刚体运动学

26 年 5 月 30 日 星期六 (已编辑)
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物理 理论力学 刚体 角速度 欧拉角 平面平行运动

刚体的定义与自由度

刚体是一种特殊的质点系，其中任意两质点间的距离保持恒定。刚体模型既考虑物体的质量，又考虑形状和大小，但忽略形变。

刚体位置的确定：只需任意三个不在同一直线上的质点的位置即可确定刚体的位形。

刚体的自由度：

  • 自由刚体：6个自由度（3个平动 + 3个转动）
  • 定轴转动：1个自由度
  • 定点转动：3个自由度
  • 平面平行运动：3个自由度（2个平动 + 1个转动）

欧拉角

定点转动常用欧拉角作为广义坐标：

  • 进动角 φ\varphi：绕固定轴 z0z_0 的转动
  • 章动角 θ\theta：绕节线（x′x' 轴）的转动，范围 0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi
  • 自转角 ψ\psi：绕刚体对称轴 zz 的转动

欧拉角的顺序：先绕 z0z_0 转 φ\varphi，再绕新 x′x' 转 θ\theta，最后绕新 zz 转 ψ\psi。

角速度

无穷小角位移是矢量

有限角位移不满足交换律（非矢量），但无穷小角位移是矢量，可进行矢量加法。无限小定点转动总可视为定轴转动。

角速度矢量

角速度 ω\boldsymbol{\omega} 的大小和方向由瞬时转轴确定。对于定点转动，角速度可分解为三个欧拉角速度的合成：

ω=φ˙z^0+θ˙x^′+ψ˙z^\begin{align} \boldsymbol{\omega} = \dot{\varphi} \hat{\boldsymbol{z}}_0 + \dot{\theta} \hat{\boldsymbol{x}}' + \dot{\psi} \hat{\boldsymbol{z}} \end{align}

其中 z^0\hat{\boldsymbol{z}}_0、x^′\hat{\boldsymbol{x}}'、z^\hat{\boldsymbol{z}} 分别是固定轴、节线和刚体对称轴方向的单位矢量。

欧拉运动学方程

将上述角速度投影到随动坐标系（固连于刚体）的坐标轴上，得到欧拉运动学方程：

ωx=θ˙cos⁡ψ+φ˙sin⁡θsin⁡ψωy=−θ˙sin⁡ψ+φ˙sin⁡θcos⁡ψωz=ψ˙+φ˙cos⁡θ\begin{align} \omega_x &= \dot{\theta} \cos\psi + \dot{\varphi} \sin\theta \sin\psi \\ \omega_y &= -\dot{\theta} \sin\psi + \dot{\varphi} \sin\theta \cos\psi \\ \omega_z &= \dot{\psi} + \dot{\varphi} \cos\theta \end{align}

刚体上任一点的速度和加速度

只有转动（定点转动）

设 OO 为定点，PP 为刚体上任一点，位矢为 r\boldsymbol{r}（在随动坐标系中）。则

vP=ω×r\begin{align} \boldsymbol{v}_P = \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} \end{align} aP=α×r+ω×(ω×r)\begin{align} \boldsymbol{a}_P = \boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}) \end{align}

其中 α=ω˙\boldsymbol{\alpha} = \dot{\boldsymbol{\omega}} 为角加速度。

一般运动（平动 + 转动）

设 CC 为刚体上任意基点（通常选质心），则

vP=vC+ω×rCP\begin{align} \boldsymbol{v}_P = \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_{CP} \end{align} aP=aC+α×rCP+ω×(ω×rCP)\begin{align} \boldsymbol{a}_P = \boldsymbol{a}_C + \boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{r}_{CP} + \boldsymbol{\omega} \times (\boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r}_{CP}) \end{align}

重要性质：刚体的角速度 ω\boldsymbol{\omega} 与基点的选择无关，是刚体整体的运动学量。

平面平行运动

平面平行运动是刚体一般运动的特例：刚体内各点始终在平行于固定平面的平面内运动。此时角速度方向垂直于运动平面。

瞬时转心：在平面平行运动中，每一瞬时都存在一个速度为零的点（可能在刚体上，也可能在刚体外部），称为瞬时转心（或瞬时速度中心）。以瞬时转心为基点，刚体在该瞬时纯转动。

瞬时转心的求法：

  • 作刚体上两点速度的垂线，交点即为瞬时转心
  • 纯滚动时，接触点即为瞬时转心

例：半径为 RR 的轮子在水平轨道上纯滚动，质心速度为 vcv_c。则角速度 ω=vc/R\omega = v_c / R，瞬时转心在接触点。轮缘上任一点 PP 的速度为

vP=ω⋅CP\begin{align} v_P = \omega \cdot CP \end{align}

其中 CPCP 是该点到瞬时转心的距离，方向垂直于连线。

刚体运动学的应用

例题：圆锥在平面上纯滚动

一圆锥高 hh，顶角 2α2\alpha，在一平面上纯滚动，锥以等角速度 ω\omega 绕对称轴转动。求底面最高点 AA 的速度和加速度。

解：圆锥绕顶点 OO 做定点转动（因为 OO 点与平面接触且无滑动？实际上纯滚动时接触点瞬时静止，但接触点不断变化，不是固定点。更严谨的做法是分析角速度合成。利用欧拉运动学方程和刚体上任一点的速度公式即可求解。

小结

  • 刚体运动可分解为平动和定点转动
  • 欧拉角是描述定点转动的三个独立广义坐标
  • 角速度是刚体整体量，与基点无关
  • 无穷小角位移是矢量，有限角位移不是
  • 平面平行运动可用瞬时转心法简化速度分析
物理理论力学刚体角速度欧拉角平面平行运动

·文章标题：刚体运动学

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文介绍刚体运动学的基本概念，包括刚体的自由度、欧拉角、角速度矢量、定点转动的欧拉运动学方程，以及刚体上任一点的速度和加速度，并讨论平面平行运动的瞬时转心法。

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