矢量分析

矢量代数

基本运算

1. 加法：$\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}$，满足交换律和结合律。
2. 数乘：$\alpha(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) = \alpha\boldsymbol{A} + \alpha\boldsymbol{B}$。
3. 点乘（标量积）：$\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} = AB\cos\theta$，满足交换律 $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}$ 和分配律 $\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}) = \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C}$。
4. 叉乘（矢量积）：$\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = AB\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{n}}$，其中 $\hat{\boldsymbol{n}}$ 是垂直于 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 所在平面且按右手定则确定的单位矢量。叉乘满足分配律，但不满足交换律：$\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{A} = -(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})$，且 $\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{A}=0$。

三重积

• 标量三重积（混合积）：

  $$\begin{align} \boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B}\cdot(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{C}\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) \end{align}$$

  其几何意义是以三个矢量为棱的平行六面体的体积。

• 矢量三重积：

  $$\begin{align} \boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{B}\times\boldsymbol{C}) = \boldsymbol{B}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C}) - \boldsymbol{C}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}) \end{align}$$

  此公式称为“BAC-CAB”规则，需注意括号位置。

• 四个矢量的点乘关系：

  $$\begin{align} (\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B})\cdot(\boldsymbol{C}\times\boldsymbol{D}) = (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{C})(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{D}) - (\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{D})(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{C}) \end{align}$$

矢量的微分学

梯度

定义：标量场 $T(x,y,z)$ 的梯度是一个矢量，表示 $T$ 在空间变化最快的方向与速率：

梯度算符 $\nabla = \hat{\boldsymbol{x}}\dfrac{\partial}{\partial x} + \hat{\boldsymbol{y}}\dfrac{\partial}{\partial y} + \hat{\boldsymbol{z}}\dfrac{\partial}{\partial z}$。

几何意义：梯度方向是函数 $T$ 增加最快的方向，其大小等于该方向的方向导数。

例子：$r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，则 $\nabla r = \hat{\boldsymbol{r}}$。

散度

定义：矢量场 $\boldsymbol{v}$ 的散度是一个标量，衡量场从某一点发散的程度：

几何意义：若散度为正，表示该点有源（向外发散）；为负表示汇（向内汇聚）；为零表示无源。

旋度

定义：矢量场 $\boldsymbol{v}$ 的旋度是一个矢量，衡量场的旋转程度：

几何意义：旋度方向为最大环量密度的方向，大小反映旋转的强弱。

常用恒等式

以下恒等式在电动力学中频繁使用：

1. 梯度：

   $$\begin{align} \nabla(fg) = f\nabla g + g\nabla f \end{align}$$ $$\begin{align} \nabla(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{A}\times(\nabla\times\boldsymbol{B}) + \boldsymbol{B}\times(\nabla\times\boldsymbol{A}) + (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B} + (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} \end{align}$$

2. 散度：

   $$\begin{align} \nabla\cdot(f\boldsymbol{A}) = f(\nabla\cdot\boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\cdot(\nabla f) \end{align}$$ $$\begin{align} \nabla\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B}) \end{align}$$

3. 旋度：

   $$\begin{align} \nabla\times(f\boldsymbol{A}) = f(\nabla\times\boldsymbol{A}) + \boldsymbol{A}\times(\nabla f) \end{align}$$ $$\begin{align} \nabla\times(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{B}) = (\boldsymbol{B}\cdot\nabla)\boldsymbol{A} - (\boldsymbol{A}\cdot\nabla)\boldsymbol{B} + \boldsymbol{A}(\nabla\cdot\boldsymbol{B}) - \boldsymbol{B}(\nabla\cdot\boldsymbol{A}) \end{align}$$

矢量的积分学

梯度定理（基本定理）

对于梯度场，其路径积分与路径无关，仅取决于端点：

推论：沿闭合回路积分 $\oint (\nabla T)\cdot d\boldsymbol{l}=0$。

散度定理（高斯定理）

矢量场通过闭合曲面的通量等于其散度在曲面所围体积内的积分：

旋度定理（斯托克斯定理）

矢量场在曲面上的通量（旋度的面积分）等于其沿曲面边界的环量：

推论：对于闭合曲面，$\oint (\nabla\times\boldsymbol{v})\cdot d\boldsymbol{a}=0$。

曲线坐标系

球坐标系

坐标 $(r,\theta,\phi)$，变换关系：$x = r\sin\theta\cos\phi$，$y = r\sin\theta\sin\phi$，$z = r\cos\theta$。线元、面元、体元：

• 梯度： $$\begin{align} \nabla T = \frac{\partial T}{\partial r}\hat{\boldsymbol{r}} + \frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial T}{\partial\phi}\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align}$$
• 散度： $$\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{v} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 v_r) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,v_\theta) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial v_\phi}{\partial\phi} \end{align}$$
• 旋度： $$\begin{align} \nabla\times\boldsymbol{v} = &\frac{1}{r\sin\theta}\left[\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\,v_\phi)-\frac{\partial v_\theta}{\partial\phi}\right]\hat{\boldsymbol{r}} \\ &+ \frac{1}{r}\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial v_r}{\partial\phi}-\frac{\partial}{\partial r}(r v_\phi)\right]\hat{\boldsymbol{\theta}} \\ &+ \frac{1}{r}\left[\frac{\partial}{\partial r}(r v_\theta)-\frac{\partial v_r}{\partial\theta}\right]\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{align}$$
• 拉普拉斯算符： $$\begin{align} \nabla^2 T = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial T}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial T}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 T}{\partial\phi^2} \end{align}$$

柱坐标系

坐标 $(s,\phi,z)$，$x = s\cos\phi$，$y = s\sin\phi$，$z=z$。线元、面元、体元：

• 梯度： $$\begin{align} \nabla T = \frac{\partial T}{\partial s}\hat{\boldsymbol{s}} + \frac{1}{s}\frac{\partial T}{\partial\phi}\hat{\boldsymbol{\phi}} + \frac{\partial T}{\partial z}\hat{\boldsymbol{z}} \end{align}$$
• 散度： $$\begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{v} = \frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}(s v_s) + \frac{1}{s}\frac{\partial v_\phi}{\partial\phi} + \frac{\partial v_z}{\partial z} \end{align}$$
• 旋度： $$\begin{align} \nabla\times\boldsymbol{v} = \left(\frac{1}{s}\frac{\partial v_z}{\partial\phi}-\frac{\partial v_\phi}{\partial z}\right)\hat{\boldsymbol{s}} + \left(\frac{\partial v_s}{\partial z}-\frac{\partial v_z}{\partial s}\right)\hat{\boldsymbol{\phi}} + \frac{1}{s}\left[\frac{\partial}{\partial s}(s v_\phi)-\frac{\partial v_s}{\partial\phi}\right]\hat{\boldsymbol{z}} \end{align}$$
• 拉普拉斯算符： $$\begin{align} \nabla^2 T = \frac{1}{s}\frac{\partial}{\partial s}\left(s\frac{\partial T}{\partial s}\right) + \frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 T}{\partial\phi^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} \end{align}$$

狄拉克δ函数

一维δ函数

狄拉克δ函数 $\delta(x)$ 不是普通函数，而是一种广义函数，满足：

• $\delta(x)=0$ 当 $x\neq 0$，且 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)\,dx = 1$。
• 筛选性质：$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\delta(x-a)\,dx = f(a)$。

性质：

• 偶函数：$\delta(-x)=\delta(x)$。
• 缩放：$\delta(kx) = \dfrac{1}{|k|}\delta(x)$。
• 与函数乘积：$f(x)\delta(x-a) = f(a)\delta(x-a)$。

三维δ函数

三维δ函数可定义为三个一维δ函数的乘积：

满足 $\displaystyle\iiint_{\text{all space}} \delta^3(\boldsymbol{r})\,d\tau = 1$，筛选性质：

缩放性质：$\delta^3(k\boldsymbol{r}) = \dfrac{1}{|k|^3}\delta^3(\boldsymbol{r})$。

矢量分析中的δ函数

考虑矢量场 $\boldsymbol{v} = \dfrac{\boldsymbol{r}}{r^3}$，其散度：

这一结果解释了散度定理在该场中的表现：虽然直接计算 $\nabla\cdot\boldsymbol{v}=0$（当 $r\neq0$），但通过闭合曲面积分得到 $4\pi$，因此必须在原点处引入δ函数来修正。

另一个重要恒等式：

矢量场理论

亥姆霍兹定理

一个矢量场 $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$ 由其散度 $D(\boldsymbol{r})=\nabla\cdot\boldsymbol{F}$ 和旋度 $\boldsymbol{C}(\boldsymbol{r})=\nabla\times\boldsymbol{F}$ 唯一确定，当且仅当 当 $r\to\infty$ 时，$\boldsymbol{F}$ 趋于零，且 $D$ 和 $\boldsymbol{C}$ 趋于零的速度比 $1/r^2$ 更快：

势的形式

• 无旋场：若 $\nabla\times\boldsymbol{F}=0$，则 $\boldsymbol{F}$ 可表示为某标量势的梯度：$\boldsymbol{F} = \nabla V$，且路径积分与路径无关，$\oint \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{l}=0$。
• 无散场：若 $\nabla\cdot\boldsymbol{F}=0$，则 $\boldsymbol{F}$ 可表示为某矢量势的旋度：$\boldsymbol{F} = \nabla\times\boldsymbol{A}$，且通过任何闭合曲面的通量为零，$\oint \boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{a}=0$，曲面积分与所选曲面（以同一曲线为边界）无关。

张量初步

张量的定义

张量是矢量的推广，在坐标变换下满足特定的变换规律。按阶数分类：

• 标量：0 阶张量。
• 矢量：1 阶张量。
• 二阶张量：可视为并矢，在三维空间中有 $3\times3=9$ 个分量。

一个二阶张量 $\boldsymbol{T}$ 可表示为：

其中 $\boldsymbol{e}_i$ 是基矢量，$\boldsymbol{e}_i\boldsymbol{e}_j$ 表示并矢。

物理实例：应力张量

在连续介质中，作用在某面元上的力 $\boldsymbol{F}$ 与该面元的定向有关，可用应力张量 $\boldsymbol{T}$ 描述：

分量 $T_{ij}$ 表示在垂直于 $j$ 方向的单位面积上沿 $i$ 方向的力。

张量的代数运算

• 数乘与加法：$(\alpha\boldsymbol{T})_{ij} = \alpha T_{ij}$，$(\boldsymbol{T}+\boldsymbol{P})_{ij} = T_{ij}+P_{ij}$。
• 张量与矢量的点乘（左乘和右乘结果不同）： $$\begin{align} (\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{T})_i = \sum_j v_j T_{ji}, \quad (\boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{v})_i = \sum_j v_j T_{ij} \end{align}$$ 两者一般不相等。
• 张量间的点乘：$(\boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{P})_{ij} = \sum_k T_{ik} P_{kj}$。
• 散度：张量场的散度定义为矢量，其第 $i$ 分量为 $$\begin{align} (\nabla\cdot\boldsymbol{T})_i = \sum_j \frac{\partial T_{ji}}{\partial x_j} \end{align}$$

张量的坐标变换

设坐标变换矩阵为 $\mathsf{R}$（正交矩阵），则矢量变换为 $\tilde{A}_i = \sum_j R_{ij}A_j$。二阶张量变换为：

即矩阵形式 $\tilde{\mathsf{T}} = \mathsf{R}\mathsf{T}\mathsf{R}^{\mathsf{T}}$。

张量分析在电动力学中用于描述电磁应力、能量动量张量等，是深入理解场与物质相互作用的重要工具。