静电场的高级求解方法

26 年 4 月 1 日星期三

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物理 / 电动力学

物理电动力学拉普拉斯方程镜像法分离变量法多极展开勒让德多项式

拉普拉斯方程的基本性质

平均性质

对于满足拉普拉斯方程 $\nabla^2 V = 0$ 的函数，在无电荷区域具有重要的平均性质：

二维情形： $V$ 在圆心的值等于圆周上值的平均
三维情形： $V$ 在球心的值等于球面上值的平均

推论：拉普拉斯方程的解在区域内没有局部极值，极值只能出现在边界上。这一性质称为极值原理。

唯一性定理

第一唯一性定理：在给定边界条件（ $V$ 在边界上的值）下，拉普拉斯方程的解是唯一的。

第二唯一性定理：对于导体系统，给定各导体的电势（或总电荷），区域内静电场的解是唯一的。

唯一性定理保证了静电学问题的解是确定的，也是镜像法等方法的理论基础。

镜像法

基本原理

镜像法利用唯一性定理，将导体边界的影响用假想的镜像电荷代替，从而将原问题转化为无界空间中的电荷分布问题。关键在于镜像电荷的设置必须满足原边界条件。

点电荷与接地导体平面

问题：点电荷 $q$ 位于接地无穷大导体平板上方 $d$ 处，求上半空间的电势。

解：在导体板下方对称位置放置镜像电荷 $-q$ ，则上半空间的电势为

\begin{align} V(x,y,z) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z-d)^2}} - \frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+(z+d)^2}} \right] \end{align}

在 $z=0$ 的平面上， $V=0$ ，满足导体接地条件。导体表面感应电荷的面密度为

\begin{align} \sigma = -\epsilon_0 \left. \frac{\partial V}{\partial z} \right|_{z=0} = -\frac{qd}{2\pi (x^2+y^2+d^2)^{3/2}} \end{align}

点电荷所受的力等于镜像电荷对它的吸引力：

\begin{align} F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{(2d)^2} \end{align}

点电荷与接地导体球

问题：点电荷 $q$ 位于接地导体球外距离 $a$ 处（球心到电荷的距离），球半径为 $R$ ，求球外电势。

解：在球心与电荷的连线上放置镜像电荷 $q'$ ，位置在球内距球心 $b$ 处，使得球面电势为零。由几何关系可得

\begin{align} q' = -\frac{R}{a} q, \quad b = \frac{R^2}{a} \end{align}

球外电势为

\begin{align} V(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{q}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{a}|} + \frac{q'}{|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{b}|} \right) \end{align}

其他镜像问题

镜像法还可处理：

点电荷与绝缘导体平面（用等量同号镜像电荷，但需考虑电势常数）
点电荷与导体球（不接地时需再加一个镜像电荷以保证总电荷为零）
线电荷与导体圆柱
两相交导体平面形成的角域

分离变量法

直角坐标系

问题：求解二维拉普拉斯方程 $\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 V}{\partial y^2} = 0$ ，边界条件为 $V(0,y)=V_0(y)$ ， $V(x,0)=V(x,a)=0$ ，且 $V\to 0$ 当 $x\to\infty$ 。

解：设 $V(x,y)=X(x)Y(y)$ ，代入方程得

\begin{align} \frac{1}{X}\frac{\mathrm{d}^2 X}{\mathrm{d}x^2} + \frac{1}{Y}\frac{\mathrm{d}^2 Y}{\mathrm{d}y^2} = 0 \end{align}

设 $\dfrac{1}{X}\dfrac{\mathrm{d}^2 X}{\mathrm{d}x^2} = k^2$ ， $\dfrac{1}{Y}\dfrac{\mathrm{d}^2 Y}{\mathrm{d}y^2} = -k^2$ ，解得

\begin{align} X(x) &= A e^{kx} + B e^{-kx} \\ Y(y) &= C \sin(ky) + D \cos(ky) \end{align}

由边界条件 $V(x,0)=0$ 得 $D=0$ ；由 $V(x,a)=0$ 得 $k = n\pi/a$ （ $n=1,2,3,\dots$ ）；由 $x\to\infty$ 时 $V\to 0$ 得 $A=0$ 。因此

\begin{align} V(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} C_n e^{-n\pi x/a} \sin\left(\frac{n\pi y}{a}\right) \end{align}

系数 $C_n$ 由 $V(0,y)=V_0(y)$ 确定，利用正弦函数的正交性：

\begin{align} C_n = \frac{2}{a} \int_0^a V_0(y) \sin\left(\frac{n\pi y}{a}\right) \mathrm{d}y \end{align}

球坐标系（轴对称情形）

对于具有轴对称性的问题（ $V$ 与方位角 $\phi$ 无关），拉普拉斯方程为

\begin{align} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial V}{\partial r}\right) + \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta \frac{\partial V}{\partial\theta}\right) = 0 \end{align}

设 $V(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta)$ ，分离变量得

\begin{align} \frac{1}{R}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2 \frac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}r}\right) &= l(l+1) \\ \frac{1}{\Theta \sin\theta} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\left(\sin\theta \frac{\mathrm{d}\Theta}{\mathrm{d}\theta}\right) &= -l(l+1) \end{align}

径向方程的解为

\begin{align} R(r) = A r^l + \frac{B}{r^{l+1}} \end{align}

角向方程的解是勒让德多项式 $P_l(\cos\theta)$ ，由罗德里格斯公式给出：

\begin{align} P_l(x) = \frac{1}{2^l l!} \frac{\mathrm{d}^l}{\mathrm{d}x^l} (x^2 - 1)^l \end{align}

前几项：

$P_0(x)=1$
$P_1(x)=x$
$P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)$
$P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)$

勒让德多项式在 $[-1,1]$ 上正交：

\begin{align} \int_{-1}^1 P_l(x) P_{l'}(x) \, \mathrm{d}x = \frac{2}{2l+1} \delta_{ll'} \end{align}

球坐标系下的通解

轴对称拉普拉斯方程的通解为

\begin{align} V(r,\theta) = \sum_{l=0}^{\infty} \left( A_l r^l + \frac{B_l}{r^{l+1}} \right) P_l(\cos\theta) \end{align}

系数由边界条件确定。

例：球面电势 $V(R,\theta)=V_0(\theta)$ ，求球内电势。由球内解 $r<R$ 时 $B_l=0$ （否则在原点发散），得

\begin{align} V(r,\theta) = \sum_{l=0}^{\infty} A_l r^l P_l(\cos\theta) \end{align}

在 $r=R$ 处， $V(R,\theta)=\sum A_l R^l P_l(\cos\theta)=V_0(\theta)$ ，由正交性得

\begin{align} A_l = \frac{2l+1}{2R^l} \int_0^\pi V_0(\theta) P_l(\cos\theta) \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \end{align}

多极展开

远场近似

对于局域电荷分布，在远场（ $r \gg r'$ ）可将电势展开为 $1/r$ 的幂级数：

\begin{align} V(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{r^{n+1}} \int (r')^n P_n(\cos\alpha) \rho(\boldsymbol{r}') \, \mathrm{d}\tau' \end{align}

其中 $\alpha$ 是 $\boldsymbol{r}$ 与 $\boldsymbol{r}'$ 的夹角。前几项为：

\begin{align} V(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left[ \frac{Q}{r} + \frac{\boldsymbol{p} \cdot \hat{\boldsymbol{r}}}{r^2} + \frac{1}{2r^3} \sum_{i,j} Q_{ij} \hat{r}_i \hat{r}_j + \cdots \right] \end{align}

电偶极子

电偶极子由两个等量异号电荷 $+q$ 和 $-q$ 组成，间距为 $d$ 。其偶极矩定义为

\begin{align} \boldsymbol{p} = q \boldsymbol{d} \end{align}

方向由负电荷指向正电荷。偶极子产生的电势和电场分别为

\begin{align} V_{\text{dip}}(\boldsymbol{r}) &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\boldsymbol{p} \cdot \hat{\boldsymbol{r}}}{r^2} = \frac{p \cos\theta}{4\pi\epsilon_0 r^2} \\ \boldsymbol{E}_{\text{dip}}(\boldsymbol{r}) &= \frac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3} (2\cos\theta \, \hat{\boldsymbol{r}} + \sin\theta \, \hat{\boldsymbol{\theta}}) \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{r^3} [3(\boldsymbol{p} \cdot \hat{\boldsymbol{r}}) \hat{\boldsymbol{r}} - \boldsymbol{p}] \end{align}

偶极子场的特征是：

电势按 $1/r^2$ 衰减（比点电荷更快）
电场按 $1/r^3$ 衰减
在 $\theta=0$ 方向最强， $\theta=\pi/2$ 方向最弱

高阶多极矩

单极矩（总电荷）： $Q = \int \rho \, \mathrm{d}\tau$ ，电势按 $1/r$ 衰减
偶极矩： $\boldsymbol{p} = \int \boldsymbol{r}' \rho(\boldsymbol{r}') \, \mathrm{d}\tau'$ ，电势按 $1/r^2$ 衰减
四极矩： $Q_{ij} = \int (3x_i' x_j' - r'^2 \delta_{ij}) \rho(\boldsymbol{r}') \, \mathrm{d}\tau'$ ，电势按 $1/r^3$ 衰减
更高阶多极矩按 $1/r^{n+1}$ 衰减

物理偶极子与纯偶极子

物理偶极子：由两个点电荷组成，距离有限，在近场其行为与纯偶极子不同
纯偶极子：将 $q \to \infty$ 、 $d \to 0$ ，但保持 $p = qd$ 有限，其场严格满足偶极子公式
在远场，物理偶极子的场趋近于纯偶极子场

总结

本章介绍的求解方法各有特点：

方法	适用场景	优点	注意事项
直接积分	已知电荷分布	直接、概念清晰	积分复杂，不适合复杂边界
高斯定律	高度对称性	计算简单	要求电荷分布具有对称性
镜像法	简单导体边界	将边界问题转化为无界问题	仅适用于特定几何
分离变量法	规则边界（直角坐标、球坐标等）	系统性强，可求精确解	需处理级数求和
多极展开	远场近似	揭示多极矩的物理意义	近场不适用

这些方法共同构成了静电学的完整求解体系，是后续学习电动力学其他内容的基础。

物理电动力学拉普拉斯方程镜像法分离变量法多极展开勒让德多项式

·文章标题：静电场的高级求解方法

·文章作者：NeoWangKing

·文章概要：本文介绍静电学中的高级求解方法，包括拉普拉斯方程的基本性质与唯一性定理、镜像法、直角坐标与球坐标下的分离变量法（勒让德多项式），以及多极展开与偶极子场。

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