分析力学基础

26 年 3 月 17 日星期二

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从牛顿力学到分析力学

牛顿力学处理质点系问题时，需要同时考虑主动力和约束力，并建立 $3n$ 个运动方程（ $n$ 为质点数）。若系统存在 $k$ 个约束，则共有 $3n + k$ 个待求方程（包含 $k$ 个约束力）。这种方法在处理复杂约束系统时往往计算繁琐。

分析力学的目标：

消去约束力：通过虚功原理使约束力不出现在方程中
消去不独立坐标：引入广义坐标，用最少的独立变量描述系统
直接给出独立变量的运动方程：拉格朗日方程

约束与分类

约束的概念

约束是对物体运动所加的几何学或运动学方面的限制。约束的存在产生了约束力。

约束方程的表示方式与坐标选择有关。例如，单摆的约束方程为

\begin{align} x^2 + y^2 = l^2 \end{align}

若将单摆的绳子换成弹簧，则不再是约束，因为弹簧不限制质点的运动范围，只提供弹性力。

约束的分类

从不同角度，约束可分为：

按是否与时间有关
- 稳定约束：约束方程不显含时间 $t$
- 不稳定约束：约束方程显含时间 $t$
例如，小球在匀速上升的平台上运动，其约束方程为 $z = vt$ （设平台表面为 $z=0$ ），是不稳定约束。
按约束方程的形式
- 完整约束：约束方程可表示为坐标和时间的函数 $f(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \dots, t)=0$ ，或可积分的微分约束。完整约束的特点是可以用代数方法消去不独立坐标，只留下独立坐标。
- 非完整约束：约束方程包含不可积分的微分形式，如 $f(\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2, \dots, \dot{\boldsymbol{r}}_1, \dot{\boldsymbol{r}}_2, \dots, t)=0$ 且不可积。
所有约束均为完整约束的力学体系称为完整体系。

虚位移与虚功

虚位移的概念

虚位移是指在某一固定时刻，约束所允许的任意无限小位移，记作 $\delta \boldsymbol{r}$ 。它与时间变化无关，只考虑约束条件。

实位移是时间 $\mathrm{d}t$ 内实际发生的位移。对于稳定约束，实位移是虚位移中的一个；对于不稳定约束，实位移与虚位移不同。

例如，在柱坐标系中，质点 $m$ 的虚位移可表示为

\begin{align} \delta \boldsymbol{r} = \delta \rho \, \hat{\boldsymbol{\rho}} + \rho \delta \phi \, \hat{\boldsymbol{\phi}} + \delta z \, \hat{\boldsymbol{z}} \end{align}

虚功

虚功是作用在质点上的力在虚位移上所做的功：

\begin{align} \delta W = \boldsymbol{F} \cdot \delta \boldsymbol{r} \end{align}

理想约束

若约束反力在任意虚位移上所做的虚功之和为零，则称约束为理想约束：

\begin{align} \sum_{i=1}^n \boldsymbol{N}_i \cdot \delta \boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}

其中 $\boldsymbol{N}_i$ 是第 $i$ 个质点所受的约束力。

五类理想约束

光滑曲面：约束力沿法线方向，虚位移在切平面内， $\boldsymbol{N} \perp \delta \boldsymbol{r}$
无质量刚性杆连接的两个质点：杆中张力沿杆方向，两质点虚位移在杆方向投影相等，总虚功为零
光滑表面接触的两个刚体：约束力在公法线方向，虚位移在公切面内
完全粗糙表面接触（纯滚动）：无滑动，接触点相对速度为零，约束力（静摩擦力）在接触点虚位移上不做功
柔软不可伸长的绳子连接的两个质点：绳子张力沿绳方向，两质点虚位移在绳方向投影相等，总虚功为零

达朗贝尔方程

达朗贝尔原理

将牛顿第二定律 $\boldsymbol{F}_i + \boldsymbol{N}_i = m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i$ 改写为

\begin{align} \boldsymbol{F}_i - m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i + \boldsymbol{N}_i = 0 \end{align}

其中 $\boldsymbol{F}_i$ 为主动力， $\boldsymbol{N}_i$ 为约束力。引入惯性力 $-m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i$ ，则形式上成为静力学平衡方程。

达朗贝尔方程

将达朗贝尔原理与虚位移点乘，并对所有质点求和：

\begin{align} \sum_{i=1}^n (\boldsymbol{F}_i - m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i) \cdot \delta \boldsymbol{r}_i + \sum_{i=1}^n \boldsymbol{N}_i \cdot \delta \boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}

对于理想约束，第二项为零，得到达朗贝尔方程（动力学普遍方程）：

\begin{align} \sum_{i=1}^n (\boldsymbol{F}_i - m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i) \cdot \delta \boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}

该方程不包含约束力，是分析力学的出发点。它等价于 $3n-k$ 个独立方程（ $k$ 为完整约束个数）。

达朗贝尔方程的应用步骤

建立适当的坐标系
写出各质点的虚位移表达式（用参数变分表示）
写出主动力和惯性力在虚位移上所做的虚功
利用约束条件消去不独立的虚位移变分
令独立虚位移的系数为零，得到运动方程

静力学应用：虚功原理

对于静力学问题（ $\ddot{\boldsymbol{r}}_i = 0$ ），达朗贝尔方程退化为虚功原理：

\begin{align} \sum_{i=1}^n \boldsymbol{F}_i \cdot \delta \boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}

即理想约束下，主动力在任意虚位移上所做的虚功之和为零。

广义坐标与自由度

完整约束下的独立坐标

对于完整体系，可用代数方法消去不独立坐标，只留下独立坐标。设系统有 $n$ 个质点， $k$ 个完整约束，则独立坐标个数为

\begin{align} s = 3n - k \end{align}

$s$ 称为系统的自由度。

广义坐标的定义

广义坐标是用于确定质点系位置的一组独立参量，记作 $q_1, q_2, \dots, q_s$ 。广义坐标的选取不唯一，可以是长度、角度或其他任意量，只要满足：

能够唯一确定系统的位形
个数等于自由度

例如：

自由运动的刚体：需要6个广义坐标（3个平动 + 3个转动）
单摆：1个广义坐标（角度 $\theta$ ）
双滑块系统：需根据约束具体分析

广义坐标与达朗贝尔方程

引入广义坐标后，各质点的矢径可表示为广义坐标的函数：

\begin{align} \boldsymbol{r}_i = \boldsymbol{r}_i(q_1, q_2, \dots, q_s, t) \end{align}

虚位移可用广义坐标的变分表示：

\begin{align} \delta \boldsymbol{r}_i = \sum_{\alpha=1}^s \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \delta q_\alpha \end{align}

代入达朗贝尔方程，可将动力学方程用广义坐标表达。

拉格朗日方程

从达朗贝尔方程到拉格朗日方程

将达朗贝尔方程中的加速度项用广义坐标表示。首先，速度可写为

\begin{align} \dot{\boldsymbol{r}}_i = \sum_{\alpha=1}^s \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \dot{q}_\alpha + \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial t} \end{align}

可以证明以下两个重要关系：

\begin{align} \frac{\partial \dot{\boldsymbol{r}}_i}{\partial \dot{q}_\alpha} &= \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \right) &= \frac{\partial \dot{\boldsymbol{r}}_i}{\partial q_\alpha} \end{align}

利用这些关系，可将惯性力项改写为

\begin{align} \sum_i m_i \ddot{\boldsymbol{r}}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_\alpha} \end{align}

其中 $T = \sum_i \frac{1}{2} m_i \dot{\boldsymbol{r}}_i^2$ 是系统的动能。

定义广义力

\begin{align} Q_\alpha = \sum_i \boldsymbol{F}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \end{align}

则达朗贝尔方程化为

\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_\alpha} = Q_\alpha, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \end{align}

这就是拉格朗日方程的一般形式，适用于理想约束、完整体系。

主动力为保守力的情况

若所有主动力均为保守力，即存在势能函数 $V(q_1,\dots,q_s,t)$ ，使得 $Q_\alpha = -\dfrac{\partial V}{\partial q_\alpha}$ ，则引入拉格朗日函数

\begin{align} L = T - V \end{align}

拉格朗日方程化为

\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_\alpha} = 0, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \end{align}

这是保守体系的拉格朗日方程，形式简洁且与坐标选择无关（协变性）。

部分主动力为非保守力的情况

若存在非保守力，则需保留广义力项：

\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_\alpha} = Q_\alpha^{\text{(非保守)}} \end{align}

其中 $L$ 仍由保守力部分的势能构成。

拉格朗日方程的应用步骤

确定系统的自由度，选择合适的广义坐标 $q_\alpha$
用广义坐标和广义速度写出系统的动能 $T$ 和势能 $V$ ，构造拉格朗日函数 $L = T - V$
若存在非保守力，计算广义力 $Q_\alpha^{\text{(非保守)}}$
代入拉格朗日方程，得到 $s$ 个二阶常微分方程
求解方程并利用初始条件确定积分常数

例题：双质点系统

回顾之前用牛顿力学和达朗贝尔方程处理过的例题：质点 $m$ 被长为 $l$ 的轻绳系着，另一端挂着质点 $m'$ ，放置于光滑水平平台上。

用拉格朗日方程求解：

选取广义坐标：设 $m$ 的极坐标为 $(r,\theta)$ ， $m'$ 的坐标为 $(0, -l)$ ？实际上需仔细分析。更合理的选取：设 $m$ 的位置为 $(r,\theta)$ ， $m'$ 的位置由绳长 $l$ 约束决定。
构建拉格朗日函数：写出动能和势能（注意是否为保守体系）
代入拉格朗日方程：得到两个运动方程
与牛顿力学结果对比：可见拉格朗日方程直接给出独立变量的方程，无需考虑约束力

总结

比较项目	牛顿力学	分析力学（拉格朗日）
出发点	受力分析	能量分析
基本量	矢量（力、动量）	标量（动能、势能）
方程个数	$3n + k$	$3n - k$
约束力	出现在方程中	被消去
适用范围	经典力学	整个物理学（形式可推广）
坐标选择	通常用直角坐标	任意广义坐标，形式不变

拉格朗日方程的核心优势：

没有冗余坐标的最经济描述
拉格朗日函数（标量）包含所有物理信息
方程形式协变（与坐标选择无关）
易于推广到其他物理领域（如场论）

物理理论力学分析力学约束虚功原理达朗贝尔方程广义坐标拉格朗日方程

·文章标题：分析力学基础

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文是理论力学课程的第二篇笔记，系统介绍从牛顿力学到分析力学的过渡，包括约束与分类、虚位移与虚功、理想约束、达朗贝尔方程、广义坐标与自由度，以及拉格朗日方程的推导与应用。

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