电介质中的电场

26 年 4 月 6 日 星期一 (已编辑)
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物理 电动力学 电介质 极化 电位移矢量 线性电介质

极化机制

导体与绝缘体

  • 导体：存在自由电子，内部电场为零，电荷分布在表面。
  • 绝缘体（电介质）：没有自由电子，但在外电场中会发生极化。

极化的微观图像

原子极化（拉伸）

中性原子在外电场中，电子云与原子核被反向拉动，形成感应偶极矩：

p=αE\begin{align} \boldsymbol{p} = \alpha \boldsymbol{E} \end{align}

其中 α\alpha 称为原子极化率。典型值 α∼10−30 m3\alpha \sim 10^{-30}\,\mathrm{m}^3。

分子极化（取向）

某些分子具有固有偶极矩（如 H2O\mathrm{H}_2\mathrm{O}）。外电场对偶极子施加力矩，使其转向电场方向，导致宏观极化。

偶极子在电场中的行为

力矩

均匀电场中，偶极子受到的力矩为

N=p×E\begin{align} \boldsymbol{N} = \boldsymbol{p} \times \boldsymbol{E} \end{align}

力矩倾向于将偶极子转向电场方向。

力

非均匀电场中，偶极子受到净力：

F=(p⋅∇)E\begin{align} \boldsymbol{F} = (\boldsymbol{p} \cdot \nabla) \boldsymbol{E} \end{align}

极化矢量

极化强度 P\boldsymbol{P} 定义为偶极矩密度（单位体积内的偶极矩之和）：

P=∑piΔV\begin{align} \boldsymbol{P} = \frac{\sum \boldsymbol{p}_i}{\Delta V} \end{align}

极化物体的电场

束缚电荷

极化物体产生的电势可表示为

V(r)=14πϵ0∮Sσb∣r−r′∣ da′+14πϵ0∫Vρb∣r−r′∣ dτ′\begin{align} V(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \oint_S \frac{\sigma_b}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|} \, \mathrm{d}a' + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_V \frac{\rho_b}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|} \, \mathrm{d}\tau' \end{align}

其中

  • 面束缚电荷密度：σb=P⋅n^\sigma_b = \boldsymbol{P} \cdot \hat{\boldsymbol{n}}
  • 体束缚电荷密度：ρb=−∇⋅P\rho_b = -\nabla \cdot \boldsymbol{P}

物理意义：

  • σb\sigma_b 来源于极化时表面未抵消的电荷
  • ρb\rho_b 来源于极化强度空间变化导致的净电荷

均匀极化球体

对于均匀极化强度 P\boldsymbol{P} 的球体（半径 RR）：

  • 球内电场均匀：E=−13ϵ0P\boldsymbol{E} = -\dfrac{1}{3\epsilon_0} \boldsymbol{P}
  • 球外电场为偶极子场：Edip=14πϵ03(p⋅r^)r^−pr3\boldsymbol{E}_{\text{dip}} = \dfrac{1}{4\pi\epsilon_0} \dfrac{3(\boldsymbol{p}\cdot\hat{\boldsymbol{r}})\hat{\boldsymbol{r}} - \boldsymbol{p}}{r^3}，其中 p=4π3R3P\boldsymbol{p} = \dfrac{4\pi}{3}R^3 \boldsymbol{P}

电位移矢量

高斯定律在介质中的形式

自由电荷密度 ρf\rho_f 与总电荷 ρ=ρf+ρb\rho = \rho_f + \rho_b 的关系为

ϵ0∇⋅E=ρ=ρf+ρb=ρf−∇⋅P\begin{align} \epsilon_0 \nabla \cdot \boldsymbol{E} = \rho = \rho_f + \rho_b = \rho_f - \nabla \cdot \boldsymbol{P} \end{align}

整理得

∇⋅(ϵ0E+P)=ρf\begin{align} \nabla \cdot (\epsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}) = \rho_f \end{align}

定义电位移矢量

D=ϵ0E+P\begin{align} \boldsymbol{D} = \epsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P} \end{align}

则

∇⋅D=ρf\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho_f \end{align}

积分形式：

∮SD⋅da=Qf,enc\begin{align} \oint_S \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} = Q_{f,\text{enc}} \end{align}

注意

  • ∇×D=∇×P≠0\nabla \times \boldsymbol{D} = \nabla \times \boldsymbol{P} \neq 0（一般情况）
  • D\boldsymbol{D} 的散度仅由自由电荷决定，但其旋度不一定为零
  • 不能仅由自由电荷分布确定 D\boldsymbol{D}（需知道 P\boldsymbol{P} 或介质性质）

线性电介质

本构关系

对于线性电介质，极化强度与电场成正比：

P=ϵ0χeE\begin{align} \boldsymbol{P} = \epsilon_0 \chi_e \boldsymbol{E} \end{align}

其中 χe\chi_e 称为电极化率（无量纲）。于是

D=ϵ0(1+χe)E=ϵE\begin{align} \boldsymbol{D} = \epsilon_0 (1 + \chi_e) \boldsymbol{E} = \epsilon \boldsymbol{E} \end{align}

其中 ϵ=ϵ0ϵr\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r 是介质的介电常数，ϵr=1+χe\epsilon_r = 1 + \chi_e 是相对介电常数（介电常数）。

常见介质的介电常数

材料介电常数 ϵr\epsilon_r
真空1
空气1.00059
水80.1
玻璃5–10
钛酸钡~1200

线性介质中的电场计算

利用 D=ϵE\boldsymbol{D} = \epsilon \boldsymbol{E} 和 ∇⋅D=ρf\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho_f，可在已知自由电荷分布时求解电场。

例：点电荷 qq 浸入无限大均匀电介质中。由对称性，

∮D⋅da=q⇒D⋅4πr2=q⇒D=q4πr2r^\begin{align} \oint \boldsymbol{D} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{a} = q \quad \Rightarrow \quad D \cdot 4\pi r^2 = q \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol{D} = \frac{q}{4\pi r^2} \hat{\boldsymbol{r}} \end{align}

则

E=Dϵ=q4πϵr2r^\begin{align} \boldsymbol{E} = \frac{\boldsymbol{D}}{\epsilon} = \frac{q}{4\pi \epsilon r^2} \hat{\boldsymbol{r}} \end{align}

电场比真空中弱 ϵr\epsilon_r 倍。

边界条件

在两种介质的分界面上，由 ∇⋅D=ρf\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho_f 和 ∇×E=0\nabla \times \boldsymbol{E} = 0 可得：

  • D\boldsymbol{D} 的法向分量跃变：D1⊥−D2⊥=σfD_{1\perp} - D_{2\perp} = \sigma_f
  • E\boldsymbol{E} 的切向分量连续：E1∥=E2∥E_{1\parallel} = E_{2\parallel}

若分界面无自由电荷，则

D1⊥=D2⊥,E1∥=E2∥\begin{align} D_{1\perp} = D_{2\perp}, \quad E_{1\parallel} = E_{2\parallel} \end{align}

电介质中的能量

电容器的能量

对于平行板电容器充满电介质，电容增加 ϵr\epsilon_r 倍，储能

W=12CV2=12ϵrC0V2\begin{align} W = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \epsilon_r C_0 V^2 \end{align}

能量密度

静电场的能量密度在介质中推广为

u=12D⋅E\begin{align} u = \frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E} \end{align}

对于线性介质，u=12ϵE2=12D2ϵu = \frac{1}{2} \epsilon E^2 = \frac{1}{2} \frac{D^2}{\epsilon}。

小结

  • 电介质在外电场中发生极化，产生束缚电荷
  • 极化强度 P\boldsymbol{P} 描述极化程度，ρb=−∇⋅P\rho_b = -\nabla \cdot \boldsymbol{P}，σb=P⋅n^\sigma_b = \boldsymbol{P} \cdot \hat{\boldsymbol{n}}
  • 电位移 D=ϵ0E+P\boldsymbol{D} = \epsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P}，满足 ∇⋅D=ρf\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho_f
  • 线性电介质有 P=ϵ0χeE\boldsymbol{P} = \epsilon_0 \chi_e \boldsymbol{E}，D=ϵE\boldsymbol{D} = \epsilon \boldsymbol{E}
  • 边界条件：D⊥D_\perp 跃变由自由面电荷引起，E∥E_\parallel 连续
  • 介质中的电场能量密度为 12D⋅E\frac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E}
物理电动力学电介质极化电位移矢量线性电介质

·文章标题：电介质中的电场

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文介绍电介质在电场中的行为，包括极化机制（拉伸与取向）、极化矢量、束缚电荷、电位移矢量、线性电介质的性质，以及电介质中的能量和边界条件。

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