库仑定律

点电荷 $q$ 对试探电荷 $Q$ 的力为

$$\begin{align} \boldsymbol{F} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qQ}{\mathscr{r}^2}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} \end{align}$$

其中 $\boldsymbol{\mathscr{r}} = \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'$ 是源点到场点的距离矢量。

电场

电场定义为 $\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}/Q$，其散度和旋度为

$$\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}, \quad \nabla\times\boldsymbol{E} = 0 \end{align}$$

连续电荷分布的电场

$$\begin{align} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho(\boldsymbol{r}')}{\mathscr{r}^2}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\,\mathrm{d}\tau' \end{align}$$

电势

电势 $V$ 定义为 $\boldsymbol{E} = -\nabla V$，满足泊松方程 $\nabla^2 V = -\rho/\epsilon_0$。

点电荷的电势为 $V = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q}{\mathscr{r}}$。

连续分布：

$$\begin{align} V(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho(\boldsymbol{r}')}{\mathscr{r}}\,\mathrm{d}\tau' \end{align}$$

高斯定律

积分形式：$\oint \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{a} = Q_{\text{enc}}/\epsilon_0$。

对称性应用

• 球对称：高斯面为同心球面。
• 柱对称：高斯面为同轴柱面。
• 平面对称：高斯面为跨平面的“药盒”。

导体性质

1. 导体内部 $\boldsymbol{E}=0$。
2. 导体内部净电荷 $\rho=0$，所有电荷分布在表面。
3. 导体是等势体。
4. 导体表面外 $\boldsymbol{E}$ 垂直于表面。
5. 表面电荷密度 $\sigma = -\epsilon_0\dfrac{\partial V}{\partial n}$。

电容

电容 $C = Q/V$。

• 平行板电容器：$C = \epsilon_0 A/d$
• 同心球壳：$C = 4\pi\epsilon_0\dfrac{ab}{b-a}$
• 同轴圆柱：$C/L = \dfrac{2\pi\epsilon_0}{\ln(b/a)}$

静电能

点电荷系统的静电能：

$$\begin{align} W = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n q_i V(\boldsymbol{r}_i) \end{align}$$

连续电荷分布：

$$\begin{align} W = \frac{1}{2}\int \rho V\,\mathrm{d}\tau = \frac{\epsilon_0}{2}\int E^2\,\mathrm{d}\tau \end{align}$$