保角变换法

引言

许多物理问题（如静电场、热传导、无旋流体）在二维情况下归结为求解拉普拉斯方程 $\nabla^2 u = 0$ 在复杂区域内的边值问题。保角变换（共形映射）利用解析函数的几何性质，将复杂区域映射为简单区域（如半平面、圆），在简单区域上求解后再变回原区域，从而得到原问题的解。这一方法的物理基础是：二维拉普拉斯方程在保角变换下形式不变。

基本概念与定理

保角变换的定义

若函数 $w = f(z) = u(x,y) + \mathrm{i}v(x,y)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $f'(z) \neq 0$，则 $f$ 在 $D$ 内是保角的：两条光滑曲线的交角在变换下保持大小和方向不变。因此解析函数实现的映射也称为共形映射。

拉普拉斯方程的不变性

设 $\varphi(u,v)$ 是 $w$ 平面上的调和函数（满足 $\varphi_{uu} + \varphi_{vv} = 0$），在保角变换 $w = f(z)$ 下，复合函数 $\Phi(x,y) = \varphi\big( u(x,y), v(x,y) \big)$ 在 $z$ 平面原区域上仍然是调和函数。这为解题提供了依据：可以将 $xy$ 平面上的复杂边界问题变换到 $uv$ 平面上求解，再映射回原坐标。

证明概要：利用柯西–黎曼方程 $u_x = v_y$，$u_y = -v_x$ 以及 $u_{xx}+u_{yy}=0$，$v_{xx}+v_{yy}=0$，直接计算 $\Phi$ 的拉普拉斯算子可得

因此调和性在保角变换下保持不变，且因子 $|f'(z)|^2$ 仅在第二类边界条件的变换中起作用。

边值问题的变换原则

对于第一类边界条件（给定函数值），在像平面上直接指定对应边界上的值即可；对于第二类边界条件（给定法向导数），由于线段长度发生局部缩放，变换后法向导数会被 $|f'(z)|$ 修正：

通常在基础应用中主要处理第一类边界条件。

常用初等映射

线性函数

实现平移、旋转和缩放。不改变区域形状，仅作刚体变换。

幂函数

将角形区域 $\{ z : 0 < \arg z < \theta \}$ 映射为角形区域 $\{ w : 0 < \arg w < \alpha\theta \}$。特别地，取 $\alpha = \pi/\theta$ 可将角域展成上半平面。例如 $w = z^2$ 将第一象限映射到上半平面。

指数函数与对数函数

指数函数 $w = e^z$ 将水平带域 $0 < \operatorname{Im}(z) < \pi$ 映射为上半平面 $\operatorname{Im}(w) > 0$；将垂直线段映射为圆弧。对数函数 $w = \ln z$ 常用来将角域或环形域化为带域。

分式线性变换（莫比乌斯变换）

分式线性变换将圆和直线仍映射为圆或直线（广义圆）。它具有三个自由度，可通过指定三对对应点唯一确定映射。常用此变换将半平面映射为单位圆，或调整圆的相对位置。

施瓦茨-克里斯托费尔映射

将上半平面（或单位圆）内部映射到多边形的内部，其导数为

其中 $x_k$ 是实轴上的点（对应多边形的顶点），$\alpha_k$ 是多边形对应内角。该映射是处理多边形边界的利器。

典型应用步骤与详细例题

一般解题步骤：

1. 写出原问题（$z$ 平面）的方程 $\nabla^2 u = 0$ 及边界条件。
2. 根据原区域形状，选取适当的解析函数 $w = f(z)$，将区域映射为简单标准区域（上半平面、单位圆、带域等）。
3. 将原边界条件转移到 $w$ 平面上相应边界处。
4. 在新平面上求解拉普拉斯方程的边值问题（常用分离变量法、镜像法或直接积分）。
5. 用逆映射 $z = f^{-1}(w)$ 将解写为 $x,y$ 的函数。

例 1：角域内的稳态温度分布

问题：考虑无限大角形区域 $0 < \arg z < \theta$（$0 < \theta < 2\pi$），边界射线 $\arg z = 0$ 上温度保持 $T_1$，边界射线 $\arg z = \theta$ 上温度保持 $T_2$。求区域内的稳态温度分布。

解：温度 $T(x,y)$ 满足二维拉普拉斯方程 $\nabla^2 T = 0$。选用保角变换 $w = z^{\pi/\theta}$，它将角域映射为上半平面 $\operatorname{Im}(w) > 0$。此时原边界 $\arg z = 0$ 对应 $w$ 的正实轴，$\arg z = \theta$ 对应 $w$ 的负实轴。

在 $w$ 平面上，我们得到上半平面的边值问题：实轴上负半轴 $u<0,\ v=0$ 保持温度 $T_2$，正半轴 $u>0,\ v=0$ 保持温度 $T_1$。这是经典的上半平面狄利克雷问题，其解可通过泊松积分公式给出，或利用初等调和函数表示为

（由调和函数的极坐标解可知 $1$ 和 $\theta_w$ 均调和。）代入边界条件：

• 当 $\arg w = 0$（正实轴）：$A + B \cdot 0 = T_1 \ \Rightarrow\ A = T_1$
• 当 $\arg w = \pi$（负实轴）：$T_1 + B \pi = T_2 \ \Rightarrow\ B = \dfrac{T_2 - T_1}{\pi}$

故 $w$ 平面上解为

回到 $z$ 平面：由 $w = z^{\pi/\theta}$，有 $\arg w = \frac{\pi}{\theta} \arg z$。因此原问题的解为

即温度沿角度线性变化，与径向距离无关，符合物理直觉。

例 2：偏心圆环化为同心圆环

问题：两个分离的平行无限长圆柱形导体，分别保持电位 $V_1$ 和 $V_2$，求周围电场分布。该问题可通过保角变换将两偏心圆映射为同心圆环，从而利用轴对称性解决。

解（概要）：设 $z$ 平面上两圆的边界为 $C_1$ 和 $C_2$。可以寻找一分式线性变换

通过选取合适的实参数 $a,b$，将两个偏心圆同时映射为 $w$ 平面上的同心圆（圆心在原点）。具体参数由两圆与实轴的交点坐标决定。

在 $w$ 平面同心圆环区域上，拉普拉斯方程满足径向解 $\varphi(w) = A \ln |w| + B$。代入内外圆边界电位即可确定 $A, B$。最后通过逆映射得到原坐标下的电位函数。

例 3：上半平面半无限裂纹附近的静电场

问题：上半平面 $\operatorname{Im}(z) > 0$ 的导体边界（实轴）上，从 $-\infty$ 到 $0$ 接地（电位 $0$），从 $0$ 到 $+\infty$ 保持电位 $V_0$。原点处为电极间断点。求上半平面内的电位分布。

解：考虑保角变换 $w = \sqrt{z}$（取主支，使得上半平面映射为第一象限，实轴正半轴映射为正实轴，负半轴映射为正虚轴？让我们仔细分析）。实际上，我们需要一个把上半平面映为带域或半平面的映射，然后利用边值求解。更合适的映射是取对数，或直接利用已知的上半平面狄利克雷问题。

此处我们使用泊松积分公式的分段常数边值。对于上半平面，若实轴上电位分布为 $U(\xi)$，则解为

令 $U(\xi) = 0$ 当 $\xi < 0$，$U(\xi) = V_0$ 当 $\xi > 0$。则

计算积分：令 $t = (\xi - x)/y$，得

若用极坐标 $z = r e^{\mathrm{i}\theta}$，其中 $0<\theta<\pi$，则 $x/y = \cot\theta$，且 $\arctan(\cot\theta) = \pi/2 - \theta$（当 $0<\theta<\pi$），所以

这也是一个非常简洁的结果：电位只与极角有关，即等位线为从原点出发的射线。

若我们当时没想到直接用泊松公式，也可以通过保角变换 $w = \ln z$ 将上半平面映为无限宽的水平带域，然后用带域内的线性解得到相同结果。这体现了保角变换法路径的灵活性。

注意事项

• 保角变换法主要适用于二维调和函数的边值问题。
• 映射通常将原区域边界一一对应到新区域边界，因此原边界条件可逐点转移。
• 对于第二类边界条件，须补充尺缩因子 $|f'(z)|$ 的修正，计算稍繁。
• 许多工程问题可借助已知映射表格或数值保角映射求解。

总结

• 二维拉普拉斯方程在保角变换下形式不变，这是保角变换法的理论基础。
• 通过适当的解析映射，复杂边界问题可化为简单标准区域上的问题（上半平面、圆、带域）。
• 常用的初等映射（线性、幂、指数、分式线性）及其组合覆盖了大量典型边界形状。
• 保角变换法在静电学、流体力学、热传导等二维问题中有广泛应用。