瞬时力问题的拉格朗日方程

26 年 4 月 6 日 星期一 (已编辑)
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物理 理论力学 瞬时力 碰撞 冲量 拉格朗日方程

瞬时力问题的特点

瞬时力是指作用时间极短、力值极大的外力（如碰撞、爆炸、突然施加的约束等）。在冲击过程中，位移来不及变化，但速度发生突变。通常用冲量来描述这种作用：

I=∫F dt\begin{align} \boldsymbol{I} = \int \boldsymbol{F} \, \mathrm{d}t \end{align}

拉格朗日方程的积分形式

对于理想、完整的力学体系，拉格朗日方程的一般形式为

ddt(∂T∂q˙α)−∂T∂qα=Qα\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_\alpha} = Q_\alpha \end{align}

在瞬时力作用过程中，时间极短，qαq_\alpha 的变化可忽略（位置不变），但 q˙α\dot{q}_\alpha 发生跃变。对方程两边在冲击时间区间 [t0,t0+ε][t_0, t_0+\varepsilon] 上积分，取极限 ε→0\varepsilon \to 0：

∫ddt(∂T∂q˙α)dt−∫∂T∂qαdt=∫Qαdt\begin{align} \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) \mathrm{d}t - \int \frac{\partial T}{\partial q_\alpha} \mathrm{d}t = \int Q_\alpha \mathrm{d}t \end{align}

由于 qαq_\alpha 在冲击过程中不变，∂T/∂qα\partial T/\partial q_\alpha 为有限值，其积分为零。左边第一项积分为广义动量的增量：

[∂T∂q˙α]t0−t0+=Δpα=Q^α\begin{align} \left[ \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha} \right]_{t_0^-}^{t_0^+} = \Delta p_\alpha = \hat{Q}_\alpha \end{align}

其中 Q^α\hat{Q}_\alpha 是广义冲量，定义为

Q^α=∫Qα dt\begin{align} \hat{Q}_\alpha = \int Q_\alpha \, \mathrm{d}t \end{align}

结论：在瞬时力作用下，广义动量发生突变，其增量等于广义冲量。

广义冲量的计算

广义力 QαQ_\alpha 由主动力 Fi\boldsymbol{F}_i 决定：

Qα=∑iFi⋅∂ri∂qα\begin{align} Q_\alpha = \sum_i \boldsymbol{F}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \end{align}

在瞬时力作用下，∂ri/∂qα\partial \boldsymbol{r}_i / \partial q_\alpha 在冲击过程中可视为常数（位置不变），因此广义冲量为

Q^α=∑i(∫Fi dt)⋅∂ri∂qα=∑iIi⋅∂ri∂qα\begin{align} \hat{Q}_\alpha = \sum_i \left( \int \boldsymbol{F}_i \, \mathrm{d}t \right) \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} = \sum_i \boldsymbol{I}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \end{align}

其中 Ii\boldsymbol{I}_i 为作用于第 ii 个质点的冲量。

应用实例

例1：冲击后速度的确定

问题：质量为 mm 的质点，初始静止，在 AA 点受到沿 ABAB 方向的冲量 II，求冲击后质点的速度。

解：取广义坐标 x,yx,y（直角坐标）。冲击前速度为零，动能 T=12m(x˙2+y˙2)T = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2)。广义动量为

px=∂T∂x˙=mx˙,py=∂T∂y˙=my˙\begin{align} p_x = \frac{\partial T}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}, \quad p_y = \frac{\partial T}{\partial \dot{y}} = m\dot{y} \end{align}

冲量沿 ABAB 方向，其分量为 Ix,IyI_x, I_y。由 Δpx=Ix\Delta p_x = I_x，Δpy=Iy\Delta p_y = I_y，得

x˙=Ixm,y˙=Iym\begin{align} \dot{x} = \frac{I_x}{m}, \quad \dot{y} = \frac{I_y}{m} \end{align}

例2：四根均质杆组成的菱形系统

问题：四根质量均为 mm、长为 ll 的均质杆用铰链连成菱形，放置在光滑水平面上，原来形状为正方形。

（1）体系开始时静止，在 AA 点突然受到沿 BABA 方向的冲量 II，求冲击终了时 AA 点的速度。

（2）若开始时体系以速度 v0v_0 沿 BABA 方向运动，而后突然将 AA 点固定，求以后质心的速度和杆的角速度，并计算能量损失。

解：选取广义坐标：质心坐标 yCy_C 和绕质心的转角 θ\theta（或取其他适当坐标）。写出动能表达式，计算广义动量。利用瞬时力问题的拉格朗日方程，结合约束条件，可解得冲击后的运动。

碰撞中的恢复系数

与瞬时力相关的一个常见物理现象是碰撞。在碰撞问题中，常引入恢复系数 ee 来描述碰撞的弹性程度：

  • e=1e=1：完全弹性碰撞，动能守恒
  • e=0e=0：完全非弹性碰撞，两物体碰撞后粘在一起
  • 0<e<10<e<1：非完全弹性碰撞，部分动能损失

恢复系数定义为碰撞后分离速度与碰撞前接近速度之比（沿法线方向）：

e=v2′−v1′v1−v2\begin{align} e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2} \end{align}

其中 v1,v2v_1, v_2 为碰撞前速度，v1′,v2′v_1', v_2' 为碰撞后速度。

压缩冲量与恢复冲量

碰撞过程可分为两个阶段：

  • 压缩阶段：两物体从开始接触到相对速度为零，冲量为 I1I_1
  • 恢复阶段：从相对速度为零到分离，冲量为 I2I_2

恢复系数也可表示为 e=I2/I1e = I_2 / I_1。

利用拉格朗日方程的积分形式，结合恢复系数，可求解碰撞后的运动。

小结

  • 瞬时力问题中，时间极短，位置不变，速度发生跃变
  • 拉格朗日方程的积分形式给出广义动量增量等于广义冲量
  • 广义冲量由作用在质点上的冲量及虚位移系数确定
  • 利用这一方法，可方便地求解冲击后的运动，并计算能量损失
  • 碰撞问题中，恢复系数用于补充方程，确定冲击后的速度
物理理论力学瞬时力碰撞冲量拉格朗日方程

·文章标题：瞬时力问题的拉格朗日方程

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文讨论拉格朗日方程在处理瞬时力（如碰撞、冲量）问题中的应用，包括积分形式的拉格朗日方程、冲量对广义动量的影响，以及碰撞过程中的能量损失。

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