静电学

· 更新于 2026年6月30日· 约 2 分钟· 298 字
物理电动力学
#物理#电动力学#静电学#库仑定律

库仑定律

点电荷 qq 对试探电荷 QQ 的力为

F=14πϵ0qQr2r^\begin{align} \boldsymbol{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qQ}{\mathscr{r}^2}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} \end{align}

其中 r=r−r′\boldsymbol{\mathscr{r}} = \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}' 是源点到场点的距离矢量。

电场

电场定义为 E=F/Q\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}/Q，其散度和旋度为

∇⋅E=ρϵ0,∇×E=0\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}, \quad \nabla\times\boldsymbol{E} = 0 \end{align}

连续电荷分布的电场

E(r)=14πϵ0∫ρ(r′)r2r^ dτ′\begin{align} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho(\boldsymbol{r}')}{\mathscr{r}^2}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\,\mathrm{d}\tau' \end{align}

电势

电势 VV 定义为 E=−∇V\boldsymbol{E} = -\nabla V，满足泊松方程 ∇2V=−ρ/ϵ0\nabla^2 V = -\rho/\epsilon_0。

点电荷的电势为 V=14πϵ0qrV = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{\mathscr{r}}。

连续分布：

V(r)=14πϵ0∫ρ(r′)r dτ′\begin{align} V(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho(\boldsymbol{r}')}{\mathscr{r}}\,\mathrm{d}\tau' \end{align}

高斯定律

积分形式：∮E⋅da=Qenc/ϵ0\oint \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{a} = Q_{\text{enc}}/\epsilon_0。

对称性应用

  • 球对称：高斯面为同心球面。
  • 柱对称：高斯面为同轴柱面。
  • 平面对称：高斯面为跨平面的“药盒”。

导体性质

  1. 导体内部 E=0\boldsymbol{E}=0。
  2. 导体内部净电荷 ρ=0\rho=0，所有电荷分布在表面。
  3. 导体是等势体。
  4. 导体表面外 E\boldsymbol{E} 垂直于表面。
  5. 表面电荷密度 σ=−ϵ0∂V∂n\sigma = -\epsilon_0\dfrac{\partial V}{\partial n}。

电容

电容 C=Q/VC = Q/V。

  • 平行板电容器：C=ϵ0A/dC = \epsilon_0 A/d
  • 同心球壳：C=4πϵ0abb−aC = 4\pi\epsilon_0\dfrac{ab}{b-a}
  • 同轴圆柱：C/L=2πϵ0ln⁡(b/a)C/L = \dfrac{2\pi\epsilon_0}{\ln(b/a)}

静电能

点电荷系统的静电能：

W=12∑i=1nqiV(ri)\begin{align} W = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n q_i V(\boldsymbol{r}_i) \end{align}

连续电荷分布：

W=12∫ρV dτ=ϵ02∫E2 dτ\begin{align} W = \frac{1}{2}\int \rho V\,\mathrm{d}\tau = \frac{\epsilon_0}{2}\int E^2\,\mathrm{d}\tau \end{align}