两体问题概述

问题的定义

两体问题研究两个相互作用粒子的运动。与两个独立的单粒子不同，两体之间存在相互作用，其运动方程是耦合的。

两体运动可分解为质心运动和相对运动。

拉格朗日函数

设两质点质量分别为 $m_1$ 和 $m_2$，位矢分别为 $\boldsymbol{r}_1$ 和 $\boldsymbol{r}_2$，相互作用势能只依赖于相对距离 $V(|\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2|)$。系统的拉格朗日函数为

$$\begin{align} L = \frac{1}{2} m_1 \dot{\boldsymbol{r}}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{\boldsymbol{r}}_2^2 - V(|\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2|) \end{align}$$

约化为单粒子问题

质心坐标与相对坐标

引入质心坐标 $\boldsymbol{R}$ 和相对坐标 $\boldsymbol{r}$：

$$\begin{align} \boldsymbol{R} &= \frac{m_1 \boldsymbol{r}_1 + m_2 \boldsymbol{r}_2}{m_1 + m_2} \\ \boldsymbol{r} &= \boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2 \end{align}$$

用质心坐标和相对坐标表示，拉格朗日函数变为

$$\begin{align} L = \frac{1}{2} M \dot{\boldsymbol{R}}^2 + \frac{1}{2} \mu \dot{\boldsymbol{r}}^2 - V(|\boldsymbol{r}|) \end{align}$$

其中 $M = m_1 + m_2$ 是总质量，$\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ 是约化质量。

质心运动与相对运动

• 质心运动：$\dfrac{1}{2} M \dot{\boldsymbol{R}}^2$ 对应自由粒子，质心做匀速直线运动
• 相对运动：$\dfrac{1}{2} \mu \dot{\boldsymbol{r}}^2 - V(|\boldsymbol{r}|)$ 对应质量为 $\mu$ 的粒子在中心势场 $V(r)$ 中的运动

中心势场中的单粒子运动

中心势场的定义

中心势场是指势能函数只依赖于到力心的距离 $r$，即 $V = V(r)$。中心势场中的粒子受力为有心力：

$$\begin{align} \boldsymbol{F} = -\nabla V(r) = -\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} \hat{\boldsymbol{r}} \end{align}$$

角动量守恒与平面运动

由于有心力对力心的力矩为零，角动量守恒：

$$\begin{align} \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} = \text{常数} \end{align}$$

角动量守恒的推论：

• 粒子的运动轨迹在同一平面内（垂直于 $\boldsymbol{L}$ 的平面）
• 面积速度守恒（开普勒第二定律）

平面极坐标下的拉格朗日函数

选取运动平面为极坐标平面，拉格朗日函数为

$$\begin{align} L = \frac{1}{2} \mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - V(r) \end{align}$$

有效势能与运动分析

守恒量

由于 $L$ 不显含 $\theta$，$\theta$ 是循环坐标，广义动量守恒：

$$\begin{align} p_\theta = \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \mu r^2 \dot{\theta} = \text{常数} \equiv l \end{align}$$

$l$ 是角动量的大小。同时，$L$ 不显含时间，能量守恒：

$$\begin{align} E = \frac{1}{2} \mu (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) + V(r) = \text{常数} \end{align}$$

有效势能

利用角动量守恒消去 $\dot{\theta}$，径向运动方程为

$$\begin{align} E = \frac{1}{2} \mu \dot{r}^2 + \frac{l^2}{2\mu r^2} + V(r) \end{align}$$

定义有效势能

$$\begin{align} V_{\text{eff}}(r) = \frac{l^2}{2\mu r^2} + V(r) \end{align}$$

则径向运动等价于一维粒子在有效势场中的运动：

$$\begin{align} E = \frac{1}{2} \mu \dot{r}^2 + V_{\text{eff}}(r) \end{align}$$

其中 $\dfrac{l^2}{2\mu r^2}$ 是离心势能项。

有效势能定性分析

通过分析有效势能的形状，可以判断粒子的运动类型：

• 束缚态：$E < 0$，粒子在 $r_{\min}$ 和 $r_{\max}$ 之间振荡
• 散射态：$E > 0$，粒子从无穷远来，到无穷远去
• 圆轨道：能量等于有效势能的极小值

轨道方程

比耐公式

由 $\dot{\theta} = l / \mu r^2$ 和 $\dot{r} = \dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} \dot{\theta}$，可得轨道微分方程（比耐公式）：

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{\mu}{l^2 u^2} F\left(\frac{1}{u}\right) \end{align}$$

其中 $u = 1/r$，$F(r) = -\mathrm{d}V/\mathrm{d}r$ 是径向力的大小。

平方反比引力场

对于万有引力或库仑引力，$F(r) = -k/r^2$（$k > 0$）。轨道方程为

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = \frac{\mu k}{l^2} \end{align}$$

解为

$$\begin{align} u = \frac{1}{r} = \frac{\mu k}{l^2} [1 + e \cos(\theta - \theta_0)] \end{align}$$

这是圆锥曲线方程，偏心率 $e = \sqrt{1 + \dfrac{2E l^2}{\mu k^2}}$：

能量	偏心率	轨道类型
$E < 0$	$0 \le e < 1$	椭圆（$e=0$ 为圆）
$E = 0$	$e = 1$	抛物线
$E > 0$	$e > 1$	双曲线

圆轨道的稳定性判据

圆轨道存在的条件是 $V'_{\text{eff}}(r_0) = 0$。稳定性由二阶导数决定：

• $V''_{\text{eff}}(r_0) > 0$：稳定
• $V''_{\text{eff}}(r_0) < 0$：不稳定

对于平方反比力，$V''_{\text{eff}} > 0$，圆轨道稳定。

弹性碰撞与散射截面

质心系与实验室系

在质心系中，两粒子的速率在碰撞前后不变，只是方向改变。实验室系与质心系散射角的关系（靶初始静止）为

$$\begin{align} \tan\theta_{\text{lab}} = \frac{\sin\theta_{\text{cm}}}{\cos\theta_{\text{cm}} + m_1/m_2} \end{align}$$

散射截面

微分散射截面定义为

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = \left|\frac{b}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta}\right| \end{align}$$

其中 $b$ 是碰撞参数，$\theta$ 是散射角。

卢瑟福散射

在排斥库仑势 $V(r) = \alpha/r$（$\alpha > 0$）中，散射角与碰撞参数的关系为

$$\begin{align} b = \frac{\alpha}{2E} \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{align}$$

微分散射截面（卢瑟福公式）：

$$\begin{align} \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = \left( \frac{\alpha}{4E} \right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)} \end{align}$$

小结

• 两体问题可约化为质心运动（自由粒子）和相对运动（单粒子在中心势场）
• 中心势场中角动量守恒，运动限制在平面内
• 有效势能方法将径向运动化为一维问题
• 平方反比引力场的轨道是圆锥曲线
• 卢瑟福散射公式是中心势场理论的重要应用