标势和矢势

由 $\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0$ 引入矢势 $\boldsymbol{A}$，$\boldsymbol{B} = \nabla\times\boldsymbol{A}$。

由法拉第定律引入标势 $V$，$\boldsymbol{E} = -\nabla V - \dfrac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}$。

规范变换

物理量 $\boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 在以下变换下不变：

$$\begin{align} \boldsymbol{A}' = \boldsymbol{A} + \nabla\lambda, \quad V' = V - \frac{\partial\lambda}{\partial t} \end{align}$$

洛伦兹规范

$$\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{A} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial V}{\partial t} = 0 \end{align}$$

在该规范下，$\boldsymbol{A}$ 和 $V$ 满足非齐次波动方程：

$$\begin{align} \Box^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0}, \quad \Box^2 \boldsymbol{A} = -\mu_0\boldsymbol{J} \end{align}$$

其中 $\Box^2 = \nabla^2 - \dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}$ 是达朗贝尔算符。

库仑规范

$\nabla\cdot\boldsymbol{A}=0$，$V$ 满足泊松方程（瞬时的），但 $\boldsymbol{A}$ 的方程复杂。

推迟势

$$\begin{align} V(\boldsymbol{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{\rho(\boldsymbol{r}',t_r)}{\mathscr{r}}\,\mathrm{d}\tau', \quad \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}',t_r)}{\mathscr{r}}\,\mathrm{d}\tau' \end{align}$$

其中 $t_r = t - \mathscr{r}/c$ 是推迟时间。

杰菲缅科方程

电场和磁场的显式表达式：

$$\begin{align} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int \left[\frac{\rho(\boldsymbol{r}',t_r)}{\mathscr{r}^2}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} + \frac{\dot{\rho}(\boldsymbol{r}',t_r)}{c\mathscr{r}}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} - \frac{\dot{\boldsymbol{J}}(\boldsymbol{r}',t_r)}{c^2\mathscr{r}}\right]\mathrm{d}\tau' \end{align}$$ $$\begin{align} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \left[\frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}',t_r)}{\mathscr{r}^2} + \frac{\dot{\boldsymbol{J}}(\boldsymbol{r}',t_r)}{c\mathscr{r}}\right]\times\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\,\mathrm{d}\tau' \end{align}$$

李纳-维谢尔势

运动点电荷的势：

$$\begin{align} V(\boldsymbol{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\mathscr{r}(1-\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\cdot\boldsymbol{v}/c)}, \quad \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t) = \frac{\boldsymbol{v}}{c^2}V \end{align}$$

其中 $\boldsymbol{\mathscr{r}} = \boldsymbol{r} - \boldsymbol{w}(t_r)$，$\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{w}}(t_r)$。

运动点电荷的场

定义 $\boldsymbol{u} = c\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}} - \boldsymbol{v}$，则

$$\begin{align} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\mathscr{r}}{(\boldsymbol{\mathscr{r}}\cdot\boldsymbol{u})^3}\left[(c^2-v^2)\boldsymbol{u} + \boldsymbol{\mathscr{r}}\times(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a})\right] \end{align}$$ $$\begin{align} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) = \frac{1}{c}\hat{\boldsymbol{\mathscr{r}}}\times\boldsymbol{E} \end{align}$$

其中 $\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}$ 是加速度（在推迟时刻）。

速度场（$1/r^2$ 项）和加速度场（$1/r$ 项，辐射场）。