流体

26 年 6 月 17 日 星期三 (已编辑)
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物理 理论力学 流体力学 连续性方程 欧拉方程 伯努利方程

流体的两种描述方法

拉格朗日描述

追踪每个流体元（流元）的运动轨迹，类似于质点力学。每个流元用其初始位置 X\boldsymbol{X} 标记，其当前位置为 r(X,t)\boldsymbol{r}(\boldsymbol{X}, t)。

欧拉描述

观察空间固定点上的流体状态（速度、密度、压强等），用场量 v(x,t)\boldsymbol{v}(\boldsymbol{x}, t)、ρ(x,t)\rho(\boldsymbol{x}, t)、p(x,t)p(\boldsymbol{x}, t) 描述。

物质导数

物质导数 ddt\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} 跟随流体元：

ddt=∂∂t+v⋅∇\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \nabla \end{align}

物理意义：∂∂t\dfrac{\partial}{\partial t} 表示固定点的变化，v⋅∇\boldsymbol{v} \cdot \nabla 表示对流变化。

连续性方程（质量守恒）

积分形式

单位时间内，控制体内质量的变化率等于通过控制面流入的净质量流：

ddt∫Vρ dV=−∮∂Vρv⋅dS\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_V \rho \,\mathrm{d}V = -\oint_{\partial V} \rho \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} \end{align}

微分形式

由散度定理可得

∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0\begin{align} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0 \end{align}

对于不可压缩流体（ρ=常数\rho = \text{常数}）：

∇⋅v=0\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{v} = 0 \end{align}

理想流体的欧拉方程（动量守恒）

受力分析

理想流体（无黏性）中，作用于流体元的力有：

  • 体积力：ρf dV\rho \boldsymbol{f} \,\mathrm{d}V（如重力 f=g\boldsymbol{f} = \boldsymbol{g}）
  • 表面力：−∇p dV-\nabla p \,\mathrm{d}V（压强梯度力）

欧拉方程

由牛顿第二定律 ρ dV⋅a=F\rho \,\mathrm{d}V \cdot \boldsymbol{a} = \boldsymbol{F}，得

ρdvdt=−∇p+ρf\begin{align} \rho \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} = -\nabla p + \rho \boldsymbol{f} \end{align}

展开物质导数：

ρ(∂v∂t+v⋅∇v)=−∇p+ρf\begin{align} \rho \left( \frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + \boldsymbol{v} \cdot \nabla \boldsymbol{v} \right) = -\nabla p + \rho \boldsymbol{f} \end{align}

定常流动

对于定常流动（∂v/∂t=0\partial \boldsymbol{v}/\partial t = 0），欧拉方程简化为

ρ(v⋅∇)v=−∇p+ρf\begin{align} \rho (\boldsymbol{v} \cdot \nabla) \boldsymbol{v} = -\nabla p + \rho \boldsymbol{f} \end{align}

伯努利方程（能量守恒）

推导

对欧拉方程沿流线积分，利用恒等式 (v⋅∇)v=∇(12v2)−v×(∇×v)(\boldsymbol{v} \cdot \nabla)\boldsymbol{v} = \nabla(\frac{1}{2} v^2) - \boldsymbol{v} \times (\nabla \times \boldsymbol{v})，在无旋流动中可得

12v2+Φ+pρ=常数(沿流线)\begin{align} \frac{1}{2} v^2 + \Phi + \frac{p}{\rho} = \text{常数} \quad (\text{沿流线}) \end{align}

其中 Φ\Phi 是单位质量的势能（如 Φ=gz\Phi = gz）。

适用条件

  1. 定常流动（∂/∂t=0\partial/\partial t = 0）
  2. 无黏性流体（理想流体）
  3. 不可压缩流体（ρ=常数\rho = \text{常数}）
  4. 沿同一条流线

伯努利方程的物理意义

12ρv2+ρΦ+p=常数\begin{align} \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho \Phi + p = \text{常数} \end{align}
  • 12ρv2\frac{1}{2} \rho v^2：动压（单位体积动能）
  • ρΦ\rho \Phi：势能密度
  • pp：静压

应用：托里拆利定理

小孔出流速度：

v=2gh\begin{align} v = \sqrt{2gh} \end{align}

即液体从小孔流出的速度等于从液面自由下落到小孔高度的速度。

涡量与环量

涡量

涡量定义为速度场的旋度：

ω=∇×v\begin{align} \boldsymbol{\omega} = \nabla \times \boldsymbol{v} \end{align}

无旋流动 ω=0\boldsymbol{\omega} = 0，存在速度势 ϕ\phi 使 v=∇ϕ\boldsymbol{v} = \nabla \phi。

环量

环量定义为速度沿闭合曲线的线积分：

Γ=∮Cv⋅dl=∫S(∇×v)⋅dS\begin{align} \Gamma = \oint_C \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \int_S (\nabla \times \boldsymbol{v}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} \end{align}

开尔文环量定理

对于理想流体（无黏、正压、外力有势），沿随流体运动的闭合曲线的环量守恒：

dΓdt=0\begin{align} \frac{\mathrm{d}\Gamma}{\mathrm{d}t} = 0 \end{align}

这是流体力学中最基本的守恒定理之一。

亥姆霍兹涡量定理

  1. 涡线随流体运动
  2. 涡管强度（环量）守恒
  3. 无旋流动保持无旋

这些定理是理想流体涡动力学的基础。

理想流体的几个重要结论

  1. 不可压缩理想流体的无旋流动：速度势 ϕ\phi 满足拉普拉斯方程 ∇2ϕ=0\nabla^2 \phi = 0
  2. 伯努利方程在全空间成立：若流动无旋，伯努利常数在整个流场中相同
  3. 开尔文定理：理想流体中涡量不能凭空产生或消失

小结

  • 流体力学有两种描述：拉格朗日描述（追踪流元）和欧拉描述（观察空间点）
  • 连续性方程：∂ρ/∂t+∇⋅(ρv)=0\partial \rho / \partial t + \nabla \cdot (\rho \boldsymbol{v}) = 0
  • 欧拉方程：ρ(∂v/∂t+v⋅∇v)=−∇p+ρf\rho (\partial \boldsymbol{v} / \partial t + \boldsymbol{v} \cdot \nabla \boldsymbol{v}) = -\nabla p + \rho \boldsymbol{f}
  • 伯努利方程：12v2+Φ+p/ρ=常数\frac{1}{2} v^2 + \Phi + p/\rho = \text{常数}（沿流线）
  • 涡量 ω=∇×v\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \boldsymbol{v}，环量 Γ=∮v⋅dl\Gamma = \oint \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}
  • 开尔文环量定理：理想流体中环量守恒
物理理论力学流体力学连续性方程欧拉方程伯努利方程

·文章标题：流体

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文介绍流体力学的基本概念和方程，包括拉格朗日描述与欧拉描述、连续性方程（质量守恒）、理想流体的欧拉方程（动量守恒）、伯努利方程（能量守恒），以及涡量与环量的概念。

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