拉格朗日方程的平衡问题

广义力的概念

在拉格朗日方程的一般形式中，广义力 $Q_\alpha$ 定义为

\begin{align} Q_\alpha = \sum_i \boldsymbol{F}_i \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_i}{\partial q_\alpha} \end{align}

它表示在广义坐标 $q_\alpha$ 的虚位移 $\delta q_\alpha$ 上，所有主动力所做的虚功：

\begin{align} \delta W = \sum_\alpha Q_\alpha \delta q_\alpha \end{align}

广义力的物理意义是：它是在广义坐标所描述的位形空间中，对应虚位移 $\delta q_\alpha$ 的“广义功”系数。若系统为保守体系，则广义力可由势能函数导出：

\begin{align} Q_\alpha = -\frac{\partial V}{\partial q_\alpha} \end{align}

拉格朗日方程的平衡条件

对于理想、完整约束的力学体系，拉格朗日方程的一般形式为

\begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial T}{\partial q_\alpha} = Q_\alpha \end{align}

在平衡状态，系统处于静止，所有广义速度和广义加速度均为零。此时动能 $T$ 对速度的偏导为零，且 $T$ 对坐标的偏导通常也与速度无关（在惯性系下 $T$ 是 $\dot{q}$ 的二次齐次函数，且系数与 $q$ 有关，但平衡时 $\dot{q}=0$ ， $\partial T/\partial q$ 并不一定为零）。然而从拉格朗日方程出发，平衡条件可通过对虚功原理的推导得到。

实际上，对于保守体系，平衡条件更简单地由虚功原理得到：

\begin{align} \delta W = \sum_\alpha Q_\alpha \delta q_\alpha = 0 \end{align}

由于虚位移 $\delta q_\alpha$ 独立，故平衡时各广义力必须为零：

\begin{align} Q_\alpha = 0, \quad \alpha = 1,2,\dots,s \end{align}

若主动力为保守力，则平衡条件等价于

\begin{align} \frac{\partial V}{\partial q_\alpha} = 0 \end{align}

即势能在平衡位置取极值（稳定平衡对应极小值，不稳定平衡对应极大值）。

平衡问题的应用

求解平衡位置

对于给定的力学体系，平衡位置可通过令广义力为零或势能梯度为零来求解。

例：质量为 $m$ 的质点被约束在抛物线 $z = ax^2$ 上，受重力作用，求平衡位置。

解：取广义坐标 $x$ ，势能 $V = mgz = mg a x^2$ 。平衡条件 $\partial V/\partial x = 2mg a x = 0$ ，得 $x=0$ 。此即平衡位置。

利用平衡条件求约束力

在拉格朗日方程中，约束力已被消去。若要计算某约束力的大小，可采用“释放约束”的方法：将欲求的约束力视为主动力，同时解除该约束，使体系自由度增加一。在新的体系中，该约束力变为主动力，然后利用平衡条件（或虚功原理）求解。

步骤：

确定欲求的约束力对应的约束，并将该约束解除。
将原约束力视为主动力，其方向沿约束所限制的方向。
选择广义坐标（此时自由度为原自由度加1）。
写出新体系的势能（或虚功表达式），利用平衡条件 $\delta W = 0$ ，令独立虚位移的系数为零，即可解出约束力。

例：如图，轻杆 $AC$ 、 $BC$ 、 $AO$ 、 $BO$ 和 $OC$ 五根轻杆对称组成， $C$ 点受铅直力 $F$ ，求杆 $AO$ 所受的力。

解：求 $AO$ 杆的力，可将 $AO$ 杆解除，代之以沿杆方向的拉力 $T$ （主动力）。然后分析系统的平衡，利用虚功原理即可求出 $T$ 。

广义势能

对于某些非保守力（如带电粒子在电磁场中受到的洛伦兹力），虽不直接由势能导出，但仍可引入一个依赖于速度的广义势能 $U(q,\dot{q},t)$ ，使得广义力满足

\begin{align} Q_\alpha = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial U}{\partial \dot{q}_\alpha} \right) - \frac{\partial U}{\partial q_\alpha} \end{align}

此时拉格朗日函数取为 $L = T - U$ ，方程形式与保守体系相同。这一内容将在后续章节详细讨论。

小结

广义力是拉格朗日方程中的关键量，反映了主动力在广义坐标中的贡献。
平衡条件：广义力为零（或势能梯度为零）。
通过释放约束法，可利用平衡条件求解约束力。
广义势能的概念使拉格朗日方程能处理某些非保守力。