拉格朗日方程的平衡问题

广义力

在拉格朗日方程的一般形式中，广义力 $Q_\alpha$ 定义为

\begin{align} Q_\alpha = \sum_i \boldsymbol{F}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \end{align}

广义力的物理意义：它是在广义坐标所描述的位形空间中，对应虚位移 $\delta q_\alpha$ 的广义功系数。主动力所做的虚功可表示为

\begin{align} \delta W = \sum_\alpha Q_\alpha \delta q_\alpha \end{align}

例：质量为 $m_1$ 和 $m_2$ 的两质点由轻绳连接，跨过定滑轮，求系统的广义力。

解：取广义坐标为 $m_1$ 下移的距离 $h$ 。系统的势能为

\begin{align} V = -m_1 g h - m_2 g (l - h) \end{align}

由于主动力均为保守力，广义力为

\begin{align} Q = -\frac{\partial V}{\partial h} = (m_1 - m_2)g \end{align}

对于理想约束的力学体系，在平衡状态，主动力在任意虚位移上所做的虚功之和为零：

\begin{align} \delta W = \sum_i \boldsymbol{F}_i \cdot \delta \boldsymbol{r}_i = 0 \end{align}

用广义坐标表示，虚功原理为

\begin{align} \sum_{\alpha=1}^s Q_\alpha \delta q_\alpha = 0 \end{align}

由于虚位移 $\delta q_\alpha$ 是独立的，因此平衡时各广义力必须为零：

\begin{align} Q_\alpha = 0, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \end{align}

若所有主动力均为保守力，则 $Q_\alpha = -\partial V / \partial q_\alpha$ ，平衡条件变为

\begin{align} \frac{\partial V}{\partial q_\alpha} = 0, \quad \alpha = 1, 2, \dots, s \end{align}

即势能在平衡位置取极值：

拉格朗日方程中不出现约束力，因此无法直接求解约束力。但可采用“释放约束法”：

例：如图所示，五根轻杆对称组成， $C$ 点承受铅直力 $F$ ，求杆 $AO$ 所受的作用力。

解：将杆 $AO$ 解除，代之以沿杆方向的拉力 $T$ （主动力）。然后分析系统的平衡，利用虚功原理即可求出 $T$ 。

对于保守体系，平衡的稳定性由势能的二阶导数判断。在平衡位置 $q_\alpha = q_{\alpha 0}$ 处：

对于某些非保守力（如带电粒子在电磁场中受到的洛伦兹力），可引入依赖于速度的广义势能 $U(q,\dot{q},t)$ ，使得

\begin{align} Q_\alpha = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial U}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial U}{\partial q_\alpha} \end{align}

此时拉格朗日函数取为 $L = T - U$ ，方程形式与保守体系相同。