经典力学的哈密顿理论

26 年 5 月 22 日 星期五 (已编辑)
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物理 理论力学 哈密顿力学 正则方程 正则变换 泊松括号 哈密顿-雅可比方程

哈密顿正则方程

广义动量与哈密顿函数

对于保守体系，定义广义动量（正则动量）

pα=∂L∂q˙α\begin{align} p_\alpha = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} \end{align}

哈密顿函数 H(q,p,t)H(q,p,t) 通过勒让德变换定义为

H=∑α=1spαq˙α−L\begin{align} H = \sum_{\alpha=1}^s p_\alpha \dot{q}_\alpha - L \end{align}

HH 是 (qα,pα,t)(q_\alpha, p_\alpha, t) 的函数，与拉格朗日函数 L(q,q˙,t)L(q, \dot{q}, t) 等价但视角不同。

哈密顿函数与能量的关系

当约束稳定且势能与速度无关时，动能 TT 是 q˙\dot{q} 的二次齐次函数：

∑αpαq˙α=2T\begin{align} \sum_\alpha p_\alpha \dot{q}_\alpha = 2T \end{align}

因此 H=2T−(T−V)=T+VH = 2T - (T - V) = T + V，即系统的机械能。若条件不满足，HH 是广义能量。

哈密顿正则方程

q˙α=∂H∂pα,p˙α=−∂H∂qα,α=1,2,…,s\begin{align} \dot{q}_\alpha = \frac{\partial H}{\partial p_\alpha}, \quad \dot{p}_\alpha = -\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \end{align}

相空间

相空间是由 (qα,pα)(q_\alpha, p_\alpha) 张成的 2s2s 维空间。系统状态对应相空间中的一个点，演化对应一条相轨迹。

重要性质：若 HH 不显含时间，相轨迹不相交。

刘维尔定理：在哈密顿正则方程支配下，相空间中的体积元在演化过程中保持不变。

变分法与哈密顿原理

欧拉-拉格朗日方程

泛函 J[y]=∫x1x2F(x,y,y′) dxJ[y] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y, y') \,\mathrm{d}x 取极值的必要条件为

∂F∂y−ddx∂F∂y′=0\begin{align} \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial F}{\partial y'} = 0 \end{align}

若 FF 不显含 xx，存在初积分 F−y′∂F∂y′=常数F - y' \dfrac{\partial F}{\partial y'} = \text{常数}。

哈密顿原理

哈密顿作用量：

S=∫t1t2L(q,q˙,t) dt\begin{align} S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot{q}, t) \,\mathrm{d}t \end{align}

哈密顿原理：δS=0\delta S = 0，真实运动使作用量取极值。

由 δS=0\delta S = 0 可导出：

  • 位形空间：拉格朗日方程
  • 相空间：哈密顿正则方程

莫培督原理（等能变分）

δ∫∑αpα dqα=0\begin{align} \delta \int \sum_\alpha p_\alpha \,\mathrm{d}q_\alpha = 0 \end{align}

适用于能量固定的情况，适合分析轨道问题。

正则变换

定义

正则变换 (q,p)→(Q,P)(q,p) \to (Q,P) 保持正则方程的形式不变。

四类母函数

母函数自变量变换公式H′H' 关系
F1(q,Q,t)F_1(q,Q,t)(q,Q)(q,Q)p=∂F1/∂qp = \partial F_1/\partial q，P=−∂F1/∂QP = -\partial F_1/\partial QH′=H+∂F1/∂tH' = H + \partial F_1/\partial t
F2(q,P,t)F_2(q,P,t)(q,P)(q,P)p=∂F2/∂qp = \partial F_2/\partial q，Q=∂F2/∂PQ = \partial F_2/\partial PH′=H+∂F2/∂tH' = H + \partial F_2/\partial t
F3(p,Q,t)F_3(p,Q,t)(p,Q)(p,Q)q=−∂F3/∂pq = -\partial F_3/\partial p，P=−∂F3/∂QP = -\partial F_3/\partial QH′=H+∂F3/∂tH' = H + \partial F_3/\partial t
F4(p,P,t)F_4(p,P,t)(p,P)(p,P)q=−∂F4/∂pq = -\partial F_4/\partial p，Q=∂F4/∂PQ = \partial F_4/\partial PH′=H+∂F4/∂tH' = H + \partial F_4/\partial t

用泊松括号判别正则变换

变换是正则变换的充要条件：

[Qα,Qβ]q,p=0,[Pα,Pβ]q,p=0,[Qα,Pβ]q,p=δαβ\begin{align} [Q_\alpha, Q_\beta]_{q,p} = 0, \quad [P_\alpha, P_\beta]_{q,p} = 0, \quad [Q_\alpha, P_\beta]_{q,p} = \delta_{\alpha\beta} \end{align}

泊松括号

定义

[f,g]=∑α=1s(∂f∂qα∂g∂pα−∂f∂pα∂g∂qα)\begin{align} [f, g] = \sum_{\alpha=1}^s \left( \frac{\partial f}{\partial q_\alpha} \frac{\partial g}{\partial p_\alpha} - \frac{\partial f}{\partial p_\alpha} \frac{\partial g}{\partial q_\alpha} \right) \end{align}

力学量的时间演化

dfdt=[f,H]+∂f∂t\begin{align} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = [f, H] + \frac{\partial f}{\partial t} \end{align}

运动积分判据

不显含时间的 ff 是运动积分   ⟺  [f,H]=0\iff [f, H] = 0。

基本性质

  • 反对称性：[f,g]=−[g,f][f, g] = -[g, f]
  • 双线性：[af+bg,h]=a[f,h]+b[g,h][af + bg, h] = a[f, h] + b[g, h]
  • 莱布尼茨法则：[fg,h]=f[g,h]+[f,h]g[fg, h] = f[g, h] + [f, h]g
  • 基本泊松括号：[qα,qβ]=[pα,pβ]=0[q_\alpha, q_\beta] = [p_\alpha, p_\beta] = 0，[qα,pβ]=δαβ[q_\alpha, p_\beta] = \delta_{\alpha\beta}
  • 雅可比恒等式：[f,[g,h]]+[g,[h,f]]+[h,[f,g]]=0[f, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]] = 0

泊松定理

若 ff 和 gg 均为运动积分，则 [f,g][f, g] 也是运动积分。

哈密顿-雅可比方程

哈密顿主函数

选择第二类母函数 S(q,P,t)S(q, P, t)（哈密顿主函数），令 H′=0H' = 0：

H(q1,…,qs,∂S∂q1,…,∂S∂qs,t)+∂S∂t=0\begin{align} H\left(q_1, \dots, q_s, \frac{\partial S}{\partial q_1}, \dots, \frac{\partial S}{\partial q_s}, t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 \end{align}

这就是哈密顿-雅可比方程。

哈密顿特征函数

若 HH 不显含时间（能量守恒），设 S=W(q,P)−E(P)tS = W(q, P) - E(P)t：

H(q,∂W∂q)=E(P)\begin{align} H\left(q, \frac{\partial W}{\partial q}\right) = E(P) \end{align}

WW 称为哈密顿特征函数。

分离变量法

若哈密顿函数可分离变量，设 W=W1(q1)+⋯+Ws(qs)W = W_1(q_1) + \cdots + W_s(q_s)，代入哈-雅方程后得到 ss 个常微分方程。

由 SS 求运动

  1. 轨道方程：∂S/∂Pα=常数\partial S / \partial P_\alpha = \text{常数}
  2. 运动方程：∂S/∂E=t−t0\partial S / \partial E = t - t_0
  3. 动量：pα=∂S/∂qαp_\alpha = \partial S / \partial q_\alpha

作用量-角变量

对于周期运动系统：

J=∮p dq\begin{align} J = \oint p \,\mathrm{d}q \end{align}

JJ 是运动积分（绝热不变量），角变量 w˙=ν=∂H/∂J\dot{w} = \nu = \partial H / \partial J。

小结

  • 哈密顿正则方程：q˙=∂H/∂p\dot{q} = \partial H / \partial p，p˙=−∂H/∂q\dot{p} = -\partial H / \partial q
  • 哈密顿原理：δS=0\delta S = 0，是力学的第一性原理
  • 正则变换保持正则方程形式不变，四类母函数生成所有正则变换
  • 泊松括号是相空间的基本代数结构，运动积分判据 [f,H]=0[f, H] = 0
  • 哈密顿-雅可比方程 H(q,∂S/∂q,t)+∂S/∂t=0H(q, \partial S / \partial q, t) + \partial S / \partial t = 0 是求解力学问题的最一般方法
物理理论力学哈密顿力学正则方程正则变换泊松括号哈密顿-雅可比方程

·文章标题：经典力学的哈密顿理论

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文是哈密顿理论的核心笔记，系统介绍从拉格朗日力学到哈密顿力学的过渡，包括正则方程、哈密顿原理、变分法、正则变换与四类母函数、泊松括号及其性质、哈密顿-雅可比方程与分离变量法，以及作用量-角变量理论。

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