理论力学期中复习

26 年 4 月 25 日星期六

(已编辑)

2104 字

11 分钟

物理 / 理论力学

物理理论力学期中复习分析力学拉格朗日方程对称性中心势场微振动

一、牛顿力学基础

牛顿三定律与常见坐标系

第一定律：惯性参考系中物体保持静止或匀速直线运动。
第二定律： $\boldsymbol{F} = \mathrm{d}\boldsymbol{p}/\mathrm{d}t$ ，质量恒定则为 $\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}$ 。
第三定律： $\boldsymbol{F}_{12} = -\boldsymbol{F}_{21}$ 。

在不同坐标系下，加速度分量需要熟悉：

平面极坐标： $a_r = \ddot{r} - r\dot{\theta}^2$ ， $a_\theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}$
自然坐标： $a_t = \ddot{s}$ ， $a_n = v^2/\rho$

质点系与守恒定律

质心： $\boldsymbol{r}_c = \sum m_i \boldsymbol{r}_i / M$ ，质心运动定理： $M\ddot{\boldsymbol{r}}_c = \boldsymbol{F}^{\text{(ext)}}$
动量定理： $\mathrm{d}\boldsymbol{P}/\mathrm{d}t = \boldsymbol{F}^{\text{(ext)}}$
角动量定理： $\mathrm{d}\boldsymbol{L}/\mathrm{d}t = \boldsymbol{M}^{\text{(ext)}}$ ，有心力下角动量守恒
动能定理： $\mathrm{d}T = \boldsymbol{F}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}$ ，保守力下机械能守恒

二、分析力学基础

约束与广义坐标

约束：对质点系运动的几何或运动学限制。

完整约束：只含坐标（和时间）的等式约束 $f(\boldsymbol{r}_i,t)=0$ ，或可积分的微分约束。
非完整约束：含有速度且不可积分。
自由度：完整体系中独立坐标个数 $s = 3n - k$ （ $n$ 质点数， $k$ 完整约束数）。

广义坐标 $q_1,\dots,q_s$ ：任意一组完全确定系统位形的独立参数。

虚位移与虚功

虚位移 $\delta\boldsymbol{r}$ ：满足瞬时约束的无限小位移，与时间变化无关。
虚功： $\delta W = \boldsymbol{F}\cdot\delta\boldsymbol{r}$ 。
理想约束：约束反力在任意虚位移上总虚功为零：
$\begin{align} \sum_i \boldsymbol{N}_i \cdot \delta\boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}$
光滑曲面、无质量刚性杆、纯滚动、不可伸长绳等均属理想约束。

达朗贝尔方程

从牛顿第二定律出发，引入惯性力，在理想约束下得到不含约束力的动力学方程：

\begin{align} \sum_i (\boldsymbol{F}_i - m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i) \cdot \delta\boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}

静力学特例 → 虚功原理： $\sum_i \boldsymbol{F}_i \cdot \delta\boldsymbol{r}_i = 0$ 。

三、拉格朗日方程

一般形式

对于 理想、完整体系，定义广义力

\begin{align} Q_\alpha = \sum_i \boldsymbol{F}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \end{align}

拉格朗日方程为

\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_\alpha} = Q_\alpha, \quad \alpha=1,\dots,s \end{align}

保守体系的拉格朗日方程

若主动力为保守力， $\boldsymbol{F}_i = -\nabla_i V$ ，引入拉格朗日函数 $L = T - V$ ，有

\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_\alpha} = 0 \end{align}

此形式与坐标选择无关（协变性），且不含约束力。

解题步骤

判断约束类型，确定自由度 $s$ 。
选取广义坐标 $q_\alpha$ 。
写出动能 $T(q,\dot{q},t)$ 和势能 $V(q,t)$ ，构造 $L = T - V$ 。
若有非保守力，计算广义力。
代入拉格朗日方程，得到 $s$ 个二阶常微分方程。

四、平衡问题与广义力

平衡条件

由虚功原理，平衡时广义力为零：

\begin{align} Q_\alpha = 0, \quad \alpha=1,\dots,s \end{align}

对保守体系等价于 $\partial V / \partial q_\alpha = 0$ ，即势能取极值。

稳定平衡：势能取极小值，二阶偏导数矩阵正定。
不稳定平衡：势能取极大值或鞍点。

利用平衡求约束力（释放约束法）

解除欲求约束力对应的约束。
将约束力视为主动力，在相应虚位移上做功。
平衡条件 $\delta W = 0$ 求解该力。

五、对称性与守恒定律

运动积分

运动积分是坐标、速度和时间的函数，在运动过程中保持常数。

广义能量积分

若 $L$ 不显含时间（ $\partial L / \partial t = 0$ ），则

\begin{align} H = \sum_\alpha \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} \dot{q}_\alpha - L = \text{常数} \end{align}

稳定约束下，动能是广义速度的二次齐次函数， $H = T + V$ 即机械能。
否则 $H$ 只是广义能量，不一定是机械能。

循环坐标与广义动量守恒

若 $L$ 不显含某坐标 $q_\alpha$ （循环坐标），则对应的广义动量守恒：

\begin{align} p_\alpha = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} = \text{常数} \end{align}

诺特定理

连续对称性必然导出守恒量：

空间平移对称性 → 动量守恒
空间旋转对称性 → 角动量守恒
时间平移对称性 → 广义能量守恒

六、瞬时力问题

积分形式的拉格朗日方程

冲击过程中时间极短，坐标可认为不变，速度突变。对拉格朗日方程在 $[t_0, t_0+\varepsilon]$ 上积分取极限：

\begin{align} \Delta p_\alpha = \left[\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha}\right]_{t_0^-}^{t_0^+} = \hat{Q}_\alpha \end{align}

其中 $\hat{Q}_\alpha = \int Q_\alpha \mathrm{d}t$ 为广义冲量，可由主动力冲量求得：

\begin{align} \hat{Q}_\alpha = \sum_i \boldsymbol{I}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \end{align}

碰撞问题

恢复系数 $e = \dfrac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}$ ，描述弹性程度。
利用积分形式方程和恢复系数可求解碰撞后速度及能量损失。

七、中心势场与两体问题

两体约化

两质点相互作用势 $V(|\boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2|)$ 下，引入质心坐标 $\boldsymbol{R}$ 和相对坐标 $\boldsymbol{r}$ ：

\begin{align} L = \frac{1}{2} M \dot{\boldsymbol{R}}^2 + \frac{1}{2} \mu \dot{\boldsymbol{r}}^2 - V(r) \end{align}

其中 $M=m_1+m_2$ ，约化质量 $\mu = m_1 m_2/(m_1+m_2)$ 。

质心运动：匀速直线运动。
相对运动：质量为 $\mu$ 的单粒子在中心势场 $V(r)$ 中的运动。

中心势场中的守恒量与有效势

角动量守恒： $p_\theta = \mu r^2 \dot{\theta} \equiv l$ （运动限制在平面内）
能量守恒： $E = \frac{1}{2}\mu \dot{r}^2 + \frac{l^2}{2\mu r^2} + V(r)$

有效势能：

\begin{align} V_{\text{eff}}(r) = \frac{l^2}{2\mu r^2} + V(r) \end{align}

径向运动化为一维问题： $E = \frac{1}{2}\mu \dot{r}^2 + V_{\text{eff}}(r)$ 。

轨道方程与比耐公式

利用 $u = 1/r$ 将径向方程转变为轨道方程：

\begin{align} \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{\mu}{l^2 u^2} F\!\left(\frac{1}{u}\right) \end{align}

平方反比引力 $F = -k/r^2$ 的解为圆锥曲线：

\begin{align} \frac{1}{r} = \frac{\mu k}{l^2}\big[1 + e\cos(\theta - \theta_0)\big] \end{align}

偏心率 $e = \sqrt{1 + \dfrac{2E l^2}{\mu k^2}}$ ：

$E<0$ ， $0\le e<1$ ：椭圆（ $e=0$ 为圆）
$E=0$ ， $e=1$ ：抛物线
$E>0$ ， $e>1$ ：双曲线

圆轨道稳定条件：有效势能二阶导数 $V_{\text{eff}}''(r_0) > 0$ 。平方反比力场中圆轨道稳定。

八、弹性碰撞与散射截面

质心系与实验室系

质心系总动量为零，碰撞前后两粒子速度大小不变，仅方向偏转 $\theta_{\text{cm}}$ 。

实验室系与质心系散射角关系（靶初始静止）：

\begin{align} \tan\theta_{\text{lab}} = \frac{\sin\theta_{\text{cm}}}{\cos\theta_{\text{cm}} + m_1/m_2} \end{align}

散射截面

微分散射截面：

\begin{align} \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = \left|\frac{b}{\sin\theta}\frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta}\right| \end{align}

卢瑟福散射

库仑排斥势 $V = \alpha/r$ 下，散射角 $\theta$ 与碰撞参数 $b$ 的关系：

\begin{align} b = \frac{\alpha}{2E}\cot\frac{\theta}{2} \end{align}

微分散射截面：

\begin{align} \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = \left(\frac{\alpha}{4E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)} \end{align}

九、多自由度体系的微振动

线性化

保守体系在稳定平衡位置附近做小振动，可将动能和势能展开至二阶：

\begin{align} T = \frac{1}{2}\sum_{i,j} m_{ij} \dot{q}_i \dot{q}_j, \quad V = \frac{1}{2}\sum_{i,j} k_{ij} q_i q_j \end{align}

其中 $m_{ij}, k_{ij}$ 为常数矩阵， $\boldsymbol{M}$ 正定， $\boldsymbol{K}$ 正定（稳定平衡）。

运动方程与简正模

代入拉格朗日方程得线性方程组：

\begin{align} \sum_j \big(m_{ij} \ddot{q}_j + k_{ij} q_j\big) = 0 \end{align}

设简谐解 $q_j = A_j e^{\mathrm{i}\omega t}$ ，得广义本征值问题：

\begin{align} (\boldsymbol{K} - \omega^2 \boldsymbol{M})\boldsymbol{A} = 0 \end{align}

久期方程 $\det(\boldsymbol{K} - \omega^2 \boldsymbol{M}) = 0$ 给出 $s$ 个简正频率 $\omega_\alpha$ ，对应 $s$ 个简正模式。

简正坐标

存在线性变换将 $\boldsymbol{M}$ 化为单位矩阵、 $\boldsymbol{K}$ 对角化，使系统解耦为独立谐振子：

\begin{align} L = \frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^s (\dot{Q}_\alpha^2 - \omega_\alpha^2 Q_\alpha^2) \end{align}

各简正模间无能量交换，任意运动可表示为简正模式的叠加。

十、复习要点总结

知识点	核心内容	主要公式
牛顿力学	三定律、坐标系、质点系守恒	$\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}$
约束与广义坐标	完整/非完整、自由度	$s = 3n - k$ （完整）
达朗贝尔方程	虚位移、理想约束、无约束力	$\sum(\boldsymbol{F}_i - m\ddot{\boldsymbol{r}}_i)\cdot\delta\boldsymbol{r}_i = 0$
拉格朗日方程	$L=T-V$ ，保守系 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} - \frac{\partial L}{\partial q_\alpha} = 0$	二阶微分方程组
平衡与约束力求解	广义力为零、释放约束法	$\partial V/\partial q_\alpha = 0$
对称性与守恒定律	时间平移→能量，循环坐标→广义动量，诺特定理	$p_\alpha = \partial L/\partial \dot{q}_\alpha$
瞬时力问题	积分形式方程、广义冲量、碰撞	$\Delta p_\alpha = \hat{Q}_\alpha$
中心势场与轨道	两体约化、有效势、比耐公式、平方反比力轨道	$V_{\text{eff}} = \frac{l^2}{2\mu r^2} + V(r)$
散射截面	微分截面、卢瑟福散射公式	$\frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} \propto \sin^{-4}(\theta/2)$
多自由度微振动	线性化、久期方程、简正坐标、解耦为谐振子	$\det(\boldsymbol{K} - \omega^2 \boldsymbol{M}) = 0$

提示：重点掌握拉格朗日方程的建立与求解、对称性分析、两体约化和有效势方法，以及简正模的基本概念。解题时注意完整约束下的自由度选取和动能势能的二阶展开。

物理理论力学期中复习分析力学拉格朗日方程对称性中心势场微振动

·文章标题：理论力学期中复习

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文是理论力学课程的期中复习笔记，系统梳理从牛顿力学到分析力学的核心内容，包括约束与广义坐标、拉格朗日方程、平衡与稳定性、对称性与守恒定律、瞬时力、两体问题、轨道与散射以及多自由度微振动。

·文章链接：https://www.neowangking.top/posts/physics/theoreticalmechanics/13-theoretical-mechanics-midterm-review[点击复制]

·上次修改：

商业转载请联系站长获得授权，非商业转载请注明本文出处及文章链接，您可以自由地在任何媒体以任何形式复制和分发作品，也可以修改和创作，但是分发衍生作品时必须采用相同的许可协议。
本文采用CC BY-NC-SA 4.0进行许可。

笔记1：单层 TMD 材料的三能带紧束缚模型构建

电磁场中的守恒定律