力学（刘维尔方程）提供了直接类比
  • 适用于处理约束系统（狄拉克括号）

小结

  • 哈密顿函数 H=∑pαq˙α−LH = \sum p_\alpha \dot{q}_\alpha - L，正则方程 q˙α=∂H/∂pα\dot{q}_\alpha = \partial H / \partial p_\alpha，p˙α=−∂H/∂qα\dot{p}_\alpha = -\partial H / \partial q_\alpha
  • 相空间由 (q,p)(q,p) 构成，维数为 2s2s
  • 若 HH 不显含时间，相轨迹不相交
  • 刘维尔定理：相体积在演化中不变
  • 哈密顿力学是经典力学到量子力学和统计力学的桥梁
物理理论力学哈密顿力学正则方程相空间刘维尔定理

·文章标题：哈密顿正则方程

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文介绍哈密顿力学的基本框架，包括正则共轭坐标、哈密顿函数、正则方程的推导、相空间的概念、刘维尔定理，以及哈密顿力学在分析体系演化中的应用。

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