电磁场中的守恒定律

26 年 4 月 20 日 星期一 (已编辑)
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物理 电动力学 能量守恒 动量守恒 坡印廷定理 麦克斯韦应力张量

电荷守恒定律

连续性方程

电荷守恒的微分形式为

∂ρ∂t+∇⋅J=0\begin{align} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{J} = 0 \end{align}

积分形式：

dQdt=−∮SJ⋅da\begin{align} \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = -\oint_S \boldsymbol{J} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} \end{align}

即单位时间内封闭曲面内电荷的减少量等于流出曲面的电流。

能量守恒

坡印廷定理

考虑带电系统在电磁场中的动能变化率：

dEkindt=∫J⋅E dτ\begin{align} \frac{\mathrm{d}E_{\text{kin}}}{\mathrm{d}t} = \int \boldsymbol{J} \cdot \boldsymbol{E} \, \mathrm{d}\tau \end{align}

利用麦克斯韦方程消去 J\boldsymbol{J}：

J=∇×H−∂D∂t\begin{align} \boldsymbol{J} = \nabla \times \boldsymbol{H} - \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \end{align}

代入并经过矢量恒等式运算，可得

dEkindt=−∫(∂u∂t+∇⋅S)dτ\begin{align} \frac{\mathrm{d}E_{\text{kin}}}{\mathrm{d}t} = -\int \left( \frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{S} \right) \mathrm{d}\tau \end{align}

其中

  • 电磁场能量密度：u=12(E⋅D+B⋅H)u = \frac{1}{2} (\boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{D} + \boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{H})
  • 坡印廷矢量（能流密度）：S=E×H\boldsymbol{S} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}

在真空中，u=12(ϵ0E2+1μ0B2)u = \frac{1}{2} (\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2)，S=1μ0E×B\boldsymbol{S} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B}。

能量守恒的积分形式

ddt(Ekin+Uem)=−∮SS⋅da\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (E_{\text{kin}} + U_{\text{em}}) = -\oint_S \boldsymbol{S} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} \end{align}

其中 Uem=∫u dτU_{\text{em}} = \int u \, \mathrm{d}\tau 是电磁场能量。物理意义：电磁场对带电体做功的功率加上电磁场能量变化率，等于流入封闭曲面的电磁能流。

局部形式

∂utotal∂t+∇⋅S=0\begin{align} \frac{\partial u_{\text{total}}}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{S} = 0 \end{align}

其中 utotalu_{\text{total}} 包括带电粒子的动能密度和电磁场能量密度。

动量守恒

电磁场对带电体的力

单位体积的力为

f=ρE+J×B\begin{align} \boldsymbol{f} = \rho \boldsymbol{E} + \boldsymbol{J} \times \boldsymbol{B} \end{align}

利用麦克斯韦方程，可将 f\boldsymbol{f} 表示为场的函数。经过推导得到

f=∇⋅T−∂g∂t\begin{align} \boldsymbol{f} = \nabla \cdot \boldsymbol{T} - \frac{\partial \boldsymbol{g}}{\partial t} \end{align}

其中

  • 麦克斯韦应力张量（分量形式）：
Tij=ϵ0(EiEj−12δijE2)+1μ0(BiBj−12δijB2)\begin{align} T_{ij} = \epsilon_0 \left( E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2 \right) + \frac{1}{\mu_0} \left( B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2 \right) \end{align}
  • 电磁场动量密度：g=ϵ0E×B=1c2S\boldsymbol{g} = \epsilon_0 \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B} = \frac{1}{c^2} \boldsymbol{S}（真空中）

动量守恒的积分形式

对体积分，得

ddt(Pkin+Pem)=∮ST⋅da\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (\boldsymbol{P}_{\text{kin}} + \boldsymbol{P}_{\text{em}}) = \oint_S \boldsymbol{T} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} \end{align}

其中 Pkin\boldsymbol{P}_{\text{kin}} 是带电粒子的机械动量，Pem=∫g dτ\boldsymbol{P}_{\text{em}} = \int \boldsymbol{g} \, \mathrm{d}\tau 是电磁场动量。右边是通过闭合曲面的应力张量通量，表示单位时间内流入的动量。

局部形式

∂∂t(gmech+gem)+∇⋅T=0\begin{align} \frac{\partial}{\partial t} (\boldsymbol{g}_{\text{mech}} + \boldsymbol{g}_{\text{em}}) + \nabla \cdot \boldsymbol{T} = 0 \end{align}

角动量守恒

类似地，可定义电磁场的角动量密度 l=r×g\boldsymbol{l} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{g}，并得到角动量守恒方程。

守恒定律总结

守恒量密度流密度源项
电荷ρ\rhoJ\boldsymbol{J}无（连续性方程）
能量uemu_{\text{em}}S\boldsymbol{S}洛伦兹力做功
动量gem\boldsymbol{g}_{\text{em}}T\boldsymbol{T}洛伦兹力

应用意义

  • 坡印廷定理用于分析电磁能传输（如导线、天线、激光）
  • 应力张量用于计算电磁场对物体的力（如辐射压）
  • 动量密度解释了光压现象

小结

  • 电荷守恒由连续性方程描述
  • 能量守恒：坡印廷定理，能流密度 S=E×H\boldsymbol{S} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}
  • 动量守恒：麦克斯韦应力张量，动量密度 g=ϵ0E×B\boldsymbol{g} = \epsilon_0 \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{B}
  • 电磁场与带电物质之间满足完整的能量和动量守恒
物理电动力学能量守恒动量守恒坡印廷定理麦克斯韦应力张量

·文章标题：电磁场中的守恒定律

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文介绍电磁场中的守恒定律，包括电荷守恒、能量守恒（坡印廷定理）和动量守恒（麦克斯韦应力张量），并讨论电磁场的能量密度、能流密度和动量密度。

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