阻尼振动与受迫振动

26 年 5 月 30 日 星期六 (已编辑)
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物理 理论力学 阻尼振动 受迫振动 共振

阻尼的一般性质

阻力的来源

  • 摩擦阻力：与正压力成正比，与速度方向相反，大小近似常数（库仑摩擦）
  • 粘滞阻力：与速度成正比，Fdamp=−γvF_{\text{damp}} = -\gamma v（流体阻力）

本章主要讨论线性阻尼（阻力与速度的一次方成正比），这是小速度下的常见近似。

恒力作用下的阻尼直线运动

考虑质量为 mm 的物体在重力作用下下落，同时受到与速度成正比的空气阻力 f=−γvf = -\gamma v。

运动方程：

mv˙=mg−γv\begin{align} m \dot{v} = mg - \gamma v \end{align}

积分得速度：

v(t)=mgγ(1−e−γt/m)\begin{align} v(t) = \frac{mg}{\gamma} \left(1 - e^{-\gamma t/m}\right) \end{align}

终端速度：vT=mg/γv_T = mg/\gamma，当 t→∞t \to \infty 时达到。位移为

x(t)=mgγt−m2gγ2(1−e−γt/m)\begin{align} x(t) = \frac{mg}{\gamma} t - \frac{m^2 g}{\gamma^2} \left(1 - e^{-\gamma t/m}\right) \end{align}

开伞问题：若开伞后阻力系数变为 γ′\gamma'，则速度从 v0v_0 开始以新的指数规律衰减至新终端速度 vT′=mg/γ′v_T' = mg/\gamma'。

一维线性阻尼振动

运动方程

考虑弹簧振子（劲度系数 kk），受粘滞阻力 −γx˙-\gamma \dot{x}。运动方程为

mx¨+γx˙+kx=0\begin{align} m \ddot{x} + \gamma \dot{x} + kx = 0 \end{align}

令 β=γ/(2m)\beta = \gamma / (2m)（阻尼系数），ω0=k/m\omega_0 = \sqrt{k/m}（固有频率），方程化为

x¨+2βx˙+ω02x=0\begin{align} \ddot{x} + 2\beta \dot{x} + \omega_0^2 x = 0 \end{align}

三种阻尼状态

设试解 x=eλtx = e^{\lambda t}，代入得特征方程 λ2+2βλ+ω02=0\lambda^2 + 2\beta \lambda + \omega_0^2 = 0，解得

λ=−β±β2−ω02\begin{align} \lambda = -\beta \pm \sqrt{\beta^2 - \omega_0^2} \end{align}
  1. 欠阻尼（β<ω0\beta < \omega_0）：λ=−β±iωd\lambda = -\beta \pm \mathrm{i} \omega_d，其中 ωd=ω02−β2\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}。解为
x(t)=Ae−βtcos⁡(ωdt+φ)\begin{align} x(t) = A e^{-\beta t} \cos(\omega_d t + \varphi) \end{align}

振幅指数衰减，振动频率 ωd\omega_d 略小于 ω0\omega_0。

  1. 临界阻尼（β=ω0\beta = \omega_0）：λ=−β\lambda = -\beta（重根）。解为
x(t)=(A+Bt)e−βt\begin{align} x(t) = (A + Bt) e^{-\beta t} \end{align}

无振动，系统最快回到平衡位置。

  1. 过阻尼（β>ω0\beta > \omega_0）：两个负实根 λ1,λ2\lambda_1, \lambda_2。解为
x(t)=Aeλ1t+Beλ2t\begin{align} x(t) = A e^{\lambda_1 t} + B e^{\lambda_2 t} \end{align}

无振动，缓慢回到平衡。

周期性强迫振动

运动方程

在阻尼振动基础上施加周期性外力 F0cos⁡(ωt)F_0 \cos(\omega t)：

x¨+2βx˙+ω02x=F0mcos⁡(ωt)\begin{align} \ddot{x} + 2\beta \dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m} \cos(\omega t) \end{align}

稳态解为 xp(t)=Acos⁡(ωt−δ)x_p(t) = A \cos(\omega t - \delta)，其中振幅 AA 和相位 δ\delta 由代入方程确定。

振幅与相位

代入后解得

A(ω)=F0/m(ω02−ω2)2+4β2ω2tan⁡δ=2βωω02−ω2\begin{align} A(\omega) &= \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2 \omega^2}} \\ \tan \delta &= \frac{2\beta \omega}{\omega_0^2 - \omega^2} \end{align}

共振

振幅 A(ω)A(\omega) 在频率 ωres=ω02−2β2\omega_{\text{res}} = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2} 处取最大值（当 β<ω0/2\beta < \omega_0/\sqrt{2}）。若阻尼很小，共振频率近似为 ω0\omega_0，共振振幅约为

Amax≈F02mβω0=F0γω0\begin{align} A_{\text{max}} \approx \frac{F_0}{2m\beta \omega_0} = \frac{F_0}{\gamma \omega_0} \end{align}

当 ω=ω0\omega = \omega_0 时，相位 δ=π/2\delta = \pi/2，速度与外力同相，外力始终做正功，能量输入最大。

品质因子

品质因子 QQ 定义为

Q=ω02β=mkγ\begin{align} Q = \frac{\omega_0}{2\beta} = \frac{\sqrt{mk}}{\gamma} \end{align}

它度量共振峰的尖锐程度：QQ 越大，共振峰越窄，系统对频率的选择性越强。QQ 也等于振动周期内储能与耗能之比的 2π2\pi 倍。

能量关系

在稳态强迫振动中，外力输入的能量等于阻尼耗散的能量。平均功率为

⟨P⟩=F02βω22m[(ω02−ω2)2+4β2ω2]=12γω2A2\begin{align} \langle P \rangle = \frac{F_0^2 \beta \omega^2}{2m[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + 4\beta^2 \omega^2]} = \frac{1}{2} \gamma \omega^2 A^2 \end{align}

在共振时，输入功率最大。

小结

  • 线性阻尼振动的解分为欠阻尼、临界阻尼、过阻尼三种情况
  • 强迫振动的稳态响应与频率有关，存在共振现象
  • 品质因子 QQ 描述共振峰的尖锐程度
  • 阻尼不仅消耗能量，还决定了系统对频率的选择性
物理理论力学阻尼振动受迫振动共振

·文章标题：阻尼振动与受迫振动

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文讨论有阻力的振动问题，包括恒力作用下的阻尼直线运动、一维线性阻尼振动（欠阻尼、临界阻尼、过阻尼），以及周期性强迫振动的稳态解、共振现象和品质因子。

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