对称性与守恒定律

运动积分

在力学中，运动积分是指关于坐标、速度和时间的一个函数，在运动过程中保持常数。常见的运动积分有能量、动量、角动量等，它们是守恒定律的具体体现。

广义能量积分

拉格朗日函数不显含时间

若拉格朗日函数 $L(q,\dot{q},t)$ 不显含时间 $t$，即 $\partial L / \partial t = 0$，则存在广义能量积分。对 $L$ 求时间的全导数：

利用拉格朗日方程 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} = \dfrac{\partial L}{\partial q_\alpha}$，可得

因此

定义广义能量 $H = \sum_\alpha \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_\alpha} \dot{q}_\alpha - L$，则 $H$ 为常数。

广义能量与机械能的关系

当约束为稳定约束（即 $\partial \boldsymbol{r}_i / \partial t = 0$）且势能 $V$ 与速度无关时，动能 $T$ 是广义速度的二次齐次函数。根据欧拉齐次函数定理，

此时 $H = 2T - (T - V) = T + V$，即系统的机械能。因此：

• 广义能量守恒的条件：拉格朗日函数不显含时间（仅此一条）
• 机械能守恒的条件：稳定约束 + 势能与速度无关 + 拉格朗日函数不显含时间

循环坐标与广义动量守恒

循环坐标的定义

若拉格朗日函数 $L$ 不显含某个广义坐标 $q_\alpha$（即 $\partial L / \partial q_\alpha = 0$），则称 $q_\alpha$ 为循环坐标。

广义动量守恒

由拉格朗日方程，若 $q_\alpha$ 为循环坐标，则

因此

$p_\alpha$ 称为广义动量。循环坐标对应的广义动量守恒。

例：在中心势场中，拉格朗日函数 $L = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - V(r)$ 不显含 $\theta$，故 $\theta$ 是循环坐标，广义动量 $p_\theta = m r^2 \dot{\theta}$ 守恒，即角动量守恒。

对称性与守恒定律的深刻联系——诺特定理

对称性的概念

对称性是指体系的拉格朗日函数或运动方程在某种变换下保持不变。常见的对称性有：

• 空间平移对称性（均匀性）
• 空间旋转对称性（各向同性）
• 时间平移对称性（均匀性）

诺特定理

诺特定理（Noether's theorem）指出：如果拉格朗日函数在某种连续变换下保持不变，则必存在一个相应的守恒量。

三种对称性的讨论

1. 空间平移对称性：若拉格朗日函数不依赖于整体空间位置（即无外力场），则系统具有空间平移对称性，总动量守恒。

2. 空间旋转对称性：若拉格朗日函数在整体旋转下不变，则总角动量守恒。在中心势场中，势能仅依赖于距离 $r$，绕力心的旋转不变性导致角动量守恒。

3. 时间平移对称性：若拉格朗日函数不显含时间，则系统具有时间平移对称性，广义能量守恒。在稳定约束下，这就是机械能守恒。

诺特定理的数学表述

考虑一个单参数连续变换：

若在此变换下拉格朗日函数的变化为 $\Delta L = \varepsilon \dfrac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}$（即一个全导数），则存在守恒量

小结

• 拉格朗日函数不显含时间 → 广义能量守恒（稳定约束下即机械能守恒）
• 循环坐标 → 对应的广义动量守恒
• 诺特定理将对称性与守恒定律统一起来，揭示了物理定律的内在联系
• 守恒定律是简化力学问题的有力工具，可将二阶微分方程降阶为一阶积分