矢量代数

基本运算

1. 加法：$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}$，满足交换律和结合律。
2. 数乘：$\alpha(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) = \alpha\boldsymbol{A} + \alpha\boldsymbol{B}$。
3. 点乘（标量积）：$\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = AB\cos\theta$，满足交换律。
4. 叉乘（矢量积）：$\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = AB\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{n}}$，满足分配律，但不满足交换律：$\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{A} = -(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})$。

三重积

标量三重积（混合积）：

$$\begin{align} \boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B}\cdot(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{C}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) \end{align}$$

矢量三重积（BAC-CAB规则）：

$$\begin{align} \boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C}) - \boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}) \end{align}$$

四个矢量的点乘关系：

$$\begin{align} (\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{D}) = (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{D}) - (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{D})(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}) \end{align}$$

矢量微分学

梯度

标量场 $T(x,y,z)$ 的梯度定义为

$$\begin{align} \nabla T = \frac{\partial T}{\partial x}\hat{\boldsymbol{x}} + \frac{\partial T}{\partial y}\hat{\boldsymbol{y}} + \frac{\partial T}{\partial z}\hat{\boldsymbol{z}} \end{align}$$

梯度算符 $\nabla = \hat{\boldsymbol{x}}\dfrac{\partial}{\partial x} + \hat{\boldsymbol{y}}\dfrac{\partial}{\partial y} + \hat{\boldsymbol{z}}\dfrac{\partial}{\partial z}$。梯度方向是函数 $T$ 增加最快的方向，其大小等于该方向的方向导数。例如，$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则 $\nabla r = \hat{\boldsymbol{r}}$。

散度

矢量场 $\boldsymbol{v}$ 的散度为

$$\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{v} = \frac{\partial v_x}{\partial x} + \frac{\partial v_y}{\partial y} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \end{align}$$

散度衡量场从某一点发散的程度：正散度表示源（向外发散），负散度表示汇（向内汇聚）。

旋度

矢量场 $\boldsymbol{v}$ 的旋度为

$$\begin{align} \nabla\times\boldsymbol{v} = \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{x}} & \hat{\boldsymbol{y}} & \hat{\boldsymbol{z}} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix} = \left(\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\right)\hat{\boldsymbol{x}} + \left(\frac{\partial v_x}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial x}\right)\hat{\boldsymbol{y}} + \left(\frac{\partial v_y}{\partial x}-\frac{\partial v_x}{\partial y}\right)\hat{\boldsymbol{z}} \end{align}$$

旋度方向为最大环量密度的方向，大小反映旋转的强弱。

常用恒等式

1. 梯度：

$$\begin{align} \nabla(fg) = f\nabla g + g\nnabla f \end{align}$$ $$\begin{align} \nabla(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{A}\times(\nabla\times\boldsymbol{B}) + \boldsymbol{B}\times(\nabla\times\boldsymbol{A}) + (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B} + (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} \end{align}$$

2. 散度：

$$\begin{align} \nabla\cdot(f\boldsymbol{A}) = f(\nabla\cdot\boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\cdot(\nabla f) \end{align}$$ $$\begin{align} \nabla\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B}) \end{align}$$

3. 旋度：

$$\begin{align} \nabla\times(f\boldsymbol{A}) = f(\nabla\times\boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\times(\nabla f) \end{align}$$ $$\begin{align} \nabla\times(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} - (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}(\nabla\cdot\boldsymbol{B}) - \boldsymbol{B}(\nabla\cdot\boldsymbol{A}) \end{align}$$

矢量积分学

梯度定理

$$\begin{align} \int_{\boldsymbol{a}}^{\boldsymbol{b}} (\nabla T)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = T(\boldsymbol{b}) - T(\boldsymbol{a}) \end{align}$$

推论：沿闭合回路积分 $\oint (\nabla T)\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}=0$。

散度定理（高斯定理）

$$\begin{align} \iiint_{V} (\nabla\cdot\boldsymbol{v})\,\mathrm{d}\tau = \oiint_{S=\partial V} \boldsymbol{v}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} \end{align}$$

旋度定理（斯托克斯定理）

$$\begin{align} \iint_{S} (\nabla\times\boldsymbol{v})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} = \oint_{L=\partial S} \boldsymbol{v}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} \end{align}$$

曲线坐标系

球坐标系

坐标 $(r,\theta,\phi)$，变换关系：$x = r\sin\theta\cos\phi$，$y = r\sin\theta\sin\phi$，$z = r\cos\theta$。

线元、面元、体元：

$$\begin{align} \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \mathrm{d}r\,\hat{\boldsymbol{r}} + r\mathrm{d}\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}} + r\sin\theta\,\mathrm{d}\phi\,\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align}$$ $$\begin{align} \mathrm{d}\boldsymbol{a}_r = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\,\hat{\boldsymbol{r}}, \quad \mathrm{d}\tau = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi \end{align}$$

梯度：

$$\begin{align} \nabla T = \frac{\partial T}{\partial r}\hat{\boldsymbol{r}} + \frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial T}{\partial\phi}\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align}$$

散度：

$$\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{v} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 v_r) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,v_\theta) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v_\phi}{\partial\phi} \end{align}$$

旋度：

$$\begin{align} \nabla\times\boldsymbol{v} = &\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,v_\phi)-\frac{\partial v_\theta}{\partial\phi}\right]\hat{\boldsymbol{r}} \\ &+ \frac{1}{r}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial v_r}{\partial\phi}-\frac{\partial}{\partial r}(r v_\phi)\right]\hat{\boldsymbol{\theta}} \\ &+ \frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(r v_\theta)-\frac{\partial v_r}{\partial\theta}\right]\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align}$$

拉普拉斯算符：

$$\begin{align} \nabla^2 T = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial T}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 T}{\partial\phi^2} \end{align}$$

柱坐标系

坐标 $(s,\phi,z)$，$x = s\cos\phi$，$y = s\sin\phi$，$z=z$。

线元、体元：

$$\begin{align} \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \mathrm{d}s\,\hat{\boldsymbol{s}} + s\mathrm{d}\phi\,\hat{\boldsymbol{\phi}} + \mathrm{d}z\,\hat{\boldsymbol{z}}, \quad \mathrm{d}\tau = s\,\mathrm{d}s\mathrm{d}\phi\mathrm{d}z \end{align}$$

梯度：

$$\begin{align} \nabla T = \frac{\partial T}{\partial s}\hat{\boldsymbol{s}} + \frac{1}{s}\frac{\partial T}{\partial\phi}\hat{\boldsymbol{\phi}} + \frac{\partial T}{\partial z}\hat{\boldsymbol{z}} \end{align}$$

散度：

$$\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{v} = \frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}(s v_s) + \frac{1}{s}\frac{\partial v_\phi}{\partial\phi} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \end{align}$$

旋度：

$$\begin{align} \nabla\times\boldsymbol{v} = \left(\frac{1}{s}\frac{\partial v_z}{\partial\phi}-\frac{\partial v_\phi}{\partial z}\right)\hat{\boldsymbol{s}} + \left(\frac{\partial v_s}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial s}\right)\hat{\boldsymbol{\phi}} + \frac{1}{s}\left[\frac{\partial}{\partial s}(s v_\phi)-\frac{\partial v_s}{\partial\phi}\right]\hat{\boldsymbol{z}} \end{align}$$

拉普拉斯算符：

$$\begin{align} \nabla^2 T = \frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}\left(s\frac{\partial T}{\partial s}\right) + \frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 T}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} \end{align}$$

狄拉克δ函数

一维δ函数满足

$$\begin{align} \delta(x) = 0 \ (x \neq 0), \quad \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,\mathrm{d}x = 1, \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-a)\,\mathrm{d}x = f(a) \end{align}$$

性质：

• 偶函数：$\delta(-x)=\delta(x)$
• 缩放：$\delta(kx) = \dfrac{1}{|k|}\delta(x)$
• 与函数乘积：$f(x)\delta(x-a) = f(a)\delta(x-a)$

三维δ函数：

$$\begin{align} \delta^3(\boldsymbol{r}) = \delta(x)\delta(y)\delta(z), \quad \iiint f(\boldsymbol{r})\,\delta^3(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a})\,\mathrm{d}\tau = f(\boldsymbol{a}) \end{align}$$

重要恒等式：

$$\begin{align} \nabla\cdot\left(\frac{\boldsymbol{r}}{r^3}\right) = 4\pi\delta^3(\boldsymbol{r}), \quad \nabla^2\left(\frac{1}{r}\right) = -4\pi\delta^3(\boldsymbol{r}) \end{align}$$

矢量场理论

亥姆霍兹定理

矢量场 $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$ 由其散度 $D(\boldsymbol{r})=\nabla\cdot\boldsymbol{F}$ 和旋度 $\boldsymbol{C}(\boldsymbol{r})=\nabla\times\boldsymbol{F}$ 唯一确定，当 $r\to\infty$ 时 $\boldsymbol{F}\to 0$，且 $D$ 和 $\boldsymbol{C}$ 趋于零的速度比 $1/r^2$ 更快。

势的形式

• 无旋场：若 $\nabla\times\boldsymbol{F}=0$，则 $\boldsymbol{F} = \nabla V$。
• 无散场：若 $\nabla\cdot\boldsymbol{F}=0$，则 $\boldsymbol{F} = \nabla\times\boldsymbol{A}$。

张量初步

定义

二阶张量 $\boldsymbol{T}$ 可表示为

$$\begin{align} \boldsymbol{T} = \sum_{i,j} T_{ij}\, \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j \end{align}$$

$T_{ij}$ 是在 $j$ 方向单位面积上沿 $i$ 方向的力。

张量变换规则

坐标变换 $\tilde{A}_i = \sum_j R_{ij}A_j$ 下，二阶张量变换为

$$\begin{align} \tilde{T}_{ij} = \sum_{k,l} R_{ik} R_{jl} T_{kl} \end{align}$$

即矩阵形式 $\tilde{\mathsf{T}} = \mathsf{R}\mathsf{T}\mathsf{R}^{\mathsf{T}}$。

张量运算

• $(\boldsymbol{T}+\boldsymbol{P})_{ij} = T_{ij} + P_{ij}$
• $(\boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{P})_{ij} = \sum_k T_{ik} P_{kj}$
• $(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{T})_i = \sum_j v_j T_{ji}$，$(\boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{v})_i = \sum_j v_j T_{ij}$
• $(\nabla\cdot\boldsymbol{T})_i = \sum_j \partial T_{ji}/\partial x_j$