瞬时力问题的拉格朗日方程

瞬时力问题的特点

瞬时力是指作用时间极短、力值极大的外力（如碰撞、爆炸、突然施加的约束等）。在冲击过程中，位移来不及变化，但速度发生突变。通常用冲量来描述这种作用：

\begin{align} \boldsymbol{I} = \int \boldsymbol{F} \, \mathrm{d}t \end{align}

拉格朗日方程的积分形式

对于理想、完整的力学体系，拉格朗日方程的一般形式为

\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_\alpha} = Q_\alpha \end{align}

在瞬时力作用过程中，时间极短， $q_\alpha$ 的变化可忽略（位置不变），但 $\dot{q}_\alpha$ 发生跃变。对方程两边在冲击时间区间 $[t_0, t_0+\varepsilon]$ 上积分，取极限 $\varepsilon \to 0$ ：

\begin{align} \int \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) \mathrm{d}t - \int \frac{\partial T}{\partial q_\alpha} \mathrm{d}t = \int Q_\alpha \mathrm{d}t \end{align}

由于 $q_\alpha$ 在冲击过程中不变， $\partial T/\partial q_\alpha$ 为有限值，其积分为零。左边第一项积分为广义动量的增量：

\begin{align} \left[ \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha} \right]_{t_0^-}^{t_0^+} = \Delta p_\alpha = \hat{Q}_\alpha \end{align}

其中 $\hat{Q}_\alpha$ 是广义冲量，定义为

\begin{align} \hat{Q}_\alpha = \int Q_\alpha \, \mathrm{d}t \end{align}

在瞬时力作用下，广义动量发生突变，其增量等于广义冲量。

广义冲量的计算

广义力 $Q_\alpha$ 由主动力 $\boldsymbol{F}_i$ 决定：

\begin{align} Q_\alpha = \sum_i \boldsymbol{F}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \end{align}

在瞬时力作用下， $\partial \boldsymbol{r}_i/\partial q_\alpha$ 在冲击过程中可视为常数（位置不变），因此广义冲量为

\begin{align} \hat{Q}_\alpha = \sum_i \left( \int \boldsymbol{F}_i \, \mathrm{d}t \right) \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} = \sum_i \boldsymbol{I}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \end{align}

其中 $\boldsymbol{I}_i$ 为作用于第 $i$ 个质点的冲量。

应用实例

例1：冲击后速度的确定

问题：质量为 $m$ 的质点，初始静止，在 $A$ 点受到沿 $AB$ 方向的冲量 $I$ ，求冲击后质点的速度。

解：取广义坐标 $x,y$ （直角坐标）。冲击前速度为零，动能 $T = \frac{1}{2} m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)$ 。广义动量为

\begin{align} p_x = \frac{\partial T}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}, \quad p_y = m\dot{y} \end{align}

冲量沿 $AB$ 方向，其分量为 $I_x, I_y$ 。由 $\Delta p_x = I_x$ ， $\Delta p_y = I_y$ ，得

\begin{align} \dot{x} = \frac{I_x}{m}, \quad \dot{y} = \frac{I_y}{m} \end{align}

例2：突然固定点问题

问题：四根质量均为 $m$ 、长为 $l$ 的均质杆用铰链连成菱形，放置在光滑水平面上，原来形状为正方形。开始时体系以速度 $v_0$ 沿某方向运动，突然将 $A$ 点固定，求冲击后质心的速度和杆的角速度，并计算能量损失。

解：分析： $A$ 点被突然固定，相当于在该点施加一个瞬时约束力，产生冲量。系统在水平方向不受外力，故质心在冲击前后速度不变？注意： $A$ 点固定是外加约束，但该约束力是内力还是外力？对于整体系统， $A$ 点固定，约束力作用在 $A$ 点上，属于外力，因此动量不守恒。需用拉格朗日方程的积分形式求解。

选取广义坐标：质心坐标 $(x_C, y_C)$ 和绕质心的转角 $\theta$ （或取其他适当坐标）。写出动能表达式，计算广义动量。然后根据冲量条件：在 $A$ 点固定瞬间， $A$ 点的速度变为零，这给出了广义速度之间的约束。利用广义动量增量等于广义冲量的关系，可解得冲击后的速度。

能量损失：冲击前后动能之差即为损失的能量，可能转化为内能或声能等。

碰撞中的恢复系数

在碰撞问题中，常引入恢复系数 $e$ 来描述碰撞的弹性程度：

$e=1$ ：完全弹性碰撞，动能守恒。
$e=0$ ：完全非弹性碰撞，两物体碰撞后粘在一起。
$0<e<1$ ：非完全弹性碰撞，部分动能损失。

恢复系数定义为碰撞后分离速度与碰撞前接近速度之比（沿法线方向）。

利用拉格朗日方程的积分形式，结合恢复系数，可求解碰撞后的运动。

小结

瞬时力问题中，时间极短，位置不变，速度发生跃变。
拉格朗日方程的积分形式给出广义动量增量等于广义冲量。
广义冲量由作用在质点上的冲量及虚位移系数确定。
利用这一方法，可方便地求解冲击后的运动，并计算能量损失。
碰撞问题中，恢复系数用于补充方程，确定冲击后的速度。