刚体动力学

转动惯量张量

对于绕固定点 $O$ 转动的刚体，角动量 $\boldsymbol{L}$ 的一般表达式为

\begin{align} \boldsymbol{L} = \int \boldsymbol{r} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) \, \mathrm{d}m \end{align}

在直角坐标系中，分量形式为

\begin{align} L_x &= I_{xx} \omega_x + I_{xy} \omega_y + I_{xz} \omega_z \\ L_y &= I_{yx} \omega_x + I_{yy} \omega_y + I_{yz} \omega_z \\ L_z &= I_{zx} \omega_x + I_{zy} \omega_y + I_{zz} \omega_z \end{align}

其中 $I_{xx}, I_{yy}, I_{zz}$ 为转动惯量， $I_{xy}$ 等为惯量积（负值， $I_{xy} = -\int xy \, \mathrm{d}m$ ）。

定义转动惯量张量 $\boldsymbol{I}$ （或写为 $I_{ij}$ ），其分量为

\begin{align} I_{ij} = \int (r^2 \delta_{ij} - x_i x_j) \, \mathrm{d}m \end{align}

则角动量可简洁地写为 $\boldsymbol{L} = \boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{\omega}$ ，即 $L_i = \sum_j I_{ij} \omega_j$ 。

转动惯量张量是对称的二阶张量（ $I_{ij} = I_{ji}$ ），在三维空间中有6个独立分量。

通过选择合适的坐标系（随动坐标系，固连于刚体），可使三个惯量积同时为零。这样的坐标轴称为惯量主轴。在惯量主轴系中，转动惯量张量对角化：

\begin{align} I = \begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_2 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{pmatrix} \end{align}

此时角动量 $\boldsymbol{L} = (I_1 \omega_1, I_2 \omega_2, I_3 \omega_3)$ 。

寻找惯量主轴的技巧：

定点转动刚体的动能为

\begin{align} T = \frac{1}{2} \boldsymbol{\omega} \cdot \boldsymbol{L} = \frac{1}{2} \sum_{i,j} I_{ij} \omega_i \omega_j \end{align}

在惯量主轴系中， $T = \frac{1}{2} (I_1 \omega_1^2 + I_2 \omega_2^2 + I_3 \omega_3^2)$ 。

对于定点转动，角动量定理 $\dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{M}$ 在惯性系中成立。但刚体随动坐标系是非惯性系。在随动坐标系（固连于刚体）中，有

\begin{align} \left( \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} \right)_{\text{惯}} = \left( \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} \right)_{\text{随}} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{L} \end{align}

因此，随动坐标系中的角动量定理为

\begin{align} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{L}}{\mathrm{d}t} + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{L} = \boldsymbol{M} \end{align}

其中 $\boldsymbol{L}$ 和 $\boldsymbol{M}$ 均在随动坐标系中表示，且 $\boldsymbol{L} = \boldsymbol{I} \cdot \boldsymbol{\omega}$ 。

在惯量主轴系中，分量形式为

\begin{align} I_1 \dot{\omega}_1 + (I_3 - I_2) \omega_2 \omega_3 &= M_1 \\ I_2 \dot{\omega}_2 + (I_1 - I_3) \omega_3 \omega_1 &= M_2 \\ I_3 \dot{\omega}_3 + (I_2 - I_1) \omega_1 \omega_2 &= M_3 \end{align}

这就是欧拉动力学方程，是处理刚体定点转动的基本方程。

当外力矩为零（ $\boldsymbol{M}=0$ ）时，刚体绕质心自由转动。此时有两个守恒量：

角动量大小守恒： $L^2 = I_1^2 \omega_1^2 + I_2^2 \omega_2^2 + I_3^2 \omega_3^2 = \text{常数}$
动能守恒： $T = \frac{1}{2} (I_1 \omega_1^2 + I_2 \omega_2^2 + I_3 \omega_3^2) = \text{常数}$

对于轴对称刚体（ $I_1 = I_2 \neq I_3$ ），欧拉方程可解析求解，得到章动和进动现象。例如地球的转动（轻微扁平）存在极移和岁差。

拉格朗日陀螺是指对称刚体（ $I_1 = I_2$ ）在重力场中绕固定点（非质心）转动。其拉格朗日函数为

\begin{align} L = \frac{1}{2} I_1 (\dot{\theta}^2 + \dot{\varphi}^2 \sin^2\theta) + \frac{1}{2} I_3 (\dot{\psi} + \dot{\varphi} \cos\theta)^2 - Mgl \cos\theta \end{align}

其中 $l$ 是固定点到质心的距离。

由于 $\varphi$ 和 $\psi$ 是循环坐标，对应的广义动量守恒：

\begin{align} p_\varphi &= I_1 \dot{\varphi} \sin^2\theta + I_3 (\dot{\psi} + \dot{\varphi} \cos\theta) \cos\theta = L_z \text{（常数）} \\ p_\psi &= I_3 (\dot{\psi} + \dot{\varphi} \cos\theta) = L_3 \text{（常数）} \end{align}

此外能量守恒。这些守恒律可将问题化为一维有效势中的章动运动。

当自转角速度 $\dot{\psi}$ 很大时，章动角 $\theta$ 的变化很小，进动角速度近似为

\begin{align} \dot{\varphi} \approx \frac{Mgl}{I_3 \dot{\psi}} \end{align}

即进动角速度与自转角速度成反比。当自转减慢时，进动加快，且章动幅度增大——这是陀螺的重要特性。