多自由度体系的微振动

26 年 4 月 20 日星期一

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物理 / 理论力学

物理理论力学微振动简正坐标简正频率多自由度

引言

振动是自然界中普遍存在的现象。任何保守体系在稳定平衡位置附近做小幅度运动时，都可以近似为简谐振动的叠加。本章研究多自由度体系的微振动，是分析力学的重要应用。

单自由度体系的回顾

对于单自由度保守体系，平衡位置 $q_0$ 满足 $V'(q_0)=0$ 。将势能在平衡位置附近泰勒展开：

\begin{align} V(q) = V(q_0) + \frac{1}{2} V''(q_0) (q - q_0)^2 + \cdots \end{align}

若 $V''(q_0) > 0$ （稳定平衡），则运动方程为

\begin{align} m \ddot{\xi} + k \xi = 0 \end{align}

其中 $\xi = q - q_0$ ， $k = V''(q_0)$ 。这是简谐振动方程，频率 $\omega = \sqrt{k/m}$ 。

两自由度体系的微振动

拉格朗日函数的近似

对于两自由度保守体系，广义坐标为 $q_1, q_2$ 。设平衡位置在 $q_1=q_2=0$ （可通过平移实现）。将动能 $T$ 和势能 $V$ 在平衡位置附近展开：

动能 $T$ 是广义速度的二次齐次函数，在稳定约束下可写为

\begin{align} T = \frac{1}{2} m_{11} \dot{q}_1^2 + m_{12} \dot{q}_1 \dot{q}_2 + \frac{1}{2} m_{22} \dot{q}_2^2 \end{align}

其中系数 $m_{ij}$ 是常数（在平衡位置取值）。

势能 $V$ 在平衡位置处取极小值，一阶导数为零，保留到二阶：

\begin{align} V = V_0 + \frac{1}{2} k_{11} q_1^2 + k_{12} q_1 q_2 + \frac{1}{2} k_{22} q_2^2 \end{align}

其中 $k_{ij} = \frac{\partial^2 V}{\partial q_i \partial q_j}\big|_0$ ，常数项 $V_0$ 可略去。

运动方程

代入拉格朗日方程，得到线性微分方程组：

\begin{align} m_{11} \ddot{q}_1 + m_{12} \ddot{q}_2 + k_{11} q_1 + k_{12} q_2 &= 0 \\ m_{21} \ddot{q}_1 + m_{22} \ddot{q}_2 + k_{21} q_1 + k_{22} q_2 &= 0 \end{align}

其中 $m_{12}=m_{21}$ ， $k_{12}=k_{21}$ 。

简正频率与简正模式

设简正模解为 $q_1 = A_1 e^{\mathrm{i}\omega t}$ ， $q_2 = A_2 e^{\mathrm{i}\omega t}$ ，代入得本征方程：

\begin{align} \begin{pmatrix} k_{11} - \omega^2 m_{11} & k_{12} - \omega^2 m_{12} \\ k_{21} - \omega^2 m_{21} & k_{22} - \omega^2 m_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix} = 0 \end{align}

系数行列式为零给出久期方程，解得两个本征频率 $\omega_1$ 和 $\omega_2$ （简正频率）。每个频率对应一个振幅比（简正模式）。

例题：两个相同的单摆耦合

考虑两个相同的单摆（摆长 $l$ ，质量 $m$ ），用轻弹簧（劲度系数 $k$ ）在距离悬挂点 $a$ 处耦合。取小角度近似，广义坐标为 $\theta_1$ 、 $\theta_2$ 。动能和势能分别为

\begin{align} T &= \frac{1}{2} m l^2 (\dot{\theta}_1^2 + \dot{\theta}_2^2) \\ V &= \frac{1}{2} mgl (\theta_1^2 + \theta_2^2) + \frac{1}{2} k a^2 (\theta_1 - \theta_2)^2 \end{align}

代入拉格朗日方程，得到运动方程。求解本征值得

\begin{align} \omega_1^2 = \frac{g}{l}, \quad \omega_2^2 = \frac{g}{l} + \frac{2k a^2}{m l^2} \end{align}

对应的简正模式：

$\omega_1$ ：两摆同相运动（弹簧不变形）
$\omega_2$ ：两摆反相运动（弹簧拉伸压缩）

简正坐标

定义

简正坐标是使动能和势能同时对角化的一组广义坐标。在简正坐标下，拉格朗日函数变为

\begin{align} L = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^s (\dot{Q}_i^2 - \omega_i^2 Q_i^2) \end{align}

即系统分解为 $s$ 个独立的简谐振子。

寻找简正坐标的方法

线性代数法：将运动方程写为矩阵形式 $\boldsymbol{M} \ddot{\boldsymbol{q}} + \boldsymbol{K} \boldsymbol{q} = 0$ ，通过求解广义本征值问题 $\boldsymbol{K} \boldsymbol{a} = \omega^2 \boldsymbol{M} \boldsymbol{a}$ ，得到本征矢量，从而构造变换矩阵。
物理直觉法：对于对称系统，常可猜测简正坐标。例如，两相同单摆的同相和反相运动就是简正模式。
二次型对角化：将 $T$ 和 $V$ 的二次型同时对角化，即寻找线性变换使 $T$ 变为单位矩阵， $V$ 变为对角矩阵。

简正坐标的物理意义

每个简正坐标对应一个独立的振动模式（简正振动）
各简正模式之间没有能量交换
系统的任意运动可以表示为简正模式的线性叠加
简正频率是系统的固有频率，与初始条件无关

多自由度体系的一般理论

对于 $s$ 个自由度的保守体系，在稳定平衡位置附近的微振动，其拉格朗日函数可写为

\begin{align} L = \frac{1}{2} \sum_{i,j} m_{ij} \dot{q}_i \dot{q}_j - \frac{1}{2} \sum_{i,j} k_{ij} q_i q_j \end{align}

运动方程为

\begin{align} \sum_j (m_{ij} \ddot{q}_j + k_{ij} q_j) = 0, \quad i = 1,2,\dots,s \end{align}

设解为 $q_j = A_j e^{\mathrm{i}\omega t}$ ，得到广义本征值问题

\begin{align} \sum_j (k_{ij} - \omega^2 m_{ij}) A_j = 0 \end{align}

非零解条件为 $\det(\boldsymbol{K} - \omega^2 \boldsymbol{M}) = 0$ ，这是一个关于 $\omega^2$ 的 $s$ 次方程，给出 $s$ 个简正频率 $\omega_\alpha^2$ （均为正实数，因平衡稳定）。

每个频率对应的本征矢量 $\boldsymbol{A}^{(\alpha)}$ 确定一个简正模式。所有模式构成完备正交基，可用来定义简正坐标。

应用举例

三质点横振动（弹性弦）

三个质量相同的质点 $m$ 等间距固定在张紧的弦上，弦的张力 $F$ 很大（近似常数），质点做横向小振动。可求出简正频率和简正模式。这类问题是连续弦振动模型的离散近似。

三原子分子振动

一维三原子分子（如 CO₂）的纵向振动，有对称伸缩、反对称伸缩等模式。这些模式在红外光谱中有重要应用。

小结

多自由度体系在稳定平衡附近的微振动可线性化为简谐振动问题
动能和势能的二次型系数矩阵 $\boldsymbol{M}$ 和 $\boldsymbol{K}$ 决定了系统的动力学
简正频率由广义本征值方程的解给出
简正坐标使系统解耦为独立谐振子，是分析复杂振动的重要工具
简正模式的概念在分子振动、固体物理（声子）等领域有广泛应用

物理理论力学微振动简正坐标简正频率多自由度

·文章标题：多自由度体系的微振动

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文讨论多自由度保守体系在平衡位置附近的微振动，包括拉格朗日方法的线性化、运动方程的建立、简正坐标与简正频率的求解，以及多自由度体系的一般理论。

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