静磁场

26 年 4 月 10 日 星期五 (已编辑)
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物理 电动力学 静磁场 毕奥-萨伐尔定律 安培定律 磁矢势 磁偶极子

洛伦兹力

运动电荷在电磁场中受到的力为

F=q(E+v×B)\begin{align} \boldsymbol{F} = q(\boldsymbol{E} + \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}) \end{align}

其中 B\boldsymbol{B} 是磁感应强度（磁场）。静磁场由稳恒电流产生。

毕奥-萨伐尔定律

线电流

电流元 IdlI\mathrm{d}\boldsymbol{l} 在空间产生的磁场为

dB=μ04πIdl×r^r2\begin{align} \mathrm{d}\boldsymbol{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \mathrm{d}\boldsymbol{l} \times \hat{\boldsymbol{r}}}{r^2} \end{align}

总磁场为

B(r)=μ04π∫Idl′×r^′′r′′2\begin{align} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I \mathrm{d}\boldsymbol{l}' \times \hat{\boldsymbol{r}}''}{r''^2} \end{align}

体电流与面电流

对于体电流密度 J\boldsymbol{J}：

B(r)=μ04π∫J(r′)×r^′′r′′2 dτ′\begin{align} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}') \times \hat{\boldsymbol{r}}''}{r''^2} \, \mathrm{d}\tau' \end{align}

对于面电流密度 K\boldsymbol{K}：

B(r)=μ04π∫K(r′)×r^′′r′′2 da′\begin{align} \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\boldsymbol{K}(\boldsymbol{r}') \times \hat{\boldsymbol{r}}''}{r''^2} \, \mathrm{d}a' \end{align}

磁场的基本性质

散度

毕奥-萨伐尔定律的直接推论：

∇⋅B=0\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0 \end{align}

积分形式：

∮SB⋅da=0\begin{align} \oint_S \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} = 0 \end{align}

这表明不存在磁单极（磁荷）。

旋度（安培定律）

∇×B=μ0J\begin{align} \nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J} \end{align}

积分形式（安培环路定律）：

∮CB⋅dl=μ0Ienc\begin{align} \oint_C \boldsymbol{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} \end{align}

其中 IencI_{\text{enc}} 是穿过以 CC 为边界的任意曲面的总电流。

典型电流分布的磁场

无限长直导线

电流 II 沿 zz 轴，在距离 ss 处：

B=μ0I2πsϕ^\begin{align} \boldsymbol{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi s} \hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align}

圆形载流环（轴线上）

半径为 RR，电流 II，在轴线上距离圆心 zz 处：

B(z)=μ0IR22(R2+z2)3/2z^\begin{align} B(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} \hat{\boldsymbol{z}} \end{align}

无限大平面电流

面电流密度 K=Kx^\boldsymbol{K} = K \hat{\boldsymbol{x}}，在平面两侧产生均匀磁场：

B={μ02Ky^,z<0−μ02Ky^,z>0\begin{align} \boldsymbol{B} = \begin{cases} \frac{\mu_0}{2} K \hat{\boldsymbol{y}}, & z < 0 \\ -\frac{\mu_0}{2} K \hat{\boldsymbol{y}}, & z > 0 \end{cases} \end{align}

长直螺线管

单位长度匝数 nn，电流 II，内部磁场均匀：

B=μ0nIz^\begin{align} \boldsymbol{B} = \mu_0 n I \hat{\boldsymbol{z}} \end{align}

外部磁场为零（理想情况）。

磁矢势

定义

由于 ∇⋅B=0\nabla \cdot \boldsymbol{B} = 0，可引入磁矢势 A\boldsymbol{A} 满足

B=∇×A\begin{align} \boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A} \end{align}

在库仑规范 ∇⋅A=0\nabla \cdot \boldsymbol{A} = 0 下，A\boldsymbol{A} 满足泊松方程：

∇2A=−μ0J\begin{align} \nabla^2 \boldsymbol{A} = -\mu_0 \boldsymbol{J} \end{align}

解为

A(r)=μ04π∫J(r′)∣r−r′∣ dτ′\begin{align} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r}')}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|} \, \mathrm{d}\tau' \end{align}

（类似静电势公式）

磁矢势的物理意义

  • A\boldsymbol{A} 不是唯一的，可进行规范变换
  • 在量子力学中，A\boldsymbol{A} 具有可观测效应（Aharonov-Bohm 效应）

磁偶极子

磁偶极矩

对于一个小电流回路，定义磁偶极矩

m=I∫da=Ia\begin{align} \boldsymbol{m} = I \int \mathrm{d}\boldsymbol{a} = I \boldsymbol{a} \end{align}

其中 a\boldsymbol{a} 是回路所围面积（矢量方向由右手定则确定）。

磁矢势的多极展开

对于局域电流分布，在远场区可展开：

A(r)=μ04π[1r∫J dτ′+1r2∫(r′⋅r^)J dτ′+⋯ ]\begin{align} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \left[ \frac{1}{r} \int \boldsymbol{J} \, \mathrm{d}\tau' + \frac{1}{r^2} \int (\boldsymbol{r}' \cdot \hat{\boldsymbol{r}}) \boldsymbol{J} \, \mathrm{d}\tau' + \cdots \right] \end{align}
  • 第一项（单极项）为零（净电流为零）
  • 第二项为偶极项：
Adip(r)=μ04πm×r^r2\begin{align} \boldsymbol{A}_{\text{dip}}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\boldsymbol{m} \times \hat{\boldsymbol{r}}}{r^2} \end{align}

偶极子的磁场

由 Bdip=∇×Adip\boldsymbol{B}_{\text{dip}} = \nabla \times \boldsymbol{A}_{\text{dip}} 得

Bdip(r)=μ04π1r3[3(m⋅r^)r^−m]\begin{align} \boldsymbol{B}_{\text{dip}}(\boldsymbol{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{1}{r^3} [3(\boldsymbol{m} \cdot \hat{\boldsymbol{r}}) \hat{\boldsymbol{r}} - \boldsymbol{m}] \end{align}

该形式与电偶极子电场完全相同（仅常数替换）。

物理偶极子与纯偶极子

  • 物理偶极子：有限大小的电流环，近场复杂
  • 纯偶极子：取极限 I→∞I \to \infty，面积 →0\to 0，mm 有限

边界条件

在面电流 K\boldsymbol{K} 存在的分界面上：

Babove−Bbelow=μ0(K×n^)\begin{align} \boldsymbol{B}_{\text{above}} - \boldsymbol{B}_{\text{below}} = \mu_0 (\boldsymbol{K} \times \hat{\boldsymbol{n}}) \end{align}

法向分量连续：

Babove⊥=Bbelow⊥\begin{align} B_{\text{above}\perp} = B_{\text{below}\perp} \end{align}

小结

  • 静磁场由稳恒电流产生，满足毕奥-萨伐尔定律
  • 磁场无散，有旋：∇⋅B=0\nabla \cdot \boldsymbol{B}=0，∇×B=μ0J\nabla \times \boldsymbol{B} = \mu_0 \boldsymbol{J}
  • 安培环路定律是积分形式
  • 磁矢势 A\boldsymbol{A} 满足泊松方程，常用于计算
  • 远场可用磁偶极子近似，磁偶极矩 m=Ia\boldsymbol{m} = I \boldsymbol{a}
  • 边界条件：法向 BB 连续，切向跃变由面电流决定
物理电动力学静磁场毕奥-萨伐尔定律安培定律磁矢势磁偶极子

·文章标题：静磁场

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文介绍静磁场的基本理论，包括洛伦兹力、毕奥-萨伐尔定律、安培定律、磁矢势、磁偶极子以及多极展开，并给出典型电流分布的磁场计算实例。

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