幂级数展开

复数项级数

基本概念

复数项级数是指形如

的无穷和，其中 $w_n$ 为复数。其收敛性可归结为实部和虚部两个实级数的收敛性。

定义：若部分和 $S_N = \sum_{n=1}^{N} w_n$ 当 $N \to \infty$ 时趋于有限复数 $S$，则称级数收敛于 $S$，否则发散。

收敛的必要条件：若级数收敛，则通项 $w_n \to 0$（$n\to\infty$）。但这不充分，例如调和级数。

绝对收敛与条件收敛

若 $\sum_{n=1}^{\infty} |w_n|$ 收敛，则称原级数 绝对收敛。绝对收敛的级数必收敛，且其和与项的顺序无关（可重排）。若收敛但不绝对收敛，则称 条件收敛。

判别法：通常借助正项级数判别法（如比值法、根值法）判断绝对收敛性。

幂级数

幂级数是形如

的函数项级数，其中 $a_n$ 为复常数，$z$ 为复变量。

收敛半径

对于给定的幂级数，存在一个非负数 $R$（可能为 $0$ 或 $+\infty$），使得：

• 当 $|z - z_0| < R$ 时，级数绝对收敛；
• 当 $|z - z_0| > R$ 时，级数发散；
• 当 $|z - z_0| = R$ 时，级数可能收敛也可能发散，需单独判断。

$R$ 称为 收敛半径，可由 Cauchy-Hadamard 公式计算：

或当极限存在时，$R = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$。

幂级数的性质

在收敛圆内，幂级数具有以下良好性质：

1. 和函数解析：和函数 $f(z) = \sum a_n (z-z_0)^n$ 在收敛圆内解析。
2. 逐项可导：可在收敛圆内逐项求导任意多次，且求导后的级数收敛半径不变。
3. 逐项可积：沿收敛圆内的任意曲线可逐项积分。

泰勒级数展开

定理（Taylor展开）

若 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，$z_0 \in D$，则 $f(z)$ 可在 $z_0$ 的邻域 $|z - z_0| < R$ 内展开为幂级数：

其中系数

$C$ 是以 $z_0$ 为圆心、半径小于 $R$ 的圆周（方向逆时针）。该展开式在圆内唯一。

说明：泰勒展开是解析函数在圆域内的幂级数表示，它是实函数泰勒公式的推广。

例子

• $e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}$，收敛半径 $R = \infty$。
• $\sin z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$，$R = \infty$。
• $\frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^{\infty} z^n$，$|z| < 1$。

解析延拓

解析延拓是将一个在某区域 $D$ 内解析的函数 $f(z)$ 拓展到更大的区域 $D' \supset D$，使得拓展后的函数在 $D'$ 内解析，且在 $D$ 内与原函数相同。根据解析函数的唯一性定理，若存在这样的延拓，则延拓是唯一的。

例如，级数 $\sum_{n=0}^{\infty} z^n$ 在 $|z|<1$ 内收敛到 $1/(1-z)$，而 $1/(1-z)$ 在除 $z=1$ 外的整个复平面解析，因此它给出了原级数在全平面（除奇点外）的解析延拓。

解析延拓是复变函数特有的一种方法，它使得我们能够突破幂级数收敛半径的限制，将函数定义域扩大。

洛朗级数展开

对于在圆环域（环形区域）内解析的函数，泰勒展开不再适用（因为函数可能在环内某点不解析），此时需用洛朗级数展开。

洛朗级数的形式

设 $f(z)$ 在圆环域 $R_1 < |z - z_0| < R_2$（$0 \le R_1 < R_2 \le \infty$）内解析，则 $f(z)$ 可展开为

其中系数

$C$ 是环域内任意一条绕 $z_0$ 一周的简单闭合曲线（逆时针方向）。该展开在环域内绝对收敛且内闭一致收敛。

说明：

• 当 $n<0$ 时，$(z-z_0)^n$ 表示负幂次项，反映函数在 $z_0$ 附近的行为。
• 洛朗级数包含两部分：正则部分 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-z_0)^n$（泰勒级数部分）和主要部分 $\sum_{n=-\infty}^{-1} c_n (z-z_0)^n$（负幂项）。
• 若 $f(z)$ 在 $|z-z_0|<R_2$ 内解析（即环的内径 $R_1=0$ 且无奇点），则所有负幂项系数 $c_n (n<0)$ 为零，洛朗级数退化为泰勒级数。

收敛环的理解

洛朗级数的收敛区域是一个圆环（可能退化为圆或无穷远点环）。在环域内，函数可以唯一地表示为洛朗级数。不同的解析函数在相同环域内的洛朗展开不同。

求洛朗展开的方法

常用方法包括：

1. 直接利用系数公式计算积分（但通常较复杂）。
2. 利用已知的泰勒展开进行代数运算、逐项求导或积分。
3. 通过变量替换化为标准形式。

例子

例1：函数 $f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)}$ 在环域 $1<|z|<2$ 内展开为洛朗级数。

解：将 $f(z)$ 分解为部分分式：$f(z) = \frac{1}{z-2} - \frac{1}{z-1}$。

• 对于 $|z|<2$，有 $\frac{1}{z-2} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1 - z/2} = -\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{z}{2}\right)^n = -\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^{n+1}}$。
• 对于 $|z|>1$，有 $\frac{1}{z-1} = \frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1 - 1/z} = \frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty} z^{-n} = \sum_{m=1}^{\infty} z^{-m}$（其中 $m=n+1$）。

因此，在 $1<|z|<2$ 内，

该展开式中既包含正幂项（$n\ge0$）也包含负幂项（$m\ge1$）。

例2：函数 $f(z) = e^{1/z}$ 在 $0<|z|<\infty$ 内展开为洛朗级数。

解：利用 $e^w = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{w^n}{n!}$，令 $w = 1/z$，得

这里只有负幂项（包括常数项 $n=0$，可视为 $z^0$ 项）。

洛朗级数能刻画函数在孤立奇点附近的性质，是研究奇点分类和留数计算的基础。

孤立奇点的分类

如果 $f(z)$ 在 $z_0$ 处不解析，但在 $z_0$ 的某个去心邻域 $0<|z-z_0|<\delta$ 内解析，则称 $z_0$ 为 $f(z)$ 的 孤立奇点。

根据 $f(z)$ 在 $z_0$ 的去心邻域内的洛朗展开中负幂项的情况，将孤立奇点分为三类：

1. 可去奇点：洛朗展开中不含负幂项（即 $c_n=0$ 对所有 $n<0$）。此时 $\lim_{z\to z_0} f(z)$ 存在有限，只需重新定义 $f(z_0)$ 即可使函数解析。例如 $f(z)=\frac{\sin z}{z}$ 在 $z=0$ 处是可去奇点。

2. 极点：洛朗展开中只有有限个负幂项，即存在正整数 $m$ 使得 $c_{-m} \neq 0$ 但 $c_{-k}=0$ 对所有 $k>m$。此时 $\lim_{z\to z_0} f(z) = \infty$，$m$ 称为极点的阶。例如 $f(z)=\frac{1}{(z-1)^2}$ 在 $z=1$ 处为二阶极点。

3. 本性奇点：洛朗展开中有无穷多个负幂项。此时 $\lim_{z\to z_0} f(z)$ 不存在且不为 $\infty$（即极限不存在，可能震荡）。例如 $f(z)=e^{1/z}$ 在 $z=0$ 处为本性奇点。

区分孤立奇点类型的关键在于洛朗级数中负幂项的数目。可去奇点可以“修复”为解析点，极点对应函数的“爆破”，而本性奇点附近函数值表现出极端混乱的行为（魏尔斯特拉斯定理指出，在本性奇点的任意邻域内，函数可以无限接近任何复数）。