磁场中的物质

26 年 4 月 16 日 星期四 (已编辑)
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物理 电动力学 磁化 束缚电流 辅助场H 线性介质 铁磁性

磁化机制

抗磁性

  • 电子轨道在外磁场中产生感应磁矩，方向与外磁场相反
  • 所有物质都有抗磁性，但通常很弱
  • 典型材料：水、铜、铋

顺磁性

  • 原子或分子具有固有磁矩（未满壳层电子）
  • 外磁场使磁矩趋向排列，产生净磁化
  • 典型材料：铝、氧气、铂

铁磁性

  • 强相互作用使相邻磁矩自发平行排列（交换作用）
  • 形成磁畴（domain），无外场时平均磁化为零
  • 外场使畴壁移动，产生强磁化
  • 典型材料：铁、钴、镍

磁化强度

磁化强度 M\boldsymbol{M} 定义为磁偶极矩密度（单位体积内的磁偶极矩之和）：

M=∑miΔV\begin{align} \boldsymbol{M} = \frac{\sum \boldsymbol{m}_i}{\Delta V} \end{align}

磁化物体的磁场

束缚电流

磁化物体产生的矢势为

A(r)=μ04π∫M(r′)×r^′′r′′2 dτ′\begin{align} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\boldsymbol{M}(\boldsymbol{r}') \times \hat{\boldsymbol{r}}''}{r''^2} \, \mathrm{d}\tau' \end{align}

通过矢量恒等式，可表示为

A(r)=μ04π∫Jb∣r−r′∣ dτ′+μ04π∮Kb∣r−r′∣ da′\begin{align} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\boldsymbol{J}_b}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|} \, \mathrm{d}\tau' + \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{\boldsymbol{K}_b}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|} \, \mathrm{d}a' \end{align}

其中

  • 体束缚电流密度：Jb=∇×M\boldsymbol{J}_b = \nabla \times \boldsymbol{M}
  • 面束缚电流密度：Kb=M×n^\boldsymbol{K}_b = \boldsymbol{M} \times \hat{\boldsymbol{n}}

均匀磁化球体

对于均匀磁化强度 M\boldsymbol{M} 的球体（半径 RR）：

  • 球内磁场均匀：B=23μ0M\boldsymbol{B} = \dfrac{2}{3} \mu_0 \boldsymbol{M}
  • 球外磁场为偶极子场，磁偶极矩 m=4π3R3M\boldsymbol{m} = \dfrac{4\pi}{3} R^3 \boldsymbol{M}

注意与极化球体的对比：Ein=−13ϵ0P\boldsymbol{E}_{\text{in}} = -\dfrac{1}{3\epsilon_0} \boldsymbol{P}，Bin=23μ0M\boldsymbol{B}_{\text{in}} = \dfrac{2}{3} \mu_0 \boldsymbol{M}。

辅助场 H\boldsymbol{H}

定义

在磁化物质中，安培定律为

∇×B=μ0(Jf+Jb)=μ0Jf+μ0(∇×M)\begin{align} \nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 (\boldsymbol{J}_f + \boldsymbol{J}_b) = \mu_0 \boldsymbol{J}_f + \mu_0 (\nabla \times \boldsymbol{M}) \end{align}

整理得

∇×(1μ0B−M)=Jf\begin{align} \nabla \times \left( \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{B} - \boldsymbol{M} \right) = \boldsymbol{J}_f \end{align}

定义辅助场

H=1μ0B−M\begin{align} \boldsymbol{H} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{B} - \boldsymbol{M} \end{align}

则

∇×H=Jf\begin{align} \nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{J}_f \end{align}

积分形式：

∮CH⋅dl=If,enc\begin{align} \oint_C \boldsymbol{H} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = I_{f,\text{enc}} \end{align}

注意

  • ∇⋅H=−∇⋅M≠0\nabla \cdot \boldsymbol{H} = -\nabla \cdot \boldsymbol{M} \neq 0（一般情况）
  • H\boldsymbol{H} 的旋度仅由自由电流决定，但散度不一定为零
  • H\boldsymbol{H} 常称为“磁场强度”，但 B\boldsymbol{B} 才是基本物理量

线性介质

本构关系

对于线性、各向同性介质，磁化强度与 H\boldsymbol{H} 成正比：

M=χmH\begin{align} \boldsymbol{M} = \chi_m \boldsymbol{H} \end{align}

其中 χm\chi_m 是磁化率。于是

B=μ0(H+M)=μ0(1+χm)H=μH\begin{align} \boldsymbol{B} = \mu_0 (\boldsymbol{H} + \boldsymbol{M}) = \mu_0 (1 + \chi_m) \boldsymbol{H} = \mu \boldsymbol{H} \end{align}

其中 μ=μ0μr\mu = \mu_0 \mu_r 是磁导率，μr=1+χm\mu_r = 1 + \chi_m 是相对磁导率。

常见介质的磁化率

材料类型χm\chi_m
铋抗磁性−1.6×10−4-1.6\times10^{-4}
铜抗磁性−9.7×10−6-9.7\times10^{-6}
水抗磁性−9.0×10−6-9.0\times10^{-6}
铝顺磁性2.1×10−52.1\times10^{-5}
铂顺磁性2.8×10−42.8\times10^{-4}
铁铁磁性∼103\sim 10^3（非线性）

铁磁性

磁滞回线

铁磁材料的 B\boldsymbol{B} 与 H\boldsymbol{H} 关系非线性且非单值，形成磁滞回线。

特征量：

  • 饱和磁化强度 MsM_s
  • 剩余磁化强度 MrM_r
  • 矫顽力 HcH_c

居里温度

铁磁性在高温下消失，居里点（铁为 770∘C770^\circ\mathrm{C}）。高于居里点，材料变为顺磁性。

麦克斯韦方程组在物质中

完整的麦克斯韦方程组在介质中的形式为

∇⋅D=ρf∇⋅B=0∇×E=−∂B∂t∇×H=Jf+∂D∂t\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{D} &= \rho_f \\ \nabla \cdot \boldsymbol{B} &= 0 \\ \nabla \times \boldsymbol{E} &= -\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{J}_f + \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t} \end{align}

其中

  • D=ϵ0E+P\boldsymbol{D} = \epsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}
  • H=1μ0B−M\boldsymbol{H} = \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{B} - \boldsymbol{M}

最后一项 ∂D/∂t\partial \boldsymbol{D}/\partial t 是位移电流，包含极化电流 ∂P/∂t\partial \boldsymbol{P}/\partial t。

边界条件

在两种介质的分界面上（无自由面电流和自由面电荷时）：

  • D1⊥=D2⊥D_{1\perp} = D_{2\perp}
  • B1⊥=B2⊥B_{1\perp} = B_{2\perp}
  • E1∥=E2∥E_{1\parallel} = E_{2\parallel}
  • H1∥=H2∥H_{1\parallel} = H_{2\parallel}

若有自由面电流 Kf\boldsymbol{K}_f，则

Habove−Hbelow=Kf×n^\begin{align} \boldsymbol{H}_{\text{above}} - \boldsymbol{H}_{\text{below}} = \boldsymbol{K}_f \times \hat{\boldsymbol{n}} \end{align}

小结

  • 磁化强度 M\boldsymbol{M} 描述介质的磁化程度，束缚电流 Jb=∇×M\boldsymbol{J}_b = \nabla \times \boldsymbol{M}，Kb=M×n^\boldsymbol{K}_b = \boldsymbol{M} \times \hat{\boldsymbol{n}}
  • 辅助场 H=B/μ0−M\boldsymbol{H} = \boldsymbol{B}/\mu_0 - \boldsymbol{M}，满足 ∇×H=Jf\nabla \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{J}_f
  • 线性介质：M=χmH\boldsymbol{M} = \chi_m \boldsymbol{H}，B=μH\boldsymbol{B} = \mu \boldsymbol{H}
  • 铁磁体具有磁滞和非线性
  • 介质中的麦克斯韦方程组统一了电和磁的响应
物理电动力学磁化束缚电流辅助场H线性介质铁磁性

·文章标题：磁场中的物质

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文介绍物质在磁场中的行为，包括磁化机制、磁化强度、束缚电流、辅助场H、线性与非线性介质、铁磁性的磁滞现象，以及麦克斯韦方程组在物质中的形式。

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