弹性碰撞与散射截面

26 年 4 月 16 日 星期四 (已编辑)
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物理 理论力学 弹性碰撞 散射截面 卢瑟福散射 质心系

弹性碰撞的基本概念

弹性碰撞（或弹性散射）是指两个质点在碰撞前后内部状态不发生改变，即动能守恒（机械能守恒）。宏观的台球碰撞、微观的粒子散射等都可近似为弹性碰撞。

质心系与实验室系

质心系（CM 系）

质心系是固结在系统质心上的参考系。在质心系中，总动量为零。两粒子碰撞前：

  • 粒子 1：速度 v1′=m2m1+m2vrel\boldsymbol{v}_1' = \frac{m_2}{m_1+m_2} \boldsymbol{v}_{\text{rel}}
  • 粒子 2：速度 v2′=−m1m1+m2vrel\boldsymbol{v}_2' = -\frac{m_1}{m_1+m_2} \boldsymbol{v}_{\text{rel}}

其中 vrel=v1−v2\boldsymbol{v}_{\text{rel}} = \boldsymbol{v}_1 - \boldsymbol{v}_2 是相对速度。

碰撞后，在质心系中两粒子的速度大小不变，方向偏转一个角度 θcm\theta_{\text{cm}}（散射角）。

实验室系（Lab 系）

实验室系是通常的静止参考系，通常假定靶粒子（粒子 2）初始静止。实验室系与质心系的变换是一个伽利略变换，相对速度为质心速度 Vcm=m1v1+m2v2m1+m2\boldsymbol{V}_{\text{cm}} = \frac{m_1 \boldsymbol{v}_1 + m_2 \boldsymbol{v}_2}{m_1+m_2}。

碰撞后的速度关系

设粒子 2 初始静止，m1m_1 以初速 v1v_1 碰撞 m2m_2。碰撞后，实验室系中的散射角 θlab\theta_{\text{lab}} 与质心系散射角 θcm\theta_{\text{cm}} 的关系为

tan⁡θlab=sin⁡θcmcos⁡θcm+m1m2\begin{align} \tan \theta_{\text{lab}} = \frac{\sin \theta_{\text{cm}}}{\cos \theta_{\text{cm}} + \frac{m_1}{m_2}} \end{align}

特别地：

  • 当 m1=m2m_1 = m_2 时，θlab=θcm/2\theta_{\text{lab}} = \theta_{\text{cm}}/2，且两粒子运动方向垂直。
  • 当 m1≪m2m_1 \ll m_2 时，θlab≈θcm\theta_{\text{lab}} \approx \theta_{\text{cm}}，轻粒子几乎被原路弹回。
  • 当 m1≫m2m_1 \gg m_2 时，θlab\theta_{\text{lab}} 很小，重粒子几乎不受影响。

散射截面

基本定义

散射截面 σ\sigma 是描述入射粒子与靶粒子发生相互作用的概率的物理量，单位为面积。对于单个靶粒子，入射粒子流密度为 jj（单位时间通过单位面积的粒子数），则单位时间内发生散射的粒子数为

N=jσ\begin{align} N = j \sigma \end{align}

微分散射截面

在实际问题中，更关心散射粒子在不同方向上的角分布。微分散射截面定义为

dσdΩ=1jdNdΩ\begin{align} \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = \frac{1}{j} \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}\Omega} \end{align}

其中 dΩ=sin⁡θ dθ dϕ\mathrm{d}\Omega = \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}\phi 是立体角元。

微分散射截面的物理意义：单位入射流密度下，散射到单位立体角内的粒子数。它通常与散射角 θ\theta 有关。

由轨道参数计算散射截面

在中心势场中，入射粒子的瞄准距离（碰撞参数）为 bb，散射角为 θ\theta。对于给定的势场，bb 与 θ\theta 有一一对应关系（通常单调）。则微分散射截面为

dσdΩ=∣bsin⁡θdbdθ∣\begin{align} \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = \left| \frac{b}{\sin\theta} \frac{\mathrm{d}b}{\mathrm{d}\theta} \right| \end{align}

该公式将几何参数与散射角联系起来。

库仑势场中的弹性散射（卢瑟福散射）

散射角与碰撞参数的关系

在排斥的库仑势 V(r)=αrV(r) = \frac{\alpha}{r}（α>0\alpha > 0）中，散射角 θ\theta 与碰撞参数 bb 的关系为

b=α2Ecot⁡(θ2)\begin{align} b = \frac{\alpha}{2E} \cot\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{align}

其中 EE 是入射粒子在无穷远处的动能。

卢瑟福散射公式

由上式微分得到 db/dθ\mathrm{d}b/\mathrm{d}\theta，代入微分散射截面公式可得

dσdΩ=(α4E)21sin⁡4(θ/2)\begin{align} \frac{\mathrm{d}\sigma}{\mathrm{d}\Omega} = \left( \frac{\alpha}{4E} \right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)} \end{align}

这就是著名的卢瑟福散射公式。它成功解释了 α\alpha 粒子被原子核散射的实验结果，从而证实了原子核的存在。

特点

  • 与入射粒子和靶粒子的电荷乘积的平方成正比
  • 与入射能量的平方成反比
  • 在小角度处散射截面发散（但实际因屏蔽效应而有限）
  • 与靶物质的厚度成正比

弹性碰撞中的能量与动量守恒

在弹性碰撞中，系统的总动能和总动量守恒。在质心系中，两粒子的速率在碰撞前后不变，只是方向改变。这为分析碰撞后的运动提供了方便。

利用质心系，可以推导出实验室系中靶粒子反冲动能、散射角等关系。例如，当 m1=m2m_1 = m_2 时，碰撞后两粒子的速度相互垂直，这是一个常见结论。

总结

  • 弹性碰撞满足动能和动量守恒
  • 质心系简化了碰撞问题的分析，实验室系的结果可由变换得到
  • 散射截面是描述散射概率的核心物理量，微分散射截面反映角分布
  • 卢瑟福散射公式是库仑势场中弹性散射的精确结果，具有重要的历史意义
物理理论力学弹性碰撞散射截面卢瑟福散射质心系

·文章标题：弹性碰撞与散射截面

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文讨论弹性碰撞问题，包括质心系与实验室系的描述、弹性碰撞的动力学、散射截面的定义，以及库仑势场中的卢瑟福散射公式，并介绍微分散射截面的计算方法。

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